精品解析： 江苏省东台市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题

2023-2024学年度第一学期期末学业水平考试 八年级数学 （试卷分值120分，考试时间100分钟） 注意事项： 1．本试卷考试形式闭卷，所有试题解答必须写在答题卡上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数：， ，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移 个单位 D. 向上平移 个单位 6. 如图，数轴上点A表示的数是 ，， ，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图像可由直线向下平移1个单位得到 C. 图像经过第二、三、四象限 D. 图像与两坐标轴围成的三角形的面积为0.25 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 3______．（选填“ ”“ ”或“ ”） 10. 如图，，，，则 的度数为________________. 11. 如图，在中， ，点D是 的中点， ， ，则______． 12. 已知等腰三角形的一个外角是80°，则它顶角的度数为______． 13. 如图，直线与直线交于一点，则关于x的不等式的解集是______． 14. 人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________． 15. 如图，等腰 的底边 的长为12，周长为32，腰的垂直平分线 分别交边于E、F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上的一个动点，则的周长的最小值为______. 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段 上的点D到直线 的距离 长为3，则点D的坐标为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）. 18. 求x的值： （1）； （2）. 19. 如图 中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 20. 如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？ 21. 如图，已知 和 ，与 交于点P，点C在 上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知，，，解答下列问题： （1）画出 关于轴对称的； （2）点的坐标为______；（直接写出结果） （3）利用网格画出线段 的垂直平分线. 23. 某手机专卖店销售一台A型手机的销售利润为100元，销售一台B型手机的销售利润为150元，该专卖店计划一次购进两种型号的手机共20台，其中B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，设购进A型手机x台，这20台手机的销售总利润为y元. （1）求y关于x的函数表达式； （2）该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 24. 如图，在 中，分别是边上的高线，M是 的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 25. 如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发 小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； （2）求线段 所表示的y与x之间的函数关系式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C. （1）点C的坐标为______；（直接写出结果） （2）如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线 交于点E，与直线 交于点F，且. ①求点E的坐标； ②若点M是射线 上的动点，连结，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线 上时，求出对应的点M的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期期末学业水平考试 八年级数学 （试卷分值120分，考试时间100分钟） 注意事项： 1．本试卷考试形式闭卷，所有试题解答必须写在答题卡上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，根据勾股定理逆定理分别计算并判断能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】A.不能构成三角形，故该项不符合题意； B.，不是直角三角形，故该项不符合题意； C. ，是直角三角形，故符合题意； D. ，不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 3. 在实数：， ，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无理数即为无限不循环小数，即可得到答案． 【详解】解：无理数即为无限不循环小数， ，是无理数， 故选B． 4. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】已知在 和中，，， A．∵ ，由，可证得，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， 由，可证得，故本选项不符合题意； C．∵， 由，无法证得，故本选项符合题意； D．∵ ， 由，可证得，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于 轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移 个单位 D. 向上平移 个单位 【答案】B 【解析】 【分析】关于 轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可. 【详解】∵点平移后能与原来的位置关于 轴对称， ∴平移后的坐标为 ∵横坐标增大 ∴点是向右平移得到，平移距离为 故选：B. 【点睛】此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题. 6. 如图，数轴上点A表示的数是 ，， ，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理，先求出，则，即可解答． 【详解】解：∵点A表示的数是 ， ∴， ∵， ， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴点P所表示的数是， 故选：C． 7. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图像可由直线向下平移1个单位得到 C. 图像经过第二、三、四象限 D. 图像与两坐标轴围成的三角形的面积为0.25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像分布，性质，平移，与坐标轴的交点．根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，图像经过第二、一、四象限，利用平移思想判定，求出交点坐标，计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意； 图像可由直线向上平移1个单位得到，故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴图像经过第一、二、四象限，故C选项错误，不符合题意； 当 时， ，当 时，， ∴该直线与两坐标轴的交点坐标为， ∴图像与两坐标轴围成的三角形的面积为，故D选项正确，符合题意； 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质， 所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键． 过点作轴于 ，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于 ， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ∴逆时针旋转 后，得，以此类推，6次一个循环， ， ∴第2024次旋转后，点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 3______．（选填“ ”“ ”或“ ”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．先估算的取值范围，即可得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： ． 10. 如图，，，，则 的度数为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论． 【详解】∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC=∠CAD． ∵∠BCA=40°，∠B=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠BCA﹣∠B=180°﹣40°﹣80°=60°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠BAC=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解答本题的关键． 11. 如图，在中， ，点D是 的中点， ， ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ， ， ∴由勾股定理得， ∵点D是 的中点， ∴． 12. 已知等腰三角形的一个外角是80°，则它顶角的度数为______． 【答案】100°． 【解析】 【分析】三角形内角与相邻的外角和为180 ，三角形内角和为180 ，等腰三角形两底角相等，100 只可能是顶角． 【详解】等腰三角形一个外角为80 ，那相邻的内角为100 ， 三角形内角和为180 ，如果这个内角为底角，内角和将超过180 ， 所以100 只可能是顶角． 故答案为：100 ． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80 的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键． 13. 如图，直线与直线交于一点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到当直线的图象在直线图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的图象在直线图象下方时， ， ∴关于x的不等式的解集是 ， 故答案为： ． 14. 人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________． 【答案】厘米 【解析】 【分析】根据近似数可得0.000077厘米≈0.00008厘米，然后根据科学记数法可进行求解． 【详解】解：由题意得：0.000077厘米≈0.00008厘米， ∴用科学记数法表示为； 故答案为厘米． 【点睛】本题主要考查近似数及科学记数法，熟练掌握近似数及科学记数法是解题的关键． 15. 如图，等腰 的底边 的长为12，周长为32，腰的垂直平分线 分别交边于E、F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上的一个动点，则的周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是最短路线问题，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接 ， 等腰 的底边 的长为12，周长为32， ， 点D为 边的中点， ， ， ， 腰的垂直平分线 分别交边于E、F点， 点 关于直线 的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段 上的点D到直线 的距离 长为3，则点D的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法，以及应用三角形的面积公式构造方程． 连接 ，过点D作于点H，分别求出点A、B、C的坐标，进而得出，，，则，根据勾股定理得出，设，则，根据列出方程求解即可． 【详解】解：连接 ，过点D作于点H， 把 代入得： ， ∴，则， 把 代入得， 解得：， ∴，则， 把 代入得：， 解得：， ∴，则， ∴， 根据勾股定理可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据立方根、算术平方根进行求解． （1）根据有理数的乘方以及算术平方根进行计算，即可求解； （2）根据算术平方根与立方根进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 求x的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解方程，熟练掌握开平方根以及开立方根是解题的关键． （1）直接开平方解方程即可； （2）直接开立方解方程即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 19. 如图 中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 【答案】 证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】略 20. 如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？ 【答案】此时轮船离A地60海里 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 21. 如图，已知 和 ，与 交于点P，点C在 上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出 ，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 解：， ， 即 ． 在和 中， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知，，，解答下列问题： （1）画出 关于 轴对称的； （2）点的坐标为______；（直接写出结果） （3）利用网格画出线段 的垂直平分线. 【答案】（1）详见解析 （2） （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，写出坐标系中点的坐标，垂直平分线的定义； （1）根据轴对称的性质画出； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）根据网格的特点画出 的垂直平分线 【小问1详解】 如图所示，即为所求. 【小问2详解】 点的坐标为； 故答案为：． 【小问3详解】 如图所示，直线 即为所求. 23. 某手机专卖店销售一台A型手机的销售利润为100元，销售一台B型手机的销售利润为150元，该专卖店计划一次购进两种型号的手机共20台，其中B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，设购进A型手机x台，这20台手机的销售总利润为y元. （1）求y关于x的函数表达式； （2）该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）该专卖店购进A型手机5台、B型手机15台时，才能使销售总利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一次函数即可； （2）根据函数解析式得到y随x的增大而减小，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 即y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解： B型手机的进货量不超过A型手机的3倍， ，解得， ，， y随x的增大而减小， 当 时，y取得最大值，此时，， 答：该专卖店购进A型手机5台、B型手机15台时，才能使销售总利润最大，最大利润为2750元． 24. 如图，在 中，分别是边上的高线，M是 的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，即可证明结论； （2）根据三角内角和定理可得，根据，可得，进一步可得，求出的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数． 【小问1详解】 证明：∵分别是边上的高线， ∴， ∵M是 的中点， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 25. 如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； （2）求线段 所表示的y与x之间的函数关系式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，休息后按原速继续前进的时间为小时，，，待定系数法求线段 所表示的y与x之间的函数关系式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为（千米/时）， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：由题意知，休息后按原速继续前进的时间为（小时），， ∴， 设线段 所表示的y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段 所表示的y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：不能准时到达，理由如下： 由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为（小时）， ∵， ∴不能准时到达． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C. （1）点C的坐标为______；（直接写出结果） （2）如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线 交于点E，与直线 交于点F，且. ①求点E的坐标； ②若点M是射线 上的动点，连结，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线 上时，求出对应的点M的坐标. 【答案】（1） （2）①；②点M的坐标为、或 【解析】 【分析】（1）根据两条直线的关系式求出交点坐标即可； （2）①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案；②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可． 本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论． 【小问1详解】 联立， 解得：， ∴点C的坐标为；； 故答案为：； 【小问2详解】 ①设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∵， ∴， 解得： ， ∴， ∴点E的坐标为； ②当时， 把代入，得，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴点P与点O重合，点B与点M重合， ∴点M坐标为； 当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示， 设点M的坐标为， 则， ∵点D的横坐标为3， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，    ∴，， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， 即， 把代入， 得，， 解得：， ∴， ∴； 当时，过点M作直线于点K，过点P作直线于点Q，交x轴于点R，如图所示：则四边形是矩形， 同理可证， ∴ ，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点P的纵坐标为，横坐标为， 即， 把点代入， 得，， 解得：， ∴， ∴点M的坐标为：； 综上所述，点M的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $