1.10 有理数的乘方（5大题型提分练）数学冀教版2024七年级上册

第一章 有理数 1.10 有理数的乘方（5大题型提分练） 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 题型一 有理数幂的概念理解 1．的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方和有理数的乘法，相反数，解题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法，相反数的定义．利用有理数的乘方，有理数的乘法，相反数的定义判断． 【详解】解：的意义是的相反数， 只有选项B符合题意， 故选：B． 2．下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 3．计算＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键． 根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案． 【详解】解：原式， 故选：B 4．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的意义，根据题意表示成幂的形式，即可求解． 【详解】解：可以表示为， 故选：C． 8．的底数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数乘方的定义“一般地，个相同的因数相乘，记作，这种运算叫做乘方，其中，叫底数，叫指数”，熟记有理数乘方的定义是解题关键．根据有理数的乘方的定义即可解答． 【详解】解：根据乘方的定义，的底数是3． 故答案为：3． 6．底数是，指数是2的幂写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的书写规则即可求解．注意分数为底时，需要把底数加括号． 【详解】解：底数为，指数为2，写成， 故答案为：． 7．在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 8．在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查有理数的乘方：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中，a叫做底数，n叫做指数． 根据有理数乘方的意义进行判定即可． 【详解】解：在中，底数是，指数是5，幂是． 故答案为：，5，． 9．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 10．仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （3）根据（1）（2）得出结论，即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，熟练掌握幂的概念是解题的关键． 题型二 有理数的乘方运算 1．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方计算，根据有理数的乘方运算法则计算即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．若一个数的平方为64，则这个数是（    ） A．8 B．−8 C．32 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴若一个数的平方等于64，则这个数是， 故选：D． 3．计算：正确的结果为（    ） A．8052 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题． 【详解】解： ． 故选：D． 4．设是一个正整数，则是（　　） A．10个相乘所得的积 B．一个位整数 C．一个位整数 D．一个1后面有个0的数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据乘方的定义逐项判断即可得出答案，解决本题的关键是一定要完全理解表示n个a相乘． 【详解】解：是一个正整数，则表示的是个10相乘所得的结果，它是一个位的整数， 故A、B、C错误，D正确， 故选：D． 5． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，分别计算乘方再算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；． 7．已知a，b满足，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的乘方等知识．利用有理数的乘方求出，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：10． 8．已知为正整数，计算的结果是 ； 【答案】2 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 9．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 【详解】解： ； 10．我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方； （1）根据有理数的乘方和对数的定义求解即可； （2）根据结合对数的定义可得，进而可求m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 题型三 有理数乘方逆运算 1．等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 2．已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴， 则． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 3．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 4．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答． 【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数， ∴y=x+1， ∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213， ∴y2=2132=45 369， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键． 5．已知 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．已知，则 ，若， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 7．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解新运算是解题的关键．根据，再由新运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 8．一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，根据对数的定义计算即可，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 9．已知，，且，求的值． 【答案】8或-8 【分析】先根据绝对值的性质求出a的值，再根据乘方的运算法则求出b的值，进而相减可得出结论． 【详解】解：∵|a|=5，b2=9， ∴a=±5，b=±3， ∵ab＜0， ∴当a=5时，b=-3， ∴a-b=5+3=8； 当a=-5时，b=3， ∴a-b=-5-3=-8． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法和乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键． 10．解答题； (1)． (2)已知，且，求 的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算； （2）根据绝对值的意义，以及乘方的意义，分别求得的值，代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以或 因为，所以或 又因为,所以当时，,当时， 故或 所以或 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，乘方的逆运算，正确的计算是解题的关键． 题型四 乘方运算的符号规律 1．在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 2．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 3．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 4．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 5．= ． 【答案】 【分析】根据乘方去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方，注意和的区别． 6．若│x-1│+(y+2)2=0，则= 【答案】 【分析】与都是非负数，非负数之和为零，则每个非负数都等于0，可解出x、y的值代入即可． 【详解】，， ，则有，， 解得：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质，几个非负数之和等于零，则每一个非负数都为0． 7．计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据的偶次幂等于1，即可求得结果． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的定义及计算法则是解题的关键． 8．若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性，以及有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点进行求解． 9．求的值（为正整数）． 【答案】当为奇数时，原式0，当为偶数时，原式 【分析】本题考查的是有理数的乘方，分为奇数与偶数两种情况，求出原式的值即可． 【详解】解：当为奇数时，原式； 当为偶数时，原式． 【点睛】本题考查的是有理数的乘方，注意-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1． 10．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 题型五 乘方的应用 1．一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：. 故选：B． 2．某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义得结论． 【详解】解：根据题意得：某种细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成个， 故选：D． 3．一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【答案】D 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次操作后的厚度为：； 第2次操作后的厚度为：； 第3次操作后的厚度为：； ， 所以第次操作后的厚度为：； 当时， ， 所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度． 故选：D． 4．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，， 故选：B 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先提公因数，再计算括号内的式子，然后算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．一个正方体的棱长扩大3倍，则它的体积扩大 倍． 【答案】 【分析】此题主要考查正方体体积公式，根据正方体的体积公式：，如果正方体的棱长扩大到原来的倍，那么正方体的体积就扩大到原来的倍．据此解答． 【详解】解： 答：正方体的棱长扩大倍，体积扩大倍． 故答案为：． 7．长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，根据长方体体积计算公式列式计算即可． 【详解】解：立方厘米， ∴它的体积为立方厘米， 故答案为：． 8．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 9．某企业今年的利润300万元，预计利润的年平均增长率为，则后年该企业的利润是多少万元？ 【答案】后年该企业的利润是363万元． 【分析】此题主要考查了有理数乘方的实际应用．根据今年的利润300万元，年平均增长率为，所以明年的利润为，则后年该公司应缴税为，据此计算即可求解． 【详解】解：后年该公司应缴税为（万元）． 答：后年该企业的利润是363万元． 10．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 1．表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 2．如果等式，则等式成立的的值的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当时，，此时，成立；当时，，此时，成立；当时，，此时，不成立；本题考查了幂的分类计算，分类是解题的关键． 【详解】当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，不成立； 故选B． 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 4．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 5．有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 【详解】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ， ， 小时分， ， 故选：B 6．的底数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答． 【详解】解：的底数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数． 7．已知，，，那么 ． 【答案】 【分析】由，，可得： 再利用＜，可得：异号，再分类讨论，可得答案． 【详解】解： ，， ＜， 异号， 或 当时， 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查的有理数的乘方的逆运算，绝对值的运算，有理数的减法运算，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 8．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查乘方，由已知四个整数的积等于121，又，所以只存在，再由得出每个数，求出答案． 【详解】解：已知是互不相等的整数，且， 又，那么a，b，c，d四个整数之积等于121， 只有， 又已知， 所以， 那么，． 故答案为：． 9．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 11．如果，求的值． 【答案】 【分析】根据“两个非负数的和为0，则每一个数都为0”，求出a，b的值，再计算的值即可． 本题考查了绝对值和完全平方的非负性，及有理数的乘方运算．熟练掌握“两个非负数的和为0，则每一个数都为0”，及有理数的乘方运算是解题的关键． 【详解】，，且， ，， ，， ，， ． 12．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 13．（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 14．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 【详解】解：设, 则， 两式相减得： 即 【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 15．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.10 有理数的乘方（5大题型提分练） 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 题型一 有理数幂的概念理解 1．的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 2．下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 3．计算＝（　　） A． B． C． D． 4．可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．的底数是 ． 6．底数是，指数是2的幂写成 ． 7．在中底数是 ，指数是 ． 8．在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 9．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 10．仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 题型二 有理数的乘方运算 1．计算：（　　） A． B． C． D． 2．若一个数的平方为64，则这个数是（    ） A．8 B．−8 C．32 D． 3．计算：正确的结果为（    ） A．8052 B． C．4 D． 4．设是一个正整数，则是（　　） A．10个相乘所得的积 B．一个位整数 C．一个位整数 D．一个1后面有个0的数 5． ． 6．计算： ； ； ． 7．已知a，b满足，那么 ． 8．已知为正整数，计算的结果是 ； 9．计算：． 10．我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 题型三 有理数乘方逆运算 1．等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 2．已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 3．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 4．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 5．已知 ，那么 ． 6．已知，则 ，若， ． 7．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 8．一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 9．已知，，且，求的值． 10．解答题； (1)． (2)已知，且，求 的值 题型四 乘方运算的符号规律 1．在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 2．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 5．= ． 6．若│x-1│+(y+2)2=0，则= 7．计算：的结果为 ． 8．若，则 ． 9．求的值（为正整数）． 10．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五 乘方的应用 1．一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 2．某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 3．一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 4．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 5．计算： ． 6．一个正方体的棱长扩大3倍，则它的体积扩大 倍． 7．长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米． 8．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 9．某企业今年的利润300万元，预计利润的年平均增长率为，则后年该企业的利润是多少万元？ 10．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 1．表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 2．如果等式，则等式成立的的值的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 4．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 5．有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 6．的底数是 ． 7．已知，，，那么 ． 8．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 9．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 11．如果，求的值． 12．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 13．（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 14．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 15．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$