培优02 空间向量中的最值范围-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优02 空间向量中的最值范围 题型01 与数量积相关 1．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为 . 3．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ） A．蚂蚁爬行的最短路程为米 B．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 C．蚂蚁爬行的最短路程为米 D．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 6．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 题型02 与体积相关 7．如图,正三棱柱的高为4,底面边长为是的中点,是线段上的动点,过作截面,使得且垂足为,则三棱锥体积的最小值为 ． 8．已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 9．已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ． 10．如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    11．如图，正三棱柱的高为4，底面边长为是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为 ． 12．在长方体中，已知，，M，N分别是棱和AD上的点. （1）当时，求异面直线BM和所成的角；（结果用反三角函数值表示） （2）当时，求三棱锥体积的最大值. 题型03 与夹角相关 13．如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 14．如图，在长方体中，，，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（    ） A． B． C． D． 15．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. (1)求异面直线AM与SD所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离； (3)设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 18．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC. (1)证明：⊥； (2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值. 题型04 与距离相关 19．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都是钝角三角形 21．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    22．在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 . 23．如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥. (1)若平面平面，求证： ； (2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围. 24．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 1．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 6．（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且分别为的中点，是内的动点（含边界），且平面，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的外接球的体积为 B．的取值范围为 C．直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 D．当点到平面的距离与点到平面的距离之比为时， 7．（多选）已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，为直角,且，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体外接球的表面积为 B．若直线与底面所成角为，则的取值范围为[,] C．若，则异面直线与所成的角为 D．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 9．如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 10．如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）． (1)求点到平面的距离； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 11．如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且．    (1)求证：D为的中点； (2)记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 12．在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点． (1)若平面，求的值； (2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值． 13．如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优02 空间向量中的最值范围 题型01 与数量积相关 1．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 2．如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为 . 【答案】10 【详解】根据题意，球的半径为1， 当球与平面相切，点为四边形顶点时， 取得最大值，所以， 故答案为:10. 3．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以.    故选：A. 4．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 5．（多选）如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ） A．蚂蚁爬行的最短路程为米 B．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 C．蚂蚁爬行的最短路程为米 D．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 【答案】BC 【详解】圆锥的侧面展开图如图所示， 的长为，， 为等边三角形， 取的中点，连接，则， 此时的长即蚂蚁爬行的最短路程，且最短路程为米，A错误，C正确； 当蚂蚁爬行的路程最短时，为的中点， 设中点为，如图， 则， ，， 则当为直径时，取得最大值，且最大值为，B正确，D错误． 故选：BC． 6．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 题型02 与体积相关 7．如图,正三棱柱的高为4,底面边长为是的中点,是线段上的动点,过作截面,使得且垂足为,则三棱锥体积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设中点为,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系, 得,设, 则,, ,, 得, 则, 当时,, 又, 三棱锥体积的最小值为． 故答案为：． 8．已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在棱长为1的正方体中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，设点， 于是得，因， 则，因此有，点N到平面的距离， 三棱锥体积， 所以三棱锥体积的取值范围是. 故答案为： 9．已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解法一  根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则， 所以， 由，得，故点P的轨迹是以（为正方体的中心）为球心，半径为的球． 连接，易知，，为等边三角形，且边长为， 设点D到平面的距离为， 由，得到，所以， 故可得点O到平面的距离， 故点P到平面的距离的最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为． 解法二  连接，取的中点O，则，又，可得，故点P的轨迹是以O为球心，半径为的球， 连接，易知，，为等边三角形，且边长为， 设点D到平面的距离为， 由，得到，所以， 故可得点O到平面的距离， 故点P到平面的距离的最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为． 