专题07 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题07 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 15 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，已知，，点B是射线上的一个动点，分别以、为直角边，B为直角顶点在的两侧作等腰和等腰，连接交于一点P，当B在射线上移动时，线段的长等于 ． 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作等腰和等腰其中，连接与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 例4．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．结论：．       (1)填空：①如图1，若，，则DE=　 　； ②如图2，，，点B的坐标为，则点A的坐标为　 　． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点D，A，E三点，且．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则　 　． 例5．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 例6．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______； 【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围． 1．（2024·浙江·校考一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　） A． B． C． D． 2．（江苏省宿迁市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，，直线于点，点是直线上的一点，且，分别以，为直角边按如图所示作等腰直角三角形，得到和，连接，交直线于点，则的面积是 ． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰 ，连接交y轴于P点，点P的坐标是 ．    7．（2024·江苏·校考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形； (3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 8．（23-24八年级上·广西崇左·期末）（1）问题：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． （2）问题解决：小明发现，解题时条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，请写出小明解决问题的完整过程； （3）应用：如图2，以的边，为边向外分别作等腰直角和，M是的中点，连接．当时，求的长． 9．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）情景观察：将长方形纸片沿对角线剪开，得到和，如图1所示，将的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与相等的线段是 ， ． 问题探究：如图3，中，于点G，以A为直角顶点，分别以为直角边，向外作等腰和等腰，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为P、Q．试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 10．（23-24九年级下·江西九江·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知： (1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，在为等边三角形时，与的数量关系为___________．    ②如图3，当时，则长为___________． 猜想论证：(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．(3)如图4，在四边形中，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 11．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，，过点C作，垂足为H，与交于点F． (1)求证：；(2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求的长． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接．①求证：．②判断与的位置关系，并说明理由． 13．（23-24八年级上·浙江·开学考试）（1）如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l．垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，，，，，探索与的面积之间有什么关系？并说明理由． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图．中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向形外作等腰和等腰，过点，作射线的垂线，垂足分别为、    (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，若连接交的延长线于，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由；(3)在的条件下，若，请直接写出 ． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空：①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 15 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，已知，，点B是射线上的一个动点，分别以、为直角边，B为直角顶点在的两侧作等腰和等腰，连接交于一点P，当B在射线上移动时，线段的长等于 ． 【答案】 【分析】过点E作，垂足为点N，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】如图，过点E作，垂足为点N， ，，， 、均为等腰直角三角形，，； 在与中，，，，； ，，在与中，，， ；，故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作等腰和等腰其中，连接与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】通过证明，即可证明①，②；过点D作于点M，过点E作于点N，证明，，，即可证明③，⑤；根据直角三角形两个锐角互余，通过角度的等量代换，即可证明④． 【详解】解：①∵为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，故①正确； ②∵，∴，∵， ∴，∴，故②正确； ③过点D作于点M，过点E作于点N， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，在和中，， ∴，∴，同理可得：，∴，∴， 在和中，，∴，∴，即为的中线， 当时，，∵为锐角三角形，∴，故③不正确，不符合题意； ④∵，∴，∵是边上的高，∴， ∴，故④正确；⑤由③可知：，，， ∵，， ∴．综上，正确的有①②④⑤，故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题意画出辅助线，构建全等三角形． 例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．同（1）证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②延长到点，使，连接．先证明，得到，，进而，．证明得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，． 是斜边的中点，，， ，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点． 证明（具体证法过程跟②一样）．， 是中点，是中点，是中位线，， ，，， ，．故答案为：； ②证明：延长到点，使，连接． ，，，， ，，，， ，，． ，．在和中， ，，，，， ，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与 运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 例4．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．结论：．       (1)填空：①如图1，若，，则DE=　 　； ②如图2，，，点B的坐标为，则点A的坐标为　 　． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点D，A，E三点，且．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则　 　． 【答案】(1)①8；②(2)，理由见解析(3)5 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）如图4，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，故答案为：8； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，∴， ∵，∴，∴，       在与中，，∴，∴，， ∵点B的坐标为，∴，，∴，，∴，故答案为：； （2）， 理由如下：∵，，，∴， ∵，，∴； （3）如图4，过E作于M，的延长线于N．∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，， 同理，，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例5．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）见解析；（2）①与是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路的总造价为元 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，则，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求；              （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，∴， ∵、是等腰直角三角形，，∴，， ∴， ∵，∴， 在和中，∴（），∴， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，，∴与不全等，∴与是偏等积三角形； ②如图，过点作，交的延长线于，则， ∵点为的中点，∴， 在和中，，∴（），∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴（），∴， ∵∴，∴， ∴，∴．由①得：与是偏等积三角形， ∴，，∴（）， ∴（元）．答：修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 例6．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______； 【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围． 【答案】（1），（2）；（3） 【分析】（1）先证明可得，再结合三角形的三边关系可得答案； （2）延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”，从而可得范围． 【详解】解：（1）∵是中线，∴， ∵，，∴， ∴，而，∴，，， 由三角形三边关系可得：，即，∴， （2）；理由如下：如图1，延长至点E使，连接，       ∵是的“旋补中线”，∴是的中线，即， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，，∴， ∵，，∴，∴． （3）如图，作于H，作交延长线于F， ∵，∴，∴， ∵，即，∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴是的中线，∵，， 结合（1）的结论可得：，即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（2024·浙江·校考一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，依据勾股定理即可求得DF的长，再根据全等三角形的对应边相等得到FQ=DP，进而证明 △FQM≌△DPM，得到M是FD的中点，由此可得DM=DF． 【详解】如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q， ∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°， 又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3， ∴CNCD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN， Rt△DFN中，DF． ∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°， 又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH， 又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS）， ∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP， 又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS）， ∴FM＝DM，即M是FD的中点， ∴DMDF．故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造全等三角形，灵活运用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 2．（江苏省宿迁市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ，，故①正确； 设相交于点N，，， ， ，，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ，，， ，， 在和中，，， ，，故④正确； 同理可得，，在和中， ，，， ，是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个．故选：D． 3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③ 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等角的补角相等等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由，得，因为，，，所以，，则，可判断①正确；由，推导出，可证明，得，可判断②正确；当直线时，作直线于点，过点作于点，过点E作于点，证明及， 再求解可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】①当时，是等边三角形， ∴，∴， ∵等腰直角、，∴，∴， ∴．故①正确． ②∵等腰直角、，∴，， ∴，∴，∴．故②正确． ③如图所示，作直线于点，过点作于点，过点E作于点，      ∵，，∴，又，∴， 又∵，∴，同理得， ∴，，， ∵，，∴， ∴，即是的中点，故③正确，故答案为：①②③． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则，， 是等腰直角三角形，，， ，． 在和中，∵， ≌,，． 是等腰直角三角形，，，． 在和中，  ∵，≌, ．．故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，，直线于点，点是直线上的一点，且，分别以，为直角边按如图所示作等腰直角三角形，得到和，连接，交直线于点，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等腰三角形，全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，掌握用证两个三角形全等是解决此题的关键．过点作于，先利用证出，从而得出，，然后利用证出，从而求出的长．进而利用面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于，如图所示 ∵，和为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，∴， 在和中∴ ∴，，∴， ∵，∴， 在和中∴ ∴．∴．故答案为：． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰 ，连接交y轴于P点，点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】过点E作轴于点G，证明得到，证明，得到，由此求出的长即可得到答案． 【详解】∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴，    ∵ 等腰，等腰 ，∴，∴， 过点E作轴于点G，∴,， ∵,∴,∴， ∵，∴，∵,∴, ∴，故，故，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 7．（2024·江苏·校考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形； (3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)42000元. 【分析】（1）如图1，作的中线，与的面积相等（作中线也可以）; （2）如图2，过点作交的延长线于．证明，推出可得结论; （3）首先，过作于，过作于，证，得，则；其次，过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积得，求出，即可求解． 【详解】（1）如图1中，作的中线，与的面积相等（作中线也可以）; （2）证明：如图，过点作交的延长线于; 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，，， ，，，与为偏等积三角形; （3）首先，过作于，过作于，如图所示，则， 、是等腰直角三角形，，，， ，，， 在和中，，，， ，，，，， 其次，如图，过点作，交的延长线于， 则，点为的中点，， 在和中，，，，，， ，，，， ，，， 在和中，，，，，， ，，，， ，，， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 8．（23-24八年级上·广西崇左·期末）（1）问题：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． （2）问题解决：小明发现，解题时条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，请写出小明解决问题的完整过程； （3）应用：如图2，以的边，为边向外分别作等腰直角和，M是的中点，连接．当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）10 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；（2）根据中点得出，再证明即可；（3）先证明，得出，，推出，进而得出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是， 故答案为：； （2）∵边上的中线是，∴， 在和中，，∴； （3）解：延长到点N，使，∵M是的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）情景观察：将长方形纸片沿对角线剪开，得到和，如图1所示，将的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与相等的线段是 ， ． 问题探究：如图3，中，于点G，以A为直角顶点，分别以为直角边，向外作等腰和等腰，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为P、Q．试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】情景观察或；；问题探究  ，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定：（1）根据题意可直接进行解答； （2）证明，可得，同理，可得，即可． 【详解】解：情景观察  ∵将长方形纸片沿对角线剪开，得到和， ∴与相等的线段是或， ∵，∴， ∴；故答案为：或；； 问题探究  ，理由如下： ∵是等腰三角形，∴，，∴， ∵，，即，∴，∴， 在和中，∵， ∴，∴，同理，∴，∴． 10．（23-24九年级下·江西九江·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知： (1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，在为等边三角形时，与的数量关系为___________．    ②如图3，当时，则长为___________． 猜想论证：(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．(3)如图4，在四边形中，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①，②9(2)，详见解析(3)存在， 【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可． 【详解】（1）解：①如图2中，是等边三角形，， ，，，， ，，，故答案为．       ②如图3中，，，， ，，，， ，，故答案为9． （2）结论：．理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形，， ，，， ，，，． （3）解：存在．理由：如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．    ，， 在中，，，，，，， 在中，，，，，， ，，，，， 在中，，，， ，，，， ，，， 在和中，，， ，四边形是矩形，，， 是等边三角形，， ，，，是的“旋补三角形”， 在中，，，，． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 11．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，，过点C作，垂足为H，与交于点F． (1)求证：；(2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)详见解析(2)（1）的结论仍然成立(3)CF的长为或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，，得出，，则可得出结论； （2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． （3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，，， ，， ，，， ，，，，； （2）解：（1）的结论仍然成立．理由如下：作交直线于点，如图2，， 又，， 又，，， 又，， 又，，，又，， 又，，，，． （3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点， ，，，，，，， ，，，， ，由（2）知，又，， ，，， ，； ②当点在的上时，过点作于点，如图4， 同理可得，，，， ，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接．①求证：．②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点，∴， ∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴ ∵，∴，∴，∴． ②延长交于点N，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 13．（23-24八年级上·浙江·开学考试）（1）如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l．垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，，，，，探索与的面积之间有什么关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）相等，理由见解析 【分析】（1）由题意可得∠BDA=∠CEA=90°，∠BAD+∠CAE=90°，可证明△ADB≌△CEA（AAS），可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA（AAS），同（1）可得出结论； （3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，证明△EMI≌△GNI（AAS），得到S△AEG=S△AEM+S△AGN，再证明△ABH≌△EAM，△AHC≌△GNA，从而得到S△ABH=S△EAM，S△AHC=S△GNA，即可证明结论． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立：DE=BD+CE．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N， ∴∠EMI=GNI=90°，由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN，∴EM=GN， 在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴S△EMI=S△GNI，∴S△AEG=S△AEM+S△AGN， ∵∠BAE=90°，则∠BAH+∠EAM=90°，而∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠EAM， 又∵∠AHB=∠AME，AE=AB，∴△ABH≌△EAM（AAS），同理：△AHC≌△GNA， ∴S△ABH=S△EAM，S△AHC=S△GNA，∴S△ABC=S△ABH+S△AHC=S△EAM+S△GNA=S△AEG． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图．中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向形外作等腰和等腰，过点，作射线的垂线，垂足分别为、    (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，若连接交的延长线于，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由；(3)在的条件下，若，请直接写出 ． 【答案】(1)，证明见解析(2)，理由见解析(3)60 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）通过证明得到，同理可得，即可求证； （2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，通过证明即可求解；（3）利用全等三角形的性质可得，求解即可． 解题的关键是理解题意，找到相应的全等三角形． 【详解】（1）解：， 证明：，，，， ，，， 在和中，，， 同理，则，； （2）解：，理由是：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，如下图：    ，，， 在和中，，； （3）解：，，， ，，， ．故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空：①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 【答案】(1)①8；②(2)，理由见解析(3)5 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过作轴于，过作轴于，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）如图4，过作于，的延长线于．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，， ，，，故答案为：8； ②如图2，过作轴于，过作轴于，， ，，， 在与中，，，，， 点的坐标为，，，，，，故答案为：； （2）解：，理由如下： ，，，， ，，； （3）如图4，过作于，的延长线于． 四边形是正方形，，， ，，， ，，，， 同理，，，， 在和中，，， ，，故答案为：5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$