精品解析：河南省信阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下期期末调研考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试卷和答题卡两部分．试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题．请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x-5≥0， 解得x≥5． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 在□ABCD中的比值可能是（ ） A. 1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:4:3:4 D. 1:2:2:1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【详解】由于平行四边形对角相等， 所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，D都不满足，只有C满足， 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解本题的关键. 3. 第七届全国人民代表大会常务委员会第十七次会议审议通过的《中华人民共和国残疾人保障法》第14条规定：“每年五月第三个星期日，为全国助残日．”在第33个“全国助残日”到来之际，某校举行了捐款活动，并调查了某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元 人数 11 9 6 2 1 1 则该班同学捐款的平均数为（ ） A. 11元 B. 13元 C. 15元 D. 20元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数的求解，用总钱数除以30即可． 【详解】解：（元）， 故选：A． 4. 下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A 3、4、6 B. 7、24、25 C. 6、8、10 D. 9、12、15 【答案】A 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意； B、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意； D、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 如图，描述了林老师某日傍晚的一段生活过程：他晚饭后，从家里散步走到超市，在超市停留了一会儿，马上又去书店，看了一会儿书，然后快步走回家，图象中的平面直角坐标系中x表示时间，y表示林老师离家的距离，请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是( ) A. 林老师家距超市1.5千米 B. 林老师书店停留了30分钟 C. 林老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的 D. 林老师从书店到家的平均速度是10千米／时 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中的数据信息进行分析判断即可． 【详解】解：A选项中，由图象可知：“林老师家距离超市1.5km”，所以A中说法正确； B选项中，由图象可知：林老师在书店停留的时间为；80-50=30（分钟），所以B中说法正确； C选项中，由图象可知：林老师从家里到超市的平均速度为：1500÷30=50（米/分钟），林老师从超市到书店的平均速度为：（2000-1500）÷（50-40）=50（米/分钟），所以C中说法正确； D选项中，由图象可知：林老师从书店到家的平均速度为：2000÷（100-80）=100（米/分钟）=6（千米/时），所以D中说法错误. 故选D. 【点睛】本题考查了函数图象，读懂题意，“弄清函数图象中每个转折点的坐标的实际意义”是解答本题的关键． 6. 下列有关一次函数y=-3x+2的说法中，错误的是（　　） A. 当x值增大时，y的值随着x增大而减小 B. 函数图象与y轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A、∵k=-3＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，正确； B、函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），正确； C、当x＞0时，y＜2，错误； D、∵k＜0，b＞0，图象经过第一、二、四象限，正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 7. 在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子．下面的调查数据中最值得关注的是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故儿童福利院最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选． 8. 菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若 ，则B的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，作轴于点D，根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出的值，即可得到B点的横坐标． 【详解】解：作轴于点D， 则， ∵四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴点的横坐标为 故选：D． 9. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【详解】解：∵kb＜0， ∴k、b异号， ∵b﹣k＞0， ∴b＞0，k＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 所以不符合题意，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握利用一次函数的解析式判断一次函数经过哪些象限是解题的关键. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB＝；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，三角形的面积公式逐一判断即可. 【详解】∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AD＝DC， ∴四边形AECD是菱形， ∴AE＝EC＝CD＝AD＝2， ∴∠2＝∠3． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3． ∵∠ABC＝90°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴BE＝AE＝1，AC＝2AB．①正确； 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB＝＝＝，②正确； ∵O是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴BO＝AO＝CO＝AC． ∵∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠BAO＝60°， ∴△ABO为等边三角形． ∵∠1＝∠2， ∴AE⊥BO．④正确； ∵S△ADC＝S△AEC＝AB·CE ，S△ABE＝AB·BE， ∵CE＝2，BE＝1， ∴CE＝2BE， ∴S△ACE＝AB·2BE ＝2×AB·BE ， ∴S△ACE＝2S△ABE， ∴S△ADC＝2S△ABE．③正确． ∴正确的个数有4个． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键． 二、填空题．（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 计算 的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练掌握运算顺序和法则是解决问题的关键． 先化简和部分，再合并，即得． 【详解】． 故答案为：． 12. 如图，在中，，D为上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再有“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得： ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 故当时，有最小值，的最小值也为 ∵ ∴ 故线段的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等．利用矩形的性质得到是解题关键． 13. 一组数据2，3，5，6，8，x（其中x最大）的平均数与中位数相等，则x为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】首先求得中位数，根据平均数的定义，即可列方程求解． 【详解】解：中位数是：（5+6）＝5.5． 根据题意得：（2+3+5+6+8+x）＝5.5， 解得：x＝9． 故答案是：9． 【点睛】本题主要考查了中位数有关的训练，准确计算是解题的关键． 14. 如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边长为， 轴， 点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点， 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，正比例函数必定经过原点，利用数形结合代入D，B的坐标求出值即可求解． 【详解】解：因ABCD为正方形，A ∴B，D 若直线经过D时， 解得： 若直线经过B时， 解得： ∴若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图形性质，正方形的性质，利用待定系数法和数形结合求出的取值是解题的关键． 15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______． 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．首先证明△BOF是等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题； 【详解】解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBA=45°， ∵∠BOF=90°， ∴△BOF是等腰直角三角形，∠BOM+∠FON=90°， ∴OB=OF， ∵BM⊥x，FN⊥x， ∴∠BMO=∠CNF=90°， ∴∠MBO+∠BOM=90°， ∴∠MBO=∠FON， ∴△BOM≌△OFN， ∴BM=ON，OM=FN， ∵正方形OABC的面积是10， ∴OB=， ∵点B在直线y=-2x上，且在第二象限内，设B(x,-2x)(x<0)， ∴OM=-x，BM=-2x， ∵OM2+MN2=OB2， ∴(-x)2+(-2x)2=()2， ∴x=-2或x=2(不符合题意，舍去)， ∴FN=OM=2，ON=BM=4, ∴B(-2,4)，F(4,2)， ∵BA=AF， ∴A(1,3)， 故答案为：(1,3)． 【点睛】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共 8 小题，共 75 分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘除，再合并同类二次根式即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 17. 如图，已知中，射线BM经过AC边的中点O． （1）请用直尺和圆规作，交射线BM于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的方法和步骤作出图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，∠ACD即为所求； 【小问2详解】 证明：∵∠ACD＝∠BAC， ∴AB∥CD， ∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOB与△COD中，， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，正确作出图形是解题的关键． 18. 已知一次函数． （1）在图中画出该函数的图象； （2）该函数的图象与轴交点为，与轴的交点，求的面积． 【答案】（1）画图象见解析 （2）的面积为4 【解析】 【分析】（1）过图象上两个点画出直线即可； （2）求出，的坐标，根据三角形的面积公式求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 当时，，解得 ，， 当时，， ，， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的图象和性质等知识，熟记一次函数图象和性质是解决此题的关键，注意数形结合思想的运用． 19. 为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题： 被抽查学生阅读时间的中位数为多少小时，众数为多少小时，平均数为多少小时； 已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？ 【答案】2，2，；估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人． 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数、中位数和平均数即可； （2）根据总人数 阅读时间不少于三小时的百分比可得结果． 【详解】， 被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数， 众数为2， 平均数， ， 答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人． 故答案为（1） 2， 2， 2.34；（2）估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人． 【点睛】本题考查众数，条形统计图，平均数、中位数及用样本估计总体，解题的关键是弄清题中的数据． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接把点A坐标代入直线解析式即可求出n的值； （2）求出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可； （3）观察图象，可直接得出x取值范围． 【详解】解：(1)把代入得y=8 ∴n的值为8． （2）过点A作AD⊥OC于点D，由（1）得A（6，8） ∴OD＝6，AD＝8 在Rt△OAD中， OA＝＝＝10 ∵四边形OABC为菱形 ∴OC＝OA＝10 ∴C（10，0） 把A（6，8）、C（10，0）代入函数解析式，得 解得 ∴直线AC的函数解析式为 （3）由图象可得，当x>6时，， 所以，的解集为：x>6 【点睛】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式 ，要熟练掌握相关知识． 21. 如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． （1）求证∶四边形 是矩形； （2）若 ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，又，则四边形为平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由矩形的性质和三角形中位线定理得，，则，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明∶四边形是平行四边形， 是对角线的中点， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解∶四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， 在中， ， 四边形是矩形， ， 是的中点，O 是的中点， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 22. 