故答案为：. 10．如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】    以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，， 所以边上的高， 所以，为定值； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为：. 故答案为： 11．如图，正三棱柱的高为4，底面边长为是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设中点为，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 得，0，，设，0，，则，， ，，得，则， 当时，， 又， 三棱锥体积的最小值为． 故答案为：． 12．在长方体中，已知，，M，N分别是棱和AD上的点. （1）当时，求异面直线BM和所成的角；（结果用反三角函数值表示） （2）当时，求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1）；（2）2. 【详解】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 当时，可得 则， 设异面直线BM和所成的角，可得， 因为，可得. （2）设，所以， 则， ， 当时，取得最大值，最大值为. 题型03 与夹角相关 13．如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2， 则，，，设， ，， 则直线DE与直线AF所成角的余弦值， 而，故，，    故选： C. 14．如图，在长方体中，，，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 设 则 设平面的法向量为 则即令则 设直线与平面所成角为， 则 当时，最大， 故选:D. 15．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE垂直AC，得底面，又EB垂直AC，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，， 设，，，，， 设平面VBC的一个法向量， 则，即，所以. 设平面VEF的一个法向量，则，即， 解得，令，则，所以，设平面与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则 当时，的最大值为. 故选：D 16．如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则， 设， 则， 由于 使，， 所以是平面的法向量， 所以 ， 由于，所以，， 所以 ， 故答案为： 17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. (1)求异面直线AM与SD所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离； (3)设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，所以， 又因为平面，平面， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为， 所以， 因此异面直线AM与SD所成角的余弦值为； （2）设平面的法向量为， ，， 于是有， 所以点A到平面的距离为； （3）设，， 设平面的法向量为，， ， 于是有， 设直线与平面所成角的大小为， ， 令，， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的大小的取值范围为. 18．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC. (1)证明：⊥； (2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）如图，过点A作AE⊥PB于点E， 因为平面平面PBC，交线为PB，且AE平面PAB， 所以AE⊥平面PBC， 因为平面PBC， 所以AE⊥BC， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以PA⊥BC， 因为，平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 因为AB平面PAB， 所以BC⊥AB； （2）因为底面ABCD是菱形，且BC⊥AB， 所以四边形ABCD为正方形， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1，则， ， 设，， 则， 设平面ABM的法向量为， 则， 解得：，不妨令，则， 故， 设PC与平面ABM所成角大小为， 则， ， 当时，取得最大值，最大值为， 所以PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值为. 题型04 与距离相关 19．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以点到直线的距离为， 所以，化简得 解得. 故选：A 20．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都是钝角三角形 【答案】BC 【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点， 建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．    所以，，，设，其中， 所以，， 当，即，所以，显然方程组无解， 所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误； 当时，解得，故B项正确； 因为，其中， 所以点到的距离为 ，故C项正确； 因为，，其中， 所以， 所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误． 故选：BC． 21．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 22．在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 因为点是侧面上的动点，设点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，且， 因为平面，则，即， 可得，分别取线段、的中点、， 所以，点的轨迹为线段， 故点的轨迹长为， ，由，可得， ， 所以，点到直线的距离为 ， 因为函数在上为增函数， 所以，当时，取最小值，且. 故答案为：；. 23．如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥. (1)若平面平面，求证： ； (2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在梯形中，因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以. （2）解：取中点，连接，因为是等边三角形，可得 以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则， 所以，，，且， 则点到直线的距离 因为，所以当时，； 当时，，所以点到直线的距离的取值范围是. 24．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 1．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即. 故选：A．    2．已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而， 则，正四棱锥的体积， 正四棱锥的表面积， 显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即， 在中，，于是，又EF是球O的一条直径， 因此， 显然，则，， 所以的取值范围为. 故选：A 3．如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，分别以，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 所以， 取的中点，连接，则， 由，则，所以的面积， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设，则， 所以点到平面的距离， 所以， 又因为，所以，即. 故选：C.    4．设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以， 因为，所以为的中点， 设，在直角中，有，故， 所以， 则， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 因此的最小值为.    故选：A. 5．（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【详解】在选项A中，∵，，， 且平面， ∴平面，平面， ∴， 同理，， ∵，且平面， ∴直线平面，故A正确； 在选项B中， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵点在线段上运动， ∴到平面的距离为定值，又的面积是定值， ∴三棱锥的体积为定值，故B正确； 在选项C中， ∵， ∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 易知为等边三角形， 当为的中点时，； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为. 故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 在选项D中， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为1， 则，，，， 所以，. 由A选项正确：可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为：， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确. 故选：ABD 6．（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且分别为的中点，是内的动点（含边界），且平面，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的外接球的体积为 B．的取值范围为 C．直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 D．当点到平面的距离与点到平面的距离之比为时， 【答案】BC 【详解】对于A，设分别为的中点，连接， 过点作交于点，连接， 易判断点为三棱锥的外接球的球心． 设该外接球的半径为．易求， 由，得，即， 所以三棱锥的外接球的体积为，故选项A不正确； 对于B,已知，且 分别为的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,， ， 设平面的法向量为， 则即， 取，则平面的一个法向量为， 设，则．因为平面， 所以，则，解得． 又是内的动点（含边界），所以在线段上（含端点）， 则设，则， 所以，所以， 所以， 所以，故选项B正确； 对于C，又，设直线与平面所成的角为， 则，故选项C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则 即，取， 则平面的一个法向量为，又， 所以点到平面的距离为， 又，点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以与不垂直， 故选项D不正确， 故选：BC． 7．（多选）已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，为直角,且，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体外接球的表面积为 B．若直线与底面所成角为，则的取值范围为[,] C．若，则异面直线与所成的角为 D．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值 【答案】ABD 【详解】解：对于A选项，四面体外接球即为直三棱柱的外接球，即是以为邻边的长方体的外接球，故，所以四面体外接球的表面积为，故A选项正确； 对于B选项，根据题意，以点为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图1，故， 所以，底面的一个法向量为，直线与底面所成角为满足， 所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，故的取值范围为[,]，B选项正确； 对于C选项，当时，，此时，，所以，故面直线与所成的角不为，故错误； 对于D选项，由于， 故要使三棱锥的体积的最小，则需三棱锥的体积的最大， 故取中点，连接，如图1， 易知，过且与垂直的截面与交于点，则恒满足， 故在四边形中，以为直径作半圆，与一定交于点（如图2），此时恒满足， 此时三棱锥的体积的最大值为， 所以三棱锥的体积的最小值，故D选项正确. 故选：ABD 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面． 因为，，，则，，， 得， 又，，，， 所以， 所以， 设与所成角为，故， 即得与所成角的余弦值为． （3）设，则， 因为，所以， 则有，，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，，即平面的一个法向量为， 所以 ， 因为，所以，故， 又与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 9．如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 当时，， 所以， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨取. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以. 又因为，易知在上单调递减， 所以. 10．如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）． (1)求点到平面的距离； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2), 【详解】（1）在三棱锥中，连接，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点， 所以，，     又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以，，两两垂直， ． 又， 所以，     所以点到就平面的距离为． （2）在三棱锥中，以为坐标原点，,,为正交基底建立空间直角坐标系， 则,0,，，,8,，,0,， 设,,，则,,，,,，,,，,0,，,8,， 设平面的法向量为,,， 则，即，即， 不妨令，则,,， 同理可求得平面的法向量，3，． 因为平面，， 所以，即， 即，所以,4,， 又，所以，所以，4,， 又平面，所以,0,是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则,， 令，,，,， 所以， 令， 所以,．所以,， 所以,， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为,． 11．如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且．    (1)求证：D为的中点； (2)记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接OD，OB，，．    因为，所以． 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 因为，所以． 因为，所以四边形为等腰梯形． 所以，又，， 所以，所以． 又，所以D为的中点． （2）作平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，， 所以为二面角的平面角，即． 由题意知，，，， ，， 则，． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，所以． 又， 所以． 所以． 因为，所以． 所以． 12．在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点． (1)若平面，求的值； (2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）法1：（1）过点作，交于，连接，如图， 由平面，平面， 则平面且， 又平面，，且平面， 故平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，从而，故. 法2：过点作，交于，则由可得， 所以四点共面，而平面，平面， 平面平面，所以， 四边形是平行四边形， 所以，所以. （2）法1：过作，垂足为， 由正三棱柱可得平面平面， 而平面平面，平面，则平面， 再过作，垂足为，连接， 因为平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故， 则即为二面角的平面角． 又在中，， ， 当位于时，此时， 故二面角余弦值的最小值为. 方法2：取的中点由正三棱锥得平面，如图建立空间直角坐标系， ， ， 设平面法向量，则即， 令得， 而平面法向量，设二面角的平面角为， 则为锐角且， 当时取到. 13．如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设直线与平面所成的角为，平面的法向量为． 易知，， 由，即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）设，，点P到平面的距离为d，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， ， 当，即点P与点重合时，．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$