精品解析：广西柳州市第三中学2024届高三下学期4月月考数学试卷

柳州三中数学学科2024届高考模拟试题（高三4月月考） 考试时间：120分钟 命题人：沈林霏 陈璐 朱丽芬 审题人：曾蓓莉 覃曦 注意事项： 1．本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（ ） A. 980万元 B. 920万元 C. 880万元 D. 840万元 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和中位数的意义列式求解. 【详解】设4家超市2023年的年利润从小到大依次为， 则，解得， 所以2023年该超市集团的总利润为880万元． 故选:C． 2. 已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解. 【详解】在边长为6的等边三角形中，设， 则，故. 故选：A 3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）． A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有种可能. 故选：C. 4. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ） （参考数据：，） A. 2.9 B. 3.2 C. 3.8 D. 3.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为， 所求的比为 ． 故选：C 6. 过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长. 【详解】如图所示，圆心为，连接， 因为直线，关于对称，所以垂直于直线， 故，而， 所以. 故选：C 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知条件求出的值，再利用三角函数恒等变换公式求出的值，然后对利用两角和的正弦公式化简计算即可 【详解】由，得， 所以， ， 所以 ， 故选：A 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题及双曲线的定义求得，，，，并结合及余弦定理得到，即可得到C的离心率. 【详解】令，则由得，， 由双曲线的定义知，， 又，得，得， 所以，，，，又， 所以， 即，得，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互为共轭复数，则为实数 D. 若为虚数单位，n为正整数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A项，取，满足，但是不成立，故A项错误； 对于B项，当时，有，又，所以，故B项正确； 对于C项，互为共轭复数，则， 即为实数，故C项正确； 对于D项，，故D项错误． 故选：BC 10. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ） A. 函数是R上的减函数 B. 函数是奇函数 C. 若，则的解集为 D. 函数()+为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D. 【详解】设，且，，则， 而 ， 又当时，恒成立，即，， 函数是R上的减函数，A正确； 由， 令可得，解得， 令可得，即，而， ，而函数的定义域为R， 故函数是奇函数，B正确； 令可得，解得， 因为函数是奇函数，所以， 由，可得， 因为函数是R上的减函数，所以，C正确； 令，易知定义域为R， 因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误. 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：找出在平面上的投影后，借助三角函数定义计算即可得；对B：由可得为直线与直线所成的角或其补角，借助余弦定理计算即可得；对C：借助等体积法即可得；对D：作出轨迹后可得其轨迹为边长为的正六边形，借助面积公式计算即可得. 【详解】对于选项A，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由题易知，所以， 所以直线与平面所成角为，故选项A错误； 对于选项B，取棱的中点，连接，易知， 则为直线与直线所成的角或其补角， 在中，易知，， 由余弦定理可得，故选项B正确； 对于选项C，三棱锥的体积， 因为平面，点在线段上， 所以点到平面的距离为定值． 又因为底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确； 对于选项D，分别取棱，，，的中点，，，， 连接，，，，，， 则，，， 因此易知动点的轨迹所形成的区域是边长为的正六边形及内部， 其面积为，故选项D正确. 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数是偶函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，依题意，， 则，， 即，整理得， 而不恒为0，，因此， 所以. 故答案为：1 13. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，若，则，求解即可 【详解】由题意，集合，集合 若 则，解得 故实数的取值范围为 故答案为： 14. 已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得，故有一条对称轴为，所以，可得.时，，无整数解；时，均为整数解，时， 【详解】解：与关于对称， 故有一条对称轴为， 所以，， 故存在，满足. 时，，无整数解；时，均为整数解， 时，. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求参数，综合性大，后分k的情况讨论时解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用项与和的关系使用公式求解通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由…① 当时，; 当时，有…② ①-②得：，即; 不符合上式，故. 【小问2详解】 由（1）知 故当时，； 当时，， ； 因为符合上式，故. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由于，则切点坐标为， 因为，所以切线斜率为， 故切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，等价于， 令，， 恒成立，则恒成立，， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时，由，得， 时，，函数单调递减，，不符合题意； 当时，，因为，所以，则， 所以函数在上单调递增，，符合题意． 综上所述，． 17. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值． 【答案】（1） （2）分布列见解析，均值为0 【解析】 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解； （2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值； 【小问1详解】 设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表” 由全概率公式得 【小问2详解】 设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则 设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则 得分为的分布列用表格表示为 －4 －2 0 2 4 P 18. 如图，在三棱锥中，M为AC边上的一点，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，且二面角为锐二面角，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为在中，，，， 所以，又因为，所以， 则，， 在中，由余弦定理可得， 所以，于是，， 又，，、平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得. （2）借助题目所给线面角，可计算出各边长度，建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角为锐二面角， 平面平面，平面平面， 过点作平面于点，则点必在线段上， 连接，可知为与平面所成的角， 在中，，，得， 在中，，，得， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则有，，， 设平面、平面的法向量分别为， 则有，， 令，，可得，， 设二面角的平面角为， 所以，即， 故二面角的正弦值为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，用含的关系式表示令用含的关系式表示得解． 【小问1详解】 设，由，得焦点，则． 由，得，解得，代入抛物线方程，得，即， 所以，即，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，，，． 联立消去整理得， 所以． 因为，所以，又，所以， 所以，， 即， 即，化简得． 因为，所以，此时， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 【点睛】方法点睛：（1）两直线垂直可用向量数量积为0表达化简； （2）已知两点间的斜率，则线段长可表达为； （3）带斜率的分式结构求最值，可考虑换元与基本不等式或二次不等式结合求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州三中数学学科2024届高考模拟试题（高三4月月考） 考试时间：120分钟 命题人：沈林霏 陈璐 朱丽芬 审题人：曾蓓莉 覃曦 注意事项： 1．本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（ ） A. 980万元 B. 920万元 C. 880万元 D. 840万元 2. 已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）． A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 4. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ） （参考数据：，） A. 2.9 B. 3.2 C. 3.8 D. 3.9 6. 过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互为共轭复数，则为实数 D. 若为虚数单位，n为正整数，则 10. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ） A. 函数是R上的减函数 B. 函数是奇函数 C. 若，则的解集为 D. 函数()+为偶函数 11. 已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数是偶函数，则__________. 13. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________. 14. 已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求a的取值范围． 17. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值． 18. 如图，在三棱锥中，M为AC边上的一点，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，且二面角为锐二面角，求二面角的正弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $