培优01 空间向量的存在性问题-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优01 空间向量的存在性问题 存在性问题的解决策略 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见的位置关系： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 题型01 与平行有关的存在性问题 1．如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. (1)证明:平面； (2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 3．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，，侧棱⊥平面ABCD，．      (1)求平面与平面的夹角的余弦值． (2)设E是的中点，在线段上是否存在一点P，使得平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)若P为侧棱SD上的中点，证明SB平面PAC． (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 5．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点． (1)求正四棱锥的体积； (2)若平面，求二面角的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 题型02 与垂直有关的存在性问题 6．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（    ）    A．直线平面 B．存在点P，使得 C．面积的最小值是 D．直线到平面CMN的距离是 7．（多选）如图，在三棱锥中，，是边长为2的正三角形，平面平面，点满足，，，则（    ）    A．当时，的面积为定值 B．当时，的长度的取值范围为 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 9．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 10．如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 11．在长方体中，．是线段上的点． (1)若，求证：平面． (2)若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型03 与夹角有关的存在性问题 12．（多选）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点、使得、、、四点共面 B．存在点，使 C．存在点，使得直线与平面所成角为 D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值 13．（多选）如图所示，正方体的棱长为，则（    ）    A．的最小值为 B．存在一点，使得与平面所成角为 C．存在一点，使得与所成的角为 D．当时，三棱锥的外接球的表面积为 14．1.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，M是的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成的角是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 15．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点． (1)记平面交于点，求证：平面； (2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 题型04 与距离有关的存在性问题 18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 19．   已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点. (1)若 求证：平面DMF； (2)求直线EB与平面DMF所成角的正弦值； (3)若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长． 22．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 23．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，； ①求与平面所成的角； ②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 1．在直三棱柱中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则（    ） A．的面积为 B．三棱锥的体积为 C．存在点P，使得⊥ D．存在点P，使得⊥平面 3．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 4．如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 5．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)证明：在线段存在点D，使得，并求的值． 6．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 7．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．    (1)求证：直线平面． (2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 8．在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)判断在线段上是否存在点，使得直线与平面成角的正弦值为.若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 9．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. (1)证明：平面. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 10．在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则 (1)证明： (2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由. 11．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧. (1)证明:平面; (2)若,,,试问在线段上是否存在点,使得与的面积相等？若存在,求到的距离;若不存在,说明理由. 12．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体中，已知 ，，且. (1)设平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求证：平面平面； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优01 空间向量的存在性问题 存在性问题的解决策略 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见的位置关系： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 题型01 与平行有关的存在性问题 1．如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. (1)证明:平面； (2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)；在线段存在点使得平面，的值为 【详解】（1）由，知为正三角形， 又为的中点，则. 又为的中点，则， 而，所以， 又平面， 所以平面； （2）由（1）知为正三角形，则， 在中，，有，所以， 易知，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 假设在线段上存在点，使得平面，令， 则，所以， 由平面，得，所以， 解得，所以，即的值为. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）在中， 所以，即. 又因为，在平面中，， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，由平面，得. 由（2）知，且已知， 故以A为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，.    所以 因为为中点，所以. 