广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三年级 第一次月考 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则实数（    ） A．2 B． C．或4 D．4 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．是上的增函数 B．的值域为 C．“”是“”的充要条件 D．若关于的方程恰有一个实根，则 7．已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（    ） A． B． C．0 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D．若，则 10．已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（    ） A．图形关于轴对称 B．曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C．曲线上存在到原点的距离超过的点 D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为 . 13．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离； (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 16．（15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 17．（15分）如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上． (1)证明：平面． (2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积． 18．（17分）蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株． (1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率； (2)从该基地多个种植区域随机选取一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值； (3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元） 附：当，时，，. 19．（17分）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， (1)求的值； (2)设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学参考答案： 1．D 【详解】解：将B中元素分别代入，只有1符合， 则. 故选：D. 2．B 【详解】， 所以. 故选：B． 3．C 【详解】由题设，， 所以，可得或4. 故选：C 4．D 【详解】， ， . 故选：D. 5．D 【详解】如图，设圆柱的高为，由题意可得，所以，从而圆柱的侧面积， 故选：D. 6．D 【详解】对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误， 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B错误， 对于C，当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得， 综上，由，得，或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误， 对于D，的图象如图所示， 由图可知当时，直线与图象只有一个交点， 即关于的方程恰有一个实根，所以D正确， 故选：D 7．C 【详解】由题意可知，的最小正周期， 因为，可知为的一条对称轴， 所以在之后的零点依次为，，，，…， 若在区间上恰有3个零点，所以. 故选：C. 8．A 【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或； 令，为任意实数，有，即； 因为，所以， 当时，；当时，； 所以的值不可能是， 故选：A. 9．ACD 【详解】对于A，随机变量满足正态分布，且， 故，故A正确； 对于B，当时， 此时，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故单调递增， 故，即， 解得，故D正确. 故选：ACD 10．ACD 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点， 当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数， 当时，，解得或，即曲线经过， 根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确； 对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误； 对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确； 故选：ABD 12．/0.5 【详解】依题意，的周长为， 所以面积的最大值为， 又，整理得,即, 解得，故椭圆的离心率为， 故答案为： 13．3 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 14． 【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况， ①步：即步两阶，有种； ②步：即步两阶与步一阶，有种； ③步：即步两阶与步一阶，有种； ④步：即步两阶与步一阶，有种； ⑤步：即步两阶与步一阶，有种； ⑥步：即步一阶，有种； 综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种； 故7步登完楼梯的概率为 故答案为： 15．(1)(2) 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 16．(1) (2)1 【详解】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 17．(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）取中点，连接， 为中点     又平面，平面    平面 四边形为正方形，为中点     又平面，平面    平面 ，平面    平面平面 又平面    平面 （2）为正三角形，为中点     平面平面，，平面平面，平面 平面，又平面     又，平面    平面 平面     设，则，， ，即：，解得： 18．(1) (2)202株 (3)，2.6元 【详解】（1）记事件“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改良”， 所以， （2）因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服从二项分布， ， 当时， 当时，设 若时，则 若时，则 ，所以， 解得，又，所以 所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株． （3）设每组n株的总费用为X元，则X的取值为， 所以 X P 所以 则每组中每株检测的平均费用为 所以 因为 所以（当且仅当时等号成立） 所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元． 19．(1)4 【详解】（1）由题意可得，，令，可得. （2）①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 答案第6页，共10页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$