专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 变式2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 变式2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 4．（2022秋·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：；(2)求证：． 5．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 6．（2023·江苏·八年级假期作业）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______． 这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______． 7．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 8．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长．      9．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；         【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 10．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 11．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在中，，平分，连接，，． (1)求的度数；(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长． 13．（2023春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 14．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 15．（2024·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 16．（2023春·广东·七年级专题练习）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题． （1）如图1，在四边形中，，，连接． ①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明． 17．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证）， （已知），∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，．请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线，, 在与中，, ，, 在中，， 即，．故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点，∴, 又∴，，， ∵，∴, ,即， 又∵，∴， ∴，∴． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）第一种辅助线做法：延长到点F，使，连接．只要证明△BEF≌△CED，即可解决问题．第二种辅助线做法：作于点G，交延长线于点F，先证明△BEF≌△CEG，再证明△ABF≌△DCG即可．（2）延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA即可． 【详解】（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF， ∵E是BC的中点∴BE=CE 在△BEF与△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS）∴BF=CD ， ∠F=∠CDE 又∵∠BAE=∠CDE∴∠BAE=∠F∴BF=AB ∴AB=CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E； 则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE 在△BEF与△CEG中∴△BEF≌△CEG （AAS）∴BF=CG， 在△ABF与△DCG中， ，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD ． （2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD．在△BDAˊ与△CDA中 ， ∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD， 又∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF=BAˊ ∴BF=AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 【答案】(1)证明见解析(2)①，；②；③(3)见解析 【分析】（1）由是边上的中线，可知，进而可证； （2）根据全等三角形的判定定理进行作答即可； （3）作延长线到使，根据垂直平分线的性质，分别以为圆心，长为半径画弧，弧的交点即为，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得． 故答案为：； （3）解：如图，，即为所求； 【点睛】本题考查了中线，垂直平分线的性质，作垂线，全等三角形的判定定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点，， ，，， 在中，，，； （2）如图，延长交于点，∵的中点为D，∴，         ∵由题意可得：，而， ∴，∴，， ∵，，∴，是的垂直平分线，∴； （3），，理由如下：如图，延长，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．∵， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 证明见解析． 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论； （3）如图2，过作于 延长交于 证明 可得 再证明 即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中， ∴，即， ∴， （2）， 理由是：由（1）知，， ∴， ∴ （3）理由：如图2，过作于 延长交于 ∵是的中线，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴相交所成的角为直角，即 综上： 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论；（2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证；（3）先证明，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分，，在和中，， ，，， ，，，，； 方法2：延长到，使，连接，平分，， 在和中，，，，， ，， ，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析． 【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论． 【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB． ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD． ∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED． ∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE； （2）猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG． ∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键． 变式2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，方位角的计算： （1）延长到点，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （2）如图，延长到，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （3）如图，连接，延长交于点，先证明，再由，结合探索延伸中的结论可知，海里． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中， ， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，在上截取．证明，．进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：在上截取．平分，，    又，．． ，．∵． 平方，∴，又， ．①，故，故①正确； ②，即是中点，故②正确；③与不一定相等，故③不正确； ④，，，故④正确． 故答案为：①②④． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____． 【答案】 【分析】延长到E，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：延长到E，使得，连接，如图， 在和中，，∴，∴． ∵，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练运用全等三角形的判定是本题关键． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 【答案】2.4 【分析】延长到点，使，首先证明，然后得到，，然后根据等腰三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】如解图，延长到点，使， ∵为边的中线，∴∵， ∴∴， ∵∴∴ ∵，∴∴．故答案为：2.4． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 4．（2022秋·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，∴， ∵， ∴，∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， ∵，∴（SAS），∴， ∵，∴，∵，， ∴（AAS），∴，∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ，∴△BEF≌△CED（SAS）， ∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 6．（2023·江苏·八年级假期作业）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______． 这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______． 【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）8． 【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可； （2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）在和中， ∴，∴． ∵，∴，即， ∴，∴，解得：； 故答案为：；；；； （2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，∵，∴， 在和中，∴， ∴，，∴，∴， ∴在中，，∴； （3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F， ∵，， 在和中， ，∴，， ∵，∴，∵，∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 7．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的一个外角， ∴，∴，∴，∴ ∵，∴； （2）在上截取，连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴的长为16． 8．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析(2)13 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，，， ∴． 9．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；         【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解. 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，         ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中，∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA. （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 10．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法的理解与应用，熟练掌握倍长中线法证明三角形全等是解题的关键： [方法初探]延长至点E，使，连接，利用证明即可； [问题解决]延长至点G，使，连接，同理可证，得到，，再证明，得到即可推出． 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接． ∵是边上的中线，∴， 在和中， ∴，故答案为； [问题解决]，理由如下： 证明：延长至点G，使，连接， 同理可证，∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴ ∵∴， 又∵，∴，∴∴． 11．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论． 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M， ∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中， ，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α， 在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD， ∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α， ∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°， ∴α＝108°，∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH， ∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在中，，平分，连接，，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，交于E，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）设．则，，由平分，得到，由三角形内角和定理，求得，进一步即可得到答案； （2）先证明，则，则，又由得，即可得到结论； （3）由O是的中点及得到，再证明，得到，则，又由，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1中，设． ∵，，∴，， ∵平分，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，∴． （2）证明：∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． （3）解：如图3中，连接，取O是的中点， ∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根据G是的中点可知： ，，，，∴， ∵，∴， ∴，∴，又，∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角直角三角形的性质，熟练掌握三角形的全等和相似是解题的关键． 13．（2023春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴，∵平分∴，   ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴．故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，   ∴，∴，∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴，∵，∴， ∵，  ∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 14．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD． 【分析】（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB； （2）在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°， ∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD， 在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS） （2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE， 由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD， ∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°， ∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG， 在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS）， ∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N ∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°， ∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC ∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM， ∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM， ∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC， 在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD； ∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°， ∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG， 在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS）， ∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 15．（2024·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析(3)，理由见解析 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则． （1）解：延长至E，使，连接， 是边上的中线，，在和中，， ，， 在中，由三角形的三边关系得：，，即， ，，；故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：，， ，，∴MD是线段NF的垂直平分线，， 在中，由三角形的三边关系得：，； （3）解：，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：，，， ，，即， ，，∵，，∴， 在和中，，，，． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． 16．（2023春·广东·七年级专题练习）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题． （1）如图1，在四边形中，，，连接． ①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系； （2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系． 【详解】（1）如图，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ，．平分 （2） 证明：如图，延长到点，使得，连接． 由（1）知，， 在直角三角形中， （3） 证明：如图，延长至，使得，连， 由（1）知，， 在与中， ，，， 【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定及等腰三角形的性质与判定．综合性较强． 17．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证）， （已知），∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3． 【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可； （2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论． 【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， 在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4， 在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5； （2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F， 在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF， ∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD； （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G， 在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC， ∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF， ∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，．请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解；（3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线，， 又，，，， 在中，，，， ，，故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点，．，，， ，，，， ，∴ ，又∵，∴． ∵，∴，∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，，，，，， ，，故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$