由知，. 设平面的法向量为， 则即 令，则.于是. 由（1）知平面，所以平面的法向量为. 所以， 由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为； （3）设是线段上一点，则存在使得. 因为， 所以. 因为平面，所以平面，当且仅当， 即. 即.解得. 因为， 所以线段上不存在使得平面. 3．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，，侧棱⊥平面ABCD，．      (1)求平面与平面的夹角的余弦值． (2)设E是的中点，在线段上是否存在一点P，使得平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意，是正三角形，设M是AB的中点，连接DM，则，所以，． 由平面ABCD，平面ABCD， 得，，即，DM，DC两两垂直． 如图，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．    则，，，． 则，， 显然，平面的一个法向量是． 设平面的法向量为， 则令，得平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则． 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． （2）设， 当时，点P与点C重合，显然与平面PDB相交，不满足题意； 当时，因为，，所以， 又，，所以，． 设平面PDB的法向量为，则 令 ，得． 因为，，所以． 因为平面PDB，所以， 即，解得， 所以线段上存在点P，使得平面PDB，此时 4．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)若P为侧棱SD上的中点，证明SB平面PAC． (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)详见解析； (2)存在，. 【详解】（1）证明：如图所示： 连接BD与AC交于点O，连接OP， 因为四边形ABCD是正方形， 所以O为中点，又P为侧棱SD上的中点， 所以， 又平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC； （2）建立如图所示空间直角坐标系： 设侧棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC，且， 设正方形ABCD的边长为1， 则， 所以， 则， 因为SD⊥平面PAC， 所以是平面PAC的一个法向量， 若BE平面PAC，则， 解得， 所以侧棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC，且. 5．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点． (1)求正四棱锥的体积； (2)若平面，求二面角的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，平面． 【详解】（1）连接BD与AC相交于点O，连接SO， 因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是， 所以SO⊥平面ABCD，， 即SO为正四棱锥的高， 故正四棱锥的高， 正方形ABCD的面积为， 所以正四棱锥的体积； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向， 建立坐标系如图．由（1）知高． 于是， ，， 故，从而， 所以平面的一个法向量， 平面的一个法向量． 由图可知二面角为锐角，设所求二面角为， 则， 所求二面角的大小为； （3）在棱上存在一点使平面． 由（2）得是平面的一个法向量， 且，设， 则， 而，即当时，， 而不在平面内，故平面． 题型02 与垂直有关的存在性问题 6．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（    ）    A．直线平面 B．存在点P，使得 C．面积的最小值是 D．直线到平面CMN的距离是 【答案】BC 【详解】对A：取， 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 易知为平面的一个法向量， 因为，所以此时直线与平面不平行，故A错； 对B：设，则， 则，    由，即， 整理得，得， 由，故存在点P，使得，B对； 对C：由B得到的投影为， 则P到的离 面积为， 由二次函数性质，当时，S取得最小值为，C对． 对D：M，N分别是棱的中点，∴， 平面CMN，平面CMN，故平面CMN， 故直线到平面CMN的距离等于点到平面CMN的距离，设为h， ，， ，，得，D错. 故选：BC 7．（多选）如图，在三棱锥中，，是边长为2的正三角形，平面平面，点满足，，，则（    ）    A．当时，的面积为定值 B．当时，的长度的取值范围为 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 【答案】BD 【详解】取中点O，连接，由题意可知， 又平面平面，平面平面，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、， 因为，所以． 当时，为动点，的面积不是定值，故A错误； 当时，，，又因为， 所以，故B正确； 当时，， 所以，， 若，则，无解，所以不存在这样的点，故C错误； 当时，，则在轴上，只有与原点重合时，平面，故D正确．    故选：BD 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， ，，，，， 设平面的法向量，则，即， 可取， 因为， 所以与平面所成角的正弦值为；    （2）假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 9．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）当为的中点时，取中点为，连接， 因为分别为的中点，故可得， 根据已知条件可知：，故， 故四边形为平行四边形，则， 又平面平面， 故面； （2）因为平面平面，故， 又四边形为矩形，故，则两两垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，设， 若，则， 即，解得，不满足题意， 故不存在. 10．如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，使得平面. 【详解】（1）因为，，， 记，所以，且，， 由空间向量的线性运算法则， 可得 . （2）当时，； 所以可得，易知 又可知 . （3）假设存在使得平面，又平面， 可知，， 由（1）知，, 可得. 且 化简得，解得，满足条件. 故存在，使得平面. 11．在长方体中，．是线段上的点． (1)若，求证：平面． (2)若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，，，， ，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，，平面 平面. （2）假设在线段上存在点，使得， 设，由（1）知：，； 设，则， ，， ，，即， 在线段上存在点，使得，此时的取值范围为. 题型03 与夹角有关的存在性问题 12．（多选）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点、使得、、、四点共面 B．存在点，使 C．存在点，使得直线与平面所成角为 D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值 【答案】ABD 【详解】将半正多面体补成一个棱长为的正方体，如图：    则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点， 以为原点，过的三条棱所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则、、、、， 对A ，当点与点重合时，，，则， 又因为、、、不共线，则，则、、、共面，A正确； 对B ，当点与点重合时，，则，即，B正确； 对C，设， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，，此方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，C错； 对D ，，由C可知，， 所以， 整理可得，因为，解得， 即当点为的中点时，直线与直线所成角的余弦值，D正确. 故选：ABD. 13．（多选）如图所示，正方体的棱长为，则（    ）    A．的最小值为 B．存在一点，使得与平面所成角为 C．存在一点，使得与所成的角为 D．