第一章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 勾股定理（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，那么（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，以直角三角形三边为边，向外作正方形，其中是斜边，三个正方形的面积分别为，若，则值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．25 3．下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　） A． B． C． D． 5．长方形ABCD中，AD="4" cm，AB="10" cm，按右图方式折叠，使点B与点D重合，折痕是EF，则DE等于 （ ） A．4．2 cm B．5．8 cm C．4．2 cm或5．8 cm D．6 cm 6．如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ） A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7 8．如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（　　）    A．5 B．4 C．6 D．7 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为 ．    10．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    11．如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长是1，则四边形ABCD的周长 12．如图，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CF=2，AB=6，则△CEF的面积为 ． 13．如图，在中，，是的角平分线．若，，则 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    15．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 16．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    17．如图，在中，，a，b，c分别是，，的对边长，且，，求的面积． 18．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)试说明：； (2)求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，数轴上点A所表示的数为 ，点B所表示的数为 ． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为 ． 22．如图，在四边形中，，，，，点、分别在，边上，若，，则 . 23．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 25．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 26．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，那么（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可知，是直角三角形，且两条直角边的长度知道，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，，，， 由勾股定理得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键． 2．如图，以直角三角形三边为边，向外作正方形，其中是斜边，三个正方形的面积分别为，若，则值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．25 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得，，再利用正方形的面积公式可得答案． 【详解】 解：在直角三角形中，由勾股定理得，， ， ，， ， 故选：D 3．下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，即满足的三个正整数，进行判断即可． 【详解】A.，是勾股数，此选项不符合题意； B.，是勾股数，此选项不符合题意； C.，是勾股数，此选项不符合题意； D.，不是勾股数，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数，明确勾股数的定义是解题的关键． 4．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可． 【详解】作BD⊥AC于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴AC＝＝， ∵S△ABC＝2×2−×1×1−×2×1−×2×1＝1.5， ∴S△ABC＝×AC×BD＝××CD＝1.5， 解得：CD＝． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键． 5．长方形ABCD中，AD="4" cm，AB="10" cm，按右图方式折叠，使点B与点D重合，折痕是EF，则DE等于 （ ） A．4．2 cm B．5．8 cm C．4．2 cm或5．8 cm D．6 cm 【答案】B 【详解】试题解析：设DE=x，由折叠可知，BE=DE=x，AE=10-x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2， 即42+（10-x）2=x2，解得：x=5．8．故选B． 考点：翻折变换（折叠问题）． 6．如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质、勾股定理等知识点，用含字母的式子表示出， 是解题的关键． 【详解】解：如图：    设， 是四个全等的三角形 ， ， 故选：C． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ） A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7 【答案】A 【详解】解：如图所示． ∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2=CD2，DE=CE， ∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…， 由此可得． 当n=9时，， 故选：A． 8．如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（　　）    A．5 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可. 【详解】如图将正面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：，∴从处爬到处的最短路程是， 故选：． 【点睛】此题考查了立方体侧面展开图最短路径问题，解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意要进行分类讨论． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为 ．    【答案】 【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可． 【详解】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高， ∵，， ∴， ∴桶内所能容下的最长木棒为：． 故答案为：．    【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理． 10．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 11．如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长是1，则四边形ABCD的周长 【答案】3+2 【分析】由于小方格正方形的边长为1，由勾股定理根据图形可以分别求出AD，CD，AB，BC，然后就可以求出四边形ABCD的周长． 【详解】解：由于小方格正方形的边长为1， 由勾股定理从图中知， 四边形ABCD的周长为+++=3+2. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握网格的特征，灵活选择合适的直角三角形运用勾股定理． 12．如图，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CF=2，AB=6，则△CEF的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意设出CE=x，然后在中利用勾股定理列出方程求出CE的长度，最后根据三角形面积公式即可求出△CEF的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴CD=AB=6， ∴设CE=x，则EF=DE=6-x， ∴在中， ， 解得：，即CE=， ∴△CEF的面积=． 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理列出方程求出CE的长度． 13．如图，在中，，是的角平分线．若，，则 ． 【答案】3 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，表示出BE，设DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AC=6，BC=8， ∴AB==10， ∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线， ∴CD=DE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（HL）， ∴AE=AC=6， BE=AB-AE=10-6=4， 设DE=x， 则BD=8-x， 在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3，即DE=3． AD= =3 . 故答案为：3 . 【点睛】此题考查角平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】   解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 15．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米．于是最短路径为：米． 16．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    【答案】此时轮船离A地60海里 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里），（海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 17．如图，在中，，a，b，c分别是，，的对边长，且，，求的面积． 【答案】的面积是6 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，求出的值，即可确定出直角三角形的面积． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ，∴． 答：的面积是6． 18．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解题思路是找准条件判定全等，解题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解． （1）证明，根据全等三角形性质即可得出结论； （2）由勾股定理求出，再利用全等三角形性质得，根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）在中，， 由（1）得， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，数轴上点A所表示的数为 ，点B所表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得圆O的半径，结合数轴填空即可 【详解】如图所示，OA=OB==，所以点A表示的数为−，点B表示的数为：， 故答案是：−; 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据数值求出半径是解决问题的关键 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ． 【答案】10.125π 【详解】试题解析：在Rt△ABC中，BC==9， 所以半圆的半径为4.5，则这个半圆的面积是： S=π•（BC）2=10.125π． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为 ． 【答案】2.5 【分析】连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，首先根据中线的性质和三角形面积公式得出，然后证明出当的长度最小时，m＋n的值最大，然后根据垂线段最短和等面积法求出CD的最小值，即可求出m＋n的最大值． 【详解】解：连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N， ∵点E是AD的中点，点F是BD的中点， ∴CE是中AD边上的中线，CF是中BD边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当的长度最小时，m＋n的值最大， ∴当时，的长度最小，此时m＋n的值最大， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5， ∴，解得：， ∴将代入得：． 故答案为：2.5． 【点睛】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当时m＋n的值最大． 22．如图，在四边形中，，，，，点、分别在，边上，若，，则 . 【答案】． 【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME. 【详解】，， ，． 如图，连接，． ，，， 且在与中， ， ，， ， ，即， 整理得， ，在中，． ，， 是等边三角形， ． 设，则， ，即， 解得， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论． 【详解】如图，取的中点，连接，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是依据题意作出辅助线． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据4个正八边形面积黑色正方形的面积列出方程，求出和，即可得出结论 【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据题意得， ， 解得，， ∵ ∴ ∴黑色正方形地砖的面积； 则一块八边形地砖的面积， 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 25．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 26．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到，使，连接、，，得到，，再根据勾股定理解答． 【详解】（1）是中线， ， 又，， ， 故答案为：； （2）， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接．    ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （4）证明：延长到，使，连接、．    ∵为的中点∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵，∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$