5.1.1 变化率问题 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变换率问题 人教A版（2019）选择性必修二 锦十七原创模板，更多模板欢迎访问：https://www.docer.com/works?userid=418866232 1 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 学习目标 割线与切线的斜率 学习重点 学习难点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 新课导入 在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 新课学习 一.平均速度 运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段的运动得越来越慢，在下降阶段的运动越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态. 思考一下 结论 瞬时速度的概念 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗？ 二.瞬时速度 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 思考一下 结论 思考一下 结论 三.割线与切线的斜率 T o 1 2 1 2 3 x y P0 P 1.切线的定义 2.割线与切线的斜率 （1）切线的斜率 （2）切线的斜率 O 1 (1，h(1)) t h (1+Δt，h(1+Δt)) h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 课堂巩固 C B B C D 1 总结一下 1. 平均速度 2. 瞬时速度 3. 抛物线切线与割线的斜率 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 . 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 例如，在 这段时间里， ； 在 这段时间里， . 一般地，在 这段时间里， . 计算运动员在 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在 这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 设运动员在 时刻附近的某一时间段 或 的平均速度是 ，所以当不断缩短上述时间段的长度，即 无限趋近于0时， 将越来越趋近于运动员在 时刻的瞬时速度.求瞬时速度体现了运动变化的观点. 为了求运动员在 时的瞬时速度，在 之后或之前，任意取一个时刻 ， 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当 时， 在1之后；当 时， 在1之前. 当 时，把运动员在时间段 内近似看成做匀速直线运动，计算时间段 内的平均速度 ， 求运动员在 s时刻的瞬时速度 设运动员在 时刻附近某一时间段内的平均速度是 ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 将越来越趋近于运动员在 时刻的瞬时速度. 用平均速度 近似表示运动员在 时的瞬时速度.当 时，在时间段 内可作类似处理. 当 时，在时间段 内 当 时，在时间段 内 …… …… 给出 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 的值.当 无限趋近于0时，平均速度 有什么变化趋势？ 当 无限趋近于0，即无论 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度 都无限趋近于 . 事实上，由 可以发现，当 无限趋近于0时， 也无限趋近于0，所以 无限趋近于 ，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把 叫做“当 无限趋近于0时， 的极限”，记为 . 从物理的角度看，当时间间隔 无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于 时的瞬时速度. 因此，运动员在 s时的瞬时速度 . 运动员在 和 时间段的平均速度 ， ， 运动员在 的瞬时速度为-14.8m/s. （2） ， 运动员在某一时刻 的瞬时速度为 m/s 当点 无限趋近于点 时，割线 无限趋近 于一个确定的位置，这个确定位置的直线 称为 抛物线 在点 处的切线. 如图，当点 沿着抛物线 趋近于点 时，割线 有什么变化趋势？ 抛物线 在点 处的切线 的斜率与割线 的斜率有内在联系.记 ，则点 的坐标是 . 于是，割线 的斜率 . 我们可以用割线 的斜率 近似地表示切线 的斜率 ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔 来提高近似表示的精确度，得到如下表格. …… …… 当 无限趋近于0时，即无论 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线 的斜率 都无限趋近于2. 事实上，由 可以直接看出，当 无限趋近于0时， 无限趋近于2. 我们把2叫做“当 无限趋近于0时， 的极限”，记为 . 从几何图形上看，当横坐标间隔 无限变小时，点P无限趋近于点 ，于是割线 无限趋近于点 处的切线 .这时，割线 的斜率 无限趋近于点 处的切线 的斜率 .因此，切线 的斜率 . 观察问题1的函数 的图象（如图），平均速度 的几何意义是什么？瞬时速度 呢？ 平均速度 的几何意义是曲线过两点 与 的割线的斜率. 瞬时速度 的几何意义是曲线在点 处的切线斜率. 1.函数 的图象如图，则函数 在下列区间上平均变化率最大的是( ) A. B. C. D. 解析：由题图可知，在区间 上，函数的图象最陡，即 最大，所以函数 在区间 上的平均变化率最大.故选C. 解析：函数 在区间 上的平均变化率为 .当 时， ，即 在 时的瞬时变化率为2m.所以 ，解得 .故选B. 3.已知函数 ，则 从1到 的平均变化率为( ) A.2 B. C. D. 解析：函数 从1到 的平均变化率为 . 4.某物体的运动方程为 (位移单位:m,时间单位：s)，若 ,则下列说法中正确的是( ) A.24m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B.24m/s是物体从3s到 这段时间内的速度 C.24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D.24m/s是物体从3s到 这段时间内的平均速度 解析：由 ， 可知，24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度. 5.某直线运动的物体从时刻t到 的位移为 ，那么 为( ) A.从时刻t到物体的平均速度 B.从时刻t到位移的平均变化率 C.当时刻为时该物体的速度 D.该物体在t时刻的瞬时速度 解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到 时，时间的变化量为 ，而物体的位移为 ，那么 为该物体在t时刻的瞬时速度.故选：D. 6.过曲线 上两点 ， 的割线的斜率为__________. 解析：由过曲线 上两点 ， 的割线的斜率k即为两点连线的直线的斜率，则 .故答案为1. 7.函数 在区间 上的平均变化率为___________. 解析： . $$