第三章 不等式重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在时取得最小值，则等于（    ） A．6 B．8 C．16 D．36 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期末）在中，，且，则的面积的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 5．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 6．（2020高三·全国·专题练习）已知两正数、满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．（21-22高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 13．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（20-21高一·江苏·课后作业）（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． （2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小． 16．（20-21高一·江苏·课后作业）如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 18．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 19．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的取值范围以及的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 2．（20-21高二上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在时取得最小值，则等于（    ） A．6 B．8 C．16 D．36 【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可 【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号，故 故选：D 【点睛】均值不等式： 一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4．（23-24高一上·江苏连云港·期末）在中，，且，则的面积的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，进而求得的面积的最小值. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，解得， 所以的面积的最小值为. 故选：C. 5．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 6．（2020高三·全国·专题练习）已知两正数、满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化条件为，换元后由对勾函数的性质即可得解. 【详解】由题意，， 令，则，当且仅当时，等号成立， 又函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值， 所以的最小值为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为，再结合对勾函数的性质即可得解. 7．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8．（21-22高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 【答案】A 【分析】，利用韦达定理可得答案. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 关于x的方程有两个实数根，， ，， ，即， 解得：或舍去 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D. 【详解】对于A，若，满足，则，错误； 对于B，若，且，则，时取等号，正确； 对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，当且仅当即时等号成立， 由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确. 对于D，令，则， 所以， （当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确. 故选：BCD 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】BC 【分析】 根据一元二次不等式的解集求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，关于的不等式的解集为或， 所以，A选项错误. ，即， 所以， 所以不等式的解集为，B选项正确. ，C选项正确. ，即， 解得，所以不等式的解集为，D选项错误. 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 13．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 【答案】2 【分析】由基本不等式判断，可举反例说明不恒成立． 【详解】a、，恒成立，所以，①恒成立； ，所以，②恒成立； 时，，，③④不恒成立． 故答案为：2． 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可. 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（20-21高一·江苏·课后作业）（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． （2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小． 【答案】（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q. 【分析】（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解； （2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解 【详解】（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 即3x3≤3x2－x＋1. （2） 因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0， 即a2＋b2>2ab. 同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac. 所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q. 16．（20-21高一·江苏·课后作业）如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可 【详解】因为是梯形的中位线， 所以； 因为梯形与梯形相似， 所以， 所以； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 设梯形， 的面积分别为 ，高分别为， 则，， 所以， 所以， 所以； 由图可知，， 即 ； 证明： 显然， ， 因为， 所以， 所以， 所以 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两个根，利用韦达定理计算可得； （2）①由（1）可知，利用基本不等式计算可得；②由已知可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，依题意，即可得解. 【详解】（1）由题意可得和是关于的方程的两个根， 由根与系数的关系可得，解得． （2）①由（1）可得， 又，，所以当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当，时取等号. ②因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 因为恒成立，所以恒成立， 则，即实数的取值范围为. 18．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 19．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的取值范围以及的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】(1)和 (2)； (3) 【分析】（1）由不动点定义建立方程，求解即可； （2）由函数有两个不相等的不动点，转化为方程，再由二次方程根的分布解得的范围，再将式子化简变形整理为的形式，韦达定理代入，变形转化为，最后根据基本不等式求最值； （3）对任意实数，二次函数恒有不动点，转化为方程恒有解，即对任意实数，其判别式大于等于零恒成立，得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意知：， 即，解得， 所以不动点为和3. （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， ， 则，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. （3）由于函数恒有不动点， 由， 得， 即方程恒有解. 所以，即， 又因为是任意实数， 所以关于的二次方程的判别式， 即，解得， 所以的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$