9.1.2余弦定理课时作业-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

课时作业(二)　余弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝(　　) A．1　　　 B．2 C．4 D．6 2．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S＝，那么a等于(　　) A． B．7 C． D．17 4．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 二、填空题 5．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ac，则∠B的值为________． 6．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则＝________． 7．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B，则B＝________. 三、解答题 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求角A； (2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试判断△ABC的形状． [尖子生题库] 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且－a＝0 . (1)求角C； (2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值． 参考答案 1．解析：a2＝c2＋b2－2cb cos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C. 答案：C 2．解析：设中间角为θ，则θ为锐角，由余弦定理得cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角与最小角的和是120°. 答案：B 3．解析：因为S＝bc sin A＝＝，所以c＝2； 又因为cos A＝，所以＝，所以a＝，故选A. 答案：A 4．解析：依题意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确；cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B不正确；因a2＋b2＝c2，则由余弦定理得：cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，△ABC为直角三角形，C正确；因a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，△ABC为钝角三角形，D不正确． 答案：AC 5．解析：根据余弦定理，cos B＝＝＝，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝. 答案： 6．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3，所以b＝，由正弦定理得＝＝＝2. 答案：2 7．解析：由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，故cos B＝. 又因为B为三角形的内角，所以B＝45°. 答案：45° 8．解析：(1)因为＝，所以＝， 化简得c2＋b2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为△ABC的面积为，所以bc sin A＝bc＝，得bc＝4.因为A＝，a＝，所以b2＋c2－2bc cos ＝6，整理得(b＋c)2＝3bc＋6＝18，解得b＋c＝3. 故△ABC的周长为＋3. 答案：(1)A＝　(2)＋3 9．解析：方法一　(利用边的关系判断) 由正弦定理，得＝. ∵2cos A sin B＝sin C，∴cos A＝＝. ∵cos A＝，∴＝， ∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b. ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2， ∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形． 方法二　(利用角的关系判断) ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin (A＋B). ∵2cos A sin B＝sin C， ∴2cos A sin B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， ∴sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin (A－B)＝0. ∵0°<A<180°，0°<B<180°， ∴－180°<A－B<180°， ∴A－B＝0°，即A＝B. ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2ab cos C， ∴cos C＝＝，∴C＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 10．解析：(1)由－a＝0， 得＝a，即＝sin C，由余弦定理得cos C＝sin C， 所以tan C＝，因为C∈，所以C＝ . (2)由余弦定理b2＝1＋－2×1×·cos ∠CEA　①， a2＝1＋－2×1×·cos ∠CEB　②，①＋②得， b2＋a2＝2＋，即2(b2＋a2)＝4＋c2， 因为c2＝a2＋b2－2ab·cos C，所以a2＋b2＝4－ab≥2ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以S△ABC＝ab sin C≤××＝，即△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$