13.2 第3课时 角边角和角角边 课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册 1.角边角公理 如果两个三角形有______________及其______________分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为______________. 两角 夹边 A.S.A. 2.角角边定理 如果两个三角形有________及其____________________分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为______________. 【特别注意】三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 两角 一角的对边 A.A.S. 知识点1 角边角、角角边 1 如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD.求证：AB=DE. 证明：∵∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA， ∴∠ACB=∠DCE. 在△ABC与△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(A.A.S.)， ∴AB=DE. 【规律方法】当已知有两角或者一角一边对应相等时可以考虑用“A.A.S.”或“A.S.A.”证两个三角形全等. 1.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥l于点F、DE⊥l于点E.若DE=8，BF=5，则EF的长为( ) A.13 B.3 C.6 D.3或13 A 2.如图，已知∠1=∠2.当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是___________；当∠C=∠D时，△ABC≌△ABD的依据是__________；当AC=AD时，△ABC≌△ABD的依据是__________. A.S.A. A.A.S. S.A.S. 3.［2023·营口］如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. (1)求证：△ACE≌△BDF； (2)若AB=8，AC=2，求CD的长. (1)证明：在△ACE和△BDF中， ∴△ACE≌△BDF(A.A.S.)； (2)解：由(1)知△ACE≌△BDF， ∴BD=AC=2. ∵AB=8，∴CD=AB－AC－BD=4. 知识点2 两次证三角形全等 2 如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：OB=OC. 证明：在△ADC和△AEB中， ∴△ADC≌△AEB(A.S.A.)， ∴AD=AE. ∵AB=AC，∴BD=CE. 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(A.A.S.)， ∴OB=OC. 【规律方法】证两次三角形全等得线段或角相等，第一次证三角形全等是为第二次证三角形全等提供条件. 4.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC=∠CDB，∠ACB=∠DBC.分别延长BA与CD交于点F.求证：BF=CF. 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(A.A.S.)，∴AC=DB. ∵∠BAC=∠CDB，∴∠FAC=∠FDB. 在△FAC和△FDB中， ∴△FAC≌△FDB(A.A.S.)，∴BF=CF. 1.在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( ) D 2.如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是( ) A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC C.AC=DB D.∠A=∠D B 3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 B 4.如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a－b+c D.a+b－c D 5.如图，已知△ABC中，AD和BE交于点F，AD=BD，CD=4，则线段DF的长度为______________. 4 6.如图，点E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过点E作直线交AB于点M，交CN于点N，若MB=6cm，CN=4cm，则AB的长度为______________cm. 10 7.(1)如图①，在△ABC中，∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=______________； (2)如图②，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_________. 3 8 8.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②AF∥EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有______________(填序号). ①③④ 9.［南充·中考］如图，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.求证：AF=BE. 证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAF=90°. ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠BAE+∠B=90°，∴∠CAF=∠B， 在△ACF和△BAE中， ∴△ACF≌△BAE(A.A.S.)，∴AF=BE. 10.如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE. 求证：△ABE≌△CDF. 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DCF. ∵AF=CE， ∴AE=CF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(A.A.S.). 11.如图，在△ABN和△ACM中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求证： (1)BD=CE；(2)∠M=∠N. 证明：(1)在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)， ∴BD=CE； (2)∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM. ∵△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C. 在△ACM和△ABN中， ∴△ACM≌△ABN(A.S.A.)， ∴∠M=∠N. 12.如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE=CD，BD与CE交于点O. (1)求证：△COD≌△BOE； (2)若CD=2，AE=5，求AC的长. (1)证明：在△COD和△BOE中， ∴△COD≌△BOE(A.A.S.)； (2)解：∵△COD≌△BOE， ∴OC=OB，OD=OE，∴OC+OE=OB+OD， 即CE=BD. 在△ACE和△ABD中， ∴△ACE≌△ABD(A.A.S.)，∴AE=AD=5. ∵CD=2，∴AC=AD+CD=7. 13.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC和AB上，AE=CD，CE与BD交于点P，BF⊥CE于点F，若AP⊥BP，则下列结论：①∠ACE=∠CBD，②∠BPE=60°，③△APB≌△BFC.其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 14.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________. 50 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连结DE，AC=DE，BC=BE，∠C=∠DEB. (1)求证：AB=BD； (2)BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上的一点，连结DG，点H是线段DG上一点，连结AH交BD于点K，连结KG.当KB平分∠AKG时，求证：AK=DG+KG. 证明：(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中， ∴Rt△ACB≌Rt△DEB(S.A.S.)， ∴AB=BD； (2)如图，过点B作BM平分∠ABD交AK于点M. ∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG， ∴∠ABM=MBD=45°，∠AKB=∠BKG. ∵∠ABF=∠DBG=45°，∴∠MBD=∠DBG. 在△BMK和△BGK中， ∴△BMK≌△BGK(A.S.A.)， ∴BM=BG，MK=GK.在△ABM和△DBG中， ∴△ABM≌△DBG(S.A.S.)，∴AM=DG. ∵AK=AM+MK，∴AK=DG+KG. $$