2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． （1）求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ （2）牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）15元；5元 （2）牡丹花伞66个，花环头饰34个；1330 元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． （1）设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元，根据题意列不等式利用一次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元． 根据题意，得 ，解得 答：牡丹花伞和花环头饰的采购价分别是 15元和5元． 【小问2详解】 设牡丹花伞进货m个，利润为p元． 根据题意，得 ，解得 ∵m为整数， 获得的利润 ∵p随m的增大而增大， ∴当 时，p 最大，最大值为 1 330． 当牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个时，能获得利润最大，此时最大利润是1330 元． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得（点的对应点为点）．延长交于点，连接．猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析 （2），证明见解析 （3）的长为 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算长． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转得， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图②所示，过点D作，垂足为H，则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图①所示，作于G， ∵四边形是正方形 ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴， 由（2）可知：，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下期期末调研考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试卷和答题卡两部分．试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题．请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是 A. B. C. D. 2. 在□ABCD中的比值可能是（ ） A. 1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:4:3:4 D. 1:2:2:1 3. 第七届全国人民代表大会常务委员会第十七次会议审议通过的《中华人民共和国残疾人保障法》第14条规定：“每年五月第三个星期日，为全国助残日．”在第33个“全国助残日”到来之际，某校举行了捐款活动，并调查了某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元 人数 11 9 6 2 1 1 则该班同学捐款的平均数为（ ） A. 11元 B. 13元 C. 15元 D. 20元 4. 下列各组数据中不能作为直角三角形三边长是（ ） A. 3、4、6 B. 7、24、25 C 6、8、10 D. 9、12、15 5. 如图，描述了林老师某日傍晚的一段生活过程：他晚饭后，从家里散步走到超市，在超市停留了一会儿，马上又去书店，看了一会儿书，然后快步走回家，图象中的平面直角坐标系中x表示时间，y表示林老师离家的距离，请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是( ) A. 林老师家距超市1.5千米 B. 林老师在书店停留了30分钟 C. 林老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的 D. 林老师从书店到家的平均速度是10千米／时 6. 下列有关一次函数y=-3x+2的说法中，错误的是（　　） A. 当x值增大时，y的值随着x增大而减小 B. 函数图象与y轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 7. 在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子．下面的调查数据中最值得关注的是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 8. 菱形 在平面直角坐标系中位置如图所示，若 ，则B的横坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB＝；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 计算 的结果为_________． 12. 如图，在中，，D为上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，则线段的最小值为__________． 13. 一组数据2，3，5，6，8，x（其中x最大）的平均数与中位数相等，则x为_____． 14. 如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边长为， 轴， 点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点， 的取值范围是__________. 15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______． 三、解答题（共 8 小题，共 75 分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知中，射线BM经过AC边的中点O． （1）请用直尺和圆规作，交射线BM于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 18. 已知一次函数． （1）在图中画出该函数的图象； （2）该函数图象与轴交点为，与轴的交点，求的面积． 19. 为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题： 被抽查学生阅读时间的中位数为多少小时，众数为多少小时，平均数为多少小时； 已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 21. 如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． （1）求证∶四边形 是矩形； （2）若 ，求的长． 22. 2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． （1）求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ （2）牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得（点的对应点为点）．延长交于点，连接．猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$