精品解析：河南省南阳市邓州春雨国文学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

邓州春雨国文学校5月月考 高一数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数 ，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上的值域为 C. 若，则， D. 将的图象向右平移个单位得的图象 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 实轴上的点表示的数均为实数 B. 虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C. 共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D. 若为实数，则为纯虚数 10. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 12. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则不可能为纯虚数 ． D. 若，则 ． 三、填空题 13. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 14. 函数的一个单调减区间为_______________.（答案不唯一） 15. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 16. 化简：___________. 四、解答题 17. 设，，求的值． 18. 已知为第三象限角，． （1）化简； （2）若，求的值． 19. 在中，已知，. （1）求； （2）求. 20. 记. （1）求关于x的方程的解集； （2）求函数的单调减区间. 21. 已知平面向量，，． （1）求函数的单调增区间及对称中心坐标； （2）将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移个单位得到的图象，若在上仅有个解，求实数的取值范围． 22. 已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题： （1）化简的表达式并求的单调递增区间； （2）已知，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州春雨国文学校5月月考 高一数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出复数的代数形式，再由复数的几何意义确定其对应点所在象限. 【详解】∵，∴， ∴ ，∴复数z在复平面内对应的点为， 故复数z在复平面内对应的点在第一象限， 故选：A. 2. 已知复数 ，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得z，即可得，即可得答案. 【详解】， 故，则的实部为， 故选：B 3. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，求出其共轭复数，得到结果. 【详解】∵， ∴，即的共轭复数的虚部为 故选：C． 4. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式配凑出，从而求得结果. 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用两角和差的正切公式化简求值，是对公式的简单运用，属于基础题. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上的值域为 C. 若，则， D. 将的图象向右平移个单位得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数化简得，由正弦函数的对称中心可判断A；根据的范围求的值域可判断B；根据正弦函数的周期性可判断C；利用图象的平移变换可判断D，进而可得正确选项. 【详解】， 对于A：令，可得，所以点不是的图象的对称中心，故选项A不正确； 对于B：当时，，， 所以，故选项B不正确； 对于C：的最小正周期为，所以若，则，，故选项C不正确； 对于D：将的图象向右平移个单位得的图象，故选项D正确； 故选：D． 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可． 【详解】由， 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 则， 由，，得， 又在上单调递增， 则，，解得， 即， 又，则当时，，即的取值范围是． 故选：C． 7. 已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，（或），然后利用差角公式即得. 【详解】因为与关于y轴对称，， 所以，， 则，，（或）， 所以. 故. 故选：A. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式求解. 【详解】， 故选：A 二、多选题 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 实轴上的点表示的数均为实数 B. 虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C. 共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D. 若为实数，则为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可. 【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确； B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确； C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确； D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确， 故选：AC 10. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用诱导公式判断A、B，利用两角差的正切、正弦公式判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误; 对于选项B:关于对称，故B正确； 对于选项C:有解，故C错误； 对于选项D:，若，则， 若则， 当且仅当，即时，原式取等，故D正确. 故选:BD. 12. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则不可能为纯虚数 ． D. 若，则 ． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项． 【详解】，所以，A正确； ，虚部是，B错误； ，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确； ，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 13. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部. 【详解】， 故虚部为. 故答案为：-1 14. 函数的一个单调减区间为_______________.（答案不唯一） 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切两角差公式、正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，令，则，所以函数的一个单调减区间为. 故答案为： 15. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 【答案】13 【解析】 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 16. 化简：___________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式切化弦，进而通分并结合倍角公式化简，然后再利用两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案. 【详解】原式 . 故答案为：. 四、解答题 17. 设，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用和差化积公式化简，做商直接求. 【详解】解： ， 所以. 18. 已知为第三象限角，． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角的三角函数关系化简计算，即可求解； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， ，从而． 又为第三象限角， ． 19. 在中，已知，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角基本关系式即得；（2）利用三角形内角和以及两角和的正弦公式即得. 【详解】（1）， ， （2） 20. 记. （1）求关于x的方程的解集； （2）求函数的单调减区间. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1）解方程，求出方程的解集即可； (2）结合二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求出函数的递减区间即可． 【小问1详解】 , 令 ，即, 即,即, 解得 或 , 故关于 x 的方程的解集是或. 【小问2详解】 ， 单调减区间即 解得： , 故的递减区间是. 21. 已知平面向量，，． （1）求函数的单调增区间及对称中心坐标； （2）将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移个单位得到的图象，若在上仅有个解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为；对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，结合余弦函数的性质，采用整体代换法可求得结果； （2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可得解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质及图象可得到结果. 【小问1详解】 ； 令，解得：， 的单调增区间为； 令，解得：，此时， 的对称中心为. 【小问2详解】 由题意得：； 当时，； 令，， 若在上仅有个解，则与在上有且仅有一个交点， 作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点， 即若在上仅有个解，则的取值范围为. 22. 已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题： （1）化简的表达式并求的单调递增区间； （2）已知，求的值. 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别对①②进行化简得出函数解析式，再求函数的单调区间即可； （2）由（1）得出函数解析式，代入，再由三角恒等变换即可得. 【小问1详解】 解：若选择条件①； ， 由， 得， 所以的单调递增区间为， 若选择条件②，若，即是的最大值点，是的零点且的最小值为， 设的周期为T， 由此可得，即有， ∴ 由，可得，即有 可得或， 再结合，可得， 综上可得：， 【小问2详解】 解：， 可得， ∵， ∴， 从而可得，即有， ∵ ∴， 由， 可得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $