精品解析：新疆阜康市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知数列通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 若双曲线的实轴长为，则正数（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线中点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 10. 等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 2 11. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 14. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 15. 已知，，则最大值为________. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为_________________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等差数列前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在线段上，且． 求的长； 求二面角的大小． 20. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 21. 如图，在长方体中，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为． （1）求椭圆E离心率； （2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 2. 已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】分别令，，求解即可. 【详解】对于A，令，解得：，故A不正确； 对于B，令，解得：，故B不正确； 对于C，令，解得：，故C不正确； 对于D，令解得：或（舍）,故D正确. 故选：D. 3. 若双曲线的实轴长为，则正数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 4. 已知，若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可. 【详解】由得： ， 面一个法向量为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选：C． 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解. 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴，解得， ∴直线， 又∵直线可化为， ∴两平行线之间的距离． 故选：C． 6. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：不符合题意； 而选项D中的通项公式满足数列， 故选：D 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 8. 如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】根据题意，得； 故选：A 9. 在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以，. 故选：D 10. 等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出. 【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有， 即①，所以，若，则有，与不符，所以， 所以②，联立①②两式有：，即 ，整理得，解得或. 故选：C 11. 已知抛物线：焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值. 【详解】圆：，圆心坐标，半径为1， 抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示， 点到直线的距离比点到准线的距离大2，即， 的最小值为，当三点共线时的最小值为， 所以. 故选：C. 12. 设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，设出，，，从而得到椭圆，直线：，联立椭圆和直线得到，，再求直线BC的斜率即可. 【详解】由题知：，，， ，设，则，， 则椭圆，直线：. 所以，解得，， 则. 因为，所以. 故选：C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 14. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 15. 已知，，则最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为_________________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，由可得点在圆上，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即， 所以点在圆上，圆心为，半径为. 又渐近线即与圆有交点， 所以，即， 整理得，解得，即a的最小值为1. 故答案为：1. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解； (2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【小问1详解】 设公差为d，由得， 解得 故； 小问2详解】 因为，由（1）可得：， 故． 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在线段上，且． 求的长； 求二面角的大小． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】连接，先证明平面,可得，利用三角形与三角形相似， 可得，利用直角三角形的性质求得；连接，结合（1），由线面垂直的性质可得，即为所求角，由等腰直角三角形的性质可得结果． 【详解】 为直三棱柱， 平面平面， ， 平面，所以 ，所以平面, ， 三角形与三角形相似， ， 又， ； 设，连接BD， ， 即为二面角的平面角， 在中求得， 为等腰直角三角形， 故． 【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直、二面角的求法，属于常规题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 20. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，且直线斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 21. 如图，在长方体中，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有，，，，，，， 则，，，，， 因此，，又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设平面的法向量为，由，， 有，取，得， 设直线与平面所成的角为，而 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为． （1）求椭圆E离心率； （2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由，可求出离心率， （2）由离心率可得椭圆方程为，设，则由可得，再由在椭圆上，可得，从而可求出直线的斜率 【小问1详解】 椭圆的上顶点为和右顶点为， 因为直线的斜率为， 所以，， 所以离心率为， 【小问2详解】 因为离心率，所以，则， 所以椭圆方程为，， 设， 则，得，则， 因为在椭圆上，所以，， 解得， 则直线的斜率为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$