当时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【详解】A：将下图中面绕翻折至与面共一个平面，而， 所以共线时，最小，此时为中点， 则最小值为，对；    构建如下图示的空间直角坐标系，， 所以， 若为面一个法向量，则，令，则， 若与平面所成角为，且， 所以， 令，则，故， 由上知：，故，即， 所以，存在一点，使得与平面所成角为，B对； 由上知：，则，即，C错；    由，则为中点，且，根据A分析知：，， 又为等边三角形，则，， 由，面，则面， 将补全为如下直棱柱，则三棱锥的外接球，即为棱柱的外接球， 中，，则，故， 所以外接圆半径为，故外接球半径平方，则其表面积为，D对.    故选：ABD 【点睛】关键点点睛：B、C构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角、判断异面直线位置关系，D证面，并补全为直棱柱，判断共外接球为关键. 14．1.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，M是的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成的角是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)在棱上存在一点N满足题意，且. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，即四点共面.又因为平面，所以，而，为的中点，则，又，所以平面，而平面，于是. （2）如图，以C为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 则，所以，设平面与平面的法向量分别为，于是，令，则，，令，则，所以，由图可知：平面与平面所成夹角的余弦值为. （3）在棱上存在一点N满足题意. 设，，，则，. 因为直线与平面所成的角是，所以，解得：. 因为，则.故在棱上存在一点N满足题意，且. 15．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ； （2）因为平面，所以平面， 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或4（舍去），. 16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，位于的中点处，证明见解析 【详解】（1）取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面.    （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，      故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点． (1)记平面交于点，求证：平面； (2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，理由见解析 【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：连接、、， 因为为等边三角形，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为四边形是边长为的菱形，则， 又因为，则为等边三角形，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为， ， 则， 取，则，，所以，， 由题意可得， 整理可得，即，因为，解得， 故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为. 题型04 与距离有关的存在性问题 18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，． 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 19．   已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）   分别是边的中点，， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，平面平面， 平面平面. （2）等边的边长为， ， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设， 在平面中，， 不妨设平面的法向量， 则令，得，故可取. 则点到平面的距离为解得或（舍去）， 为的中点，， 满足条件的点存在，且. 20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：    为棱的中点，，，，， 故且，四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面； （2），，故， 平面平面，平面平面，平面， 故平面， 又平面，故，，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    则，，，，为棱的中点，， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，故； 平面的一个法向量为， ， 二面角的平面角为钝角，故其余弦值为； （3）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离是，解得， 故线段上是否存在点满足条件，. 21．如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点. (1)若 求证：平面DMF； (2)求直线EB与平面DMF所成角的正弦值； (3)若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，，平面， 而平面，所以，， 因此以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为且，且，， 所以， ，，， ，，，， 因为，所以 所以 设为平面的法向量，，， 则，不妨令，可得； 所以，得， 又直线平面，平面． （2）由（1）知平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点坐标为，则， 由（1）知平面的法向量为 点到平面的距离 解得， 所以的长为. 22．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 23．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，； ①求与平面所成的角； ②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②存在点， 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点. ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面； （2）①在平面内过点作，由平面底面得平面， 菱形中，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，所以， 设直线与平面所成的平面角为，且， 则， 故直线与平面所成的角为 ②设 即 化简得，故（舍负） 综上，存在点， 1．在直三棱柱中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，， 则， 则， 因为在棱上有唯一的一点E使得， 所以在上有唯一的解， 令，可知， 故要想在上有唯一的解，只需， 因为，所以解得： 故选：B 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则（    ） A．的面积为 B．三棱锥的体积为 C．存在点P，使得⊥ D．存在点P，使得⊥平面 【答案】BD 【详解】A选项，在棱长为1的正方体中， 点P是线段上的动点，当点P与重合时，为等边三角形， 边长为， 故的面积为，故A错误； B选项，因为， 其中， 表示点P到平面的距离，故， 所以三棱锥的体积为，故B正确； C选项：在正方体中，以为直径的球面，半径， 则直线与该球面没有公共点，故不存在点P，故C错误； D选项：取的中点M，连接PM， 当P为的中点时，即为的交点时， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为⊥平面， 易知⊥平面， 因为平面， 所以PM⊥， 又因为在正方体中，⊥， 而，所以⊥平面，故D正确． 故选：BD． 3．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 【答案】AB 【详解】连接，则，故A正确； 点到直线的距离，故B正确； 以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，则，， 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 整理得，解得，故C错误； 在平面中，过，分别作，，垂足为，， 则点，到平面的距离之和为． 设，则， 当点与重合时，点，到平面的距离之和最大， 所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误． 故选：AB 4．