精品解析：湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

【新结构】2023—2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. “直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件 4. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 矩形周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在上的投影向量为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若要使最小，则 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中存在某个位置，使 B. 当时，与平面所成角的正弦值为 C. 在翻折过程中，三棱锥体积最大值为2 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，则______. 13. 已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为______. 14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 16. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求值； （3）求与夹角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为. （1）求证：面； （2）当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 18. 已知函数，若函数上恰好有两个零点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； （3）在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； （2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【新结构】2023—2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合后由交集定义可得答案. 【详解】集合表示函数的定义域，则， 集合表示函数的值域，则. 故. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设，且，而，进一步分析即可得点在第四象限. 【详解】复数对应的点在第三象限，设，则， ，由，则复数对应的点在第四象限. 故选：D. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. “直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面平行、垂直关系，结合充分、必要条件的定义逐个判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则或与相交，故C错误； 对于D，直线不相交，则直线平行或异面， 故“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，故D错误； 故选：B. 4. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 5. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用，结合数量积零得出结论. 【详解】， 由，得 ，得，即得，则C选项正确. 故选：C 6. 在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三棱柱的体积求出边，利用球的表面积公式求出球半径进而求出上下底面三角形的边长，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为内切圆半径，利用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】设中点为中点为中点为， 外接球球心在中点处， 设， 该三棱柱的体积为， 该三棱柱的外接球表面积为， 外接球半径，即，， ， 底面内切圆半径， ，因此该球最大半径. 故选：B. 7. 矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入变量再设参量，根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值. 【详解】 设，其中，则， 在直角中，由勾股定理得：， 解得：, . 当且仅当，即时等号成立. 故选:B. 8. 定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对B，第75百分位数得到位于内，代入公式可计算第75百分位数值；对C，分数在区间内的频率为0.2可判断；对D，用分层随机抽样可得区间应抽取60人，即得到答案. 【详解】对A，平均成绩 为，故A错误； 对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内， 则第75百分位数为，故B正确； 对C，分数在区间内的频率为，故C正确； 对D，区间应抽取人，故D错误. 故选：BC 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在上的投影向量为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若要使最小，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由向量加法和向量平行的坐标运算求解；B选项，由投影向量的公式计算；C选项，由向量夹角的范围，利用向量共线和向量数量积求参数取值范围；D选项，由向量线性运算的坐标表示和模长公式，结合二次函数的性质求满足条件的t的值. 【详解】对于A：因，所以. 又，且，所以，解得：，故A正确； 对于B：由，则， 所以在上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与共线时，有，此时与方向相同， 当与的夹角为锐角，有，解得， 所以且时，与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：由，， 结合二次函数的性质可知，时取最小值，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中存在某个位置，使 B. 当时，与平面所成角正弦值为 C. 在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，由平面平面，证明；对于B，当时平面，是直线与平面所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于C，当三棱锥体积取得最大值时，是三棱锥的高，由求值即可；对于D，将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，当三点共线时， 的最小值为，利用余弦定理求解. 【详解】对于：当平面平面时，， 证明如下：因为平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有， ，平面，则平面， 平面，有平面平面，由A选项知平面， 所以是直线与平面所成的角； 由，有，，，， ，则，故B错误； 对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 即是三棱锥的高，，故C正确； 对于D：当时，因为为的中点，所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以，所以， 如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内， 则当三点共线时，最小，即的最小值为， 在中，， 则， 所以在中，由余弦定理得， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： ‌立体几何中的翻折问题通常涉及将一个平面图形按照特定要求折叠成三维空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，解决这类问题需要掌握以下技巧： 1. 同时画出折前和折后的图形：在解决问题时，同时画出折前和折后的图形有助于理解翻折过程和图形变化，这对于判断线段和角度的关系非常关键. 2. 寻找不变量：在翻折过程中，有些量是不变的，如角度和距离，注意这些不变量可以帮助简化问题. 3. 利用‌空间向量：空间向量是一个有效的工具，适用于解决立体几何中的探索性问题，通过坐标运算，可以简化“是否存在”这类问题的解决过程. 4. 将空间问题转化为平面几何问题：通过截面、展开、射影等手段，可以将空间中分散的条件集中在同一平面上，从而更容易解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式得，再由同角三角函数关系可得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， ， ， . 13. 已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】. 分段函数与复合函数的应用分情况讨论解方程即可得，详细可见详解 【详解】由题意得， 当时，，即， 即时，解得，符合题意； 时，解得，舍； 当时，，即， 时，解得，舍； 时，，解得，符合题意. 综上，关于的方程的不等实根为和，共2个， 故答案为：2. 14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得或（舍去），可得， ， 因为是锐角三角形，则有，所以， ，，则，有， 由于, 所以，可得的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入解不等式即可； （2）因为对应方程的两个根为，分、、三种情况解不等式即可. 【小问1详解】 由， 当时，可得解集为. 【小问2详解】 对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 16. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以； 【小问3详解】 由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为. （1）求证：面； （2）当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合线面垂直的判定即可证得； （2）设，设四棱锥的外接球的半径为，则结合基本不等式可求得， 过作，则为平面与平面所成的二面角的平面角，结合余弦定理可求其余弦值. 【小问1详解】 证明：面 面，， 又面 面， 在面内，， 底面是正方形，， 又面 面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 设， 设四棱锥的外接球的半径为， 则 （当且仅当，即取等号）. 可得，故. 过作交于，连接， 由，则 故为平面与平面所成的二面角的平面角. 由（1）知面，面，故. 在中，可得， 由等面积可得 又 ， 平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 已知函数，若函数在上恰好有两个零点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； （3）在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，结合三角函数的性质即可求得函数的单调递增区间； （2）令，则，由题意得在上有两个不同的实根，结合三角函数的性质即可求得实数的取值范围； （3）由得，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段的长度. 【小问1详解】 由得， 由函数在上恰好有两个零点得 . ∴， 由， 得，， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，令，则， 由题意得在上有两个不同的实根， . 【小问3详解】 由得， ， 因为，则由 解得：（负值舍）， 由 得， . 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； （2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题中给出的“重覆盖函数”的定义分析判断即可； （2）由条件可得，对任意，存在3个不同的实数，使得（其中， 即，即对任意有3个实根，进一步讨论求解即可； （3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数性质进行分析求解即可. 【小问1详解】 因为， 则， 任取，令， 可得， 即或， 可得，或， 所以对于任意，能找到两个，使得， 所以是的“重覆盖函数”，且； 【小问2详解】 可得的定义域为， 即对任意，存在3个不同的实数， 使得（其中）， ，则， ， 即， 即对任意有3个实根， 当时，已有两个根， 故只需时，仅有1个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减， 又， 所以， 所以， 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为， 当时，当时且， 当且仅当时取等号，所以， 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 由函数的图象， 要使要有2024个根， 则， 又，则， 故正实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题对任意，恰好存在个不同的实数，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据的值来确定参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$