如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析． 【详解】（1）分别取的中点，连接， 则在直四棱柱中，，且是中点，所以平面，即为截面， 又是中点，则与平行且相等，从而是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，即平面； （2）不存在，理由如下： 是菱形且，所以都是等边三角形，， 易知，由已知得平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 因此有，，，， 则的重心为，， 若平面，则，无解． 因此不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心． 5．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)证明：在线段存在点D，使得，并求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析，. 【详解】（1）由是正方形，则，且面， 面面，面面，则面， 由面，所以. （2）由，则，所以，且面， 如下图，可构建空间直角坐标系，则， ， 若是面的一个法向量，则， 取，则； 若是面的一个法向量，则， 取，则； 故锐二面角的余弦值为. （3）由题意，可设且，则，又， 所以，故. 故在线段存在点D，使得. 6．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，， 设平面的一个法向量为 ，不妨设，则，，， 所以平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则. （2）由正方体可得，，，且， 且平面，所以平面的一个法向量为， 则. 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的正弦值为. （3）存在，设点的坐标为，所以 平面的一个法向量为， 因为，所以， 因为平面，所以平面. 此时 7．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．    (1)求证：直线平面． (2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 又底面为矩形，，又，、平面， 所以平面． （2）以A为原点，AP为z轴，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系．    所以，，，，， 令，，得，所以， 根据，则，所以，取的方向向量为， 设平面的法向量为，，， 根据，取，得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值. 8．在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)判断在线段上是否存在点，使得直线与平面成角的正弦值为.若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接，由已知可得：， 又，， 在中，，故， 又，且，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （2）取的中点，连接. 由（1）知平面PBC，故. 又，所以平面，故， 又，所以， 又，平面， 所以平面 以OB，OP所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设，则， 设平面PEC的法向量为， ，， ，，故， 取，则，，则. 故设直线与平面夹角为， 则， 所以， 则或（舍去）， 即Q为线段AP的中点，此时.    9．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. (1)证明：平面. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接，交于点， 四边形为正方形，； 平面，平面，， 又，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为， 设，则，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 由（1）知：平面，平面的一个法向量为； ，解得：， 当，即时，二面角的余弦值为. 10．在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则 (1)证明： (2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)在线段PC上是否存在一点M，满足条件，且. 【详解】（1）因为点P在底面ABC的射影为点H， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，， 所以点为的垂心，所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以； （2）延长交于点，由（1）可得， 又，所以点为线段的中点， 所以，同理可得， 所以为等边三角形，又，所以， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设存在点M，使得BM与平面所成角的余弦值为，且， 则， 设平面的法向量为，， 则，所以， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线BM与平面所成角为，则，又， 所以，故， 所以或，又， 所以. 所以在线段PC上存在点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为，且.    11．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧. (1)证明:平面; (2)若,,,试问在线段上是否存在点,使得与的面积相等？若存在,求到的距离;若不存在,说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在, 【详解】（1）证明:因为平面, 平面, 所以, 因为平面,平面, 所以平面, 因为底面为矩形, 所以, 因为平面,平面, 所以平面, 因为, 且平面,平面, 所以平面平面, 又因为平面, 所以平面; （2）设线段上存在点使得与的面积相等, 过作,垂足为, 因为平面, 所以, 故, 所以, 故, 因为, 所以, 过作,垂足为,连接, 过作,垂足为,连接,如图所示: 因为底面,, 所以底面, 所以, 又,, 所以平面, 因为平面 则, 同理可得, 因为与的面积相等, 所以, 在中,根据等面积法可得, 则, 设,, 则, 因为, 所以, 所以, 因为, 所以, 所以, 整理得, 因为,所以, 故存在,且到的距离为. 【点睛】方法点睛:此题考查立体几何中线面关系及点存在问题的综合问题,属于难题,关于点存在问题的解题方法有: (1)先假设其存在; (2)然后将假设作为条件与已知条件一起进行推理论证和计算; (3)在推理论证和计算无误的前提下,得到了合理的结论,则说明存在; (4)如果得到不合理的结论,则说明不存在. 12．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体中，已知 ，，且. (1)设平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求证：平面平面； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3)线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于，理由见解析． 【详解】（1），平面，平面，平面， 又平面且平面平面， 又平面，平面，平面. （2）若选①，取中点，中点中点，连接， ，， 四边形为平行四边形，， ，又，， ，， 又，， 又，，平面， 平面，平面，平面平面， ，， 又平面，平面平面， 平面，又，，； 综上所述：两两互相垂直. 则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，， 平面， 平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则， 令，解得：，， ， ，即， 平面与平面. 若选②，，，，平面， 平面， 平面，平面平面， 取中点，中点，连接， ，， 又平面，平面平面， 平面， 又，，； 综上所述：两两互相垂直. 以下同选①； 若选③，取中点，中点，连接， ，，又，； 分别为中点，， 又，， 四边形为平行四边形，； ，，，，， ，，， ， 又，， 又，，平面， 平面， 平面， 平面平面， 又，平面，平面平面， 平面， 又，，； 综上所述：两两互相垂直. 以下同选①； （3）设在线段上存在点， 使得平面与平面夹角的余弦值等于， 由（2）得：，， 设平面的法向量， 则， 令， 则， ， ∵面的法向量为， ， 化简得， ， 方程无实数解， 所以线段BC上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$