专题 反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题06反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用 题型01反比例函数图像与一次函数图像的位置判断 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是(  ) A． B． C． D． 【例1-3】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）函数与在同一坐标系内的图像可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23九年级上·广西桂林·期中）函数与在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型02反比例函数与一次函数的图像与性质 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【例2-2】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是 ． 【例2-3】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图像交于两点．求： (1)两点的坐标； (2)直接写出的解集． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 ．    【变式2-2】（22-23九年级上·广东梅州·期末）若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第 象限． 【变式2-3】（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点A（－4，n）和B（2，－4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)观察图象，当x＞0时，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围． (3)求AOB的面积． 题型03反比例函数与一次函数的有关计算 类型1求函数表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【例3-2】（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【例3-3】（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．    (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式3-2】（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接，且的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 类型2求面积 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【例4-2】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数及反比例函数的相应表达式； (2)连接，，求的面积． 【例4-3】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，位于原点右侧，且，求的面积． 【变式演练】 【变式4-1】（2024·江西赣州·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． (1)求直线AB和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 【变式4-2】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点． (1)求A、B两点的坐标． (2)求的面积． 【变式4-3】（23-24九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． (3)当时，请直接写出x的取值范围． 类型3求点的坐标 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【例5-2】（22-23九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； 【例5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． (1)求k的值 (2)求A，B两点的坐标． (3)连接与，求的面积． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 【变式5-2】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点． (1)求A、B两点的坐标． (2)求的面积． 【变式5-3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，过点B作轴，垂足为点C，点P是反比例函数的图像上的一点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点P的坐标． 类型4有关最值的计算题 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)过点作轴于，求； (3)过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【例6-2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点． (1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标； (2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围； (3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例6-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，轴于点B，且AC＝BC． (1)求反比例函数（x＞0）的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的x（x＞0）的取值范围为______； (3)点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点．点E为y轴上的一动点．当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标． 【变式6-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标． 【变式6-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型07反比例函数与二次函数的综合 类型1反比例函数与二次函数图像的位置判断 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（    ） A．    B．   C．   D．   【例7-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例7-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式7-2】（23-24九年级上·河南新乡·期末）二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 类型2反比例函数与二次函数综合求最值问题 【典例分析】 【例8-1】（九年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，点A的纵坐标为4，点B的坐标为（3，2），连接0A，OB． （1）求反比例函数的解析式； （2）点M是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），过点M作MEx轴于点E，作MNy轴为于点N，求四边形MEON 的最大面积； （3）将直线y=kx+b向下平移n个单位长度，若直线与反比例函数在第一象限内的图象只有一个交点，求n的值． 【例8-2】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【例8-3】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数（k0）的图象与BC边交于点E． （1）写出B的坐标； （2）当F为AB的中点时，求反比例函数的解析式； （3）求当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？    【变式演练】 【变式8-1】（21-22九年级上·广东佛山·期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求一次函数、反比例函数的表达式和点的坐标． (2)不等式的解集为：______． (3)为线段上一点，且横坐标为正，作轴与反比例函数交于点，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式8-2】（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，点、在反比例函数的图像上，点，点的横坐标是4，过点作轴于点，连接、． (1)用含的式子表示，则______； (2)当时，求的面积（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，求反比例函数的解析式． 【变式8-3】（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图，在直角坐标系中，点A（3，a）是一次函数y＝x-2和反比例函数y＝图象的交点，点B是一次函数y＝x-2与y轴的交点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）利用图象，直接写出当x-2＞时x的取值范围． （3）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为 　 　． 类型3反比例函数与二次函数综合求代数值的问题 【典例分析】 【例9】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，． （1）求代数式mn的值； （2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围． 【变式演练】 【变式9-1】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，4），B（m，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 【变式9-2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”． (1)请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？ (2)已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）； (3)已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值． 【变式9-3】．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、． (1)若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； (2)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用 题型01反比例函数图像与一次函数图像的位置判断 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，利用一次函数和反比例函数的性质，分，两种情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限； 当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限； 故满足题意的是选项A； 故选A． 【例1-2】（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图像判断k的符号，看一次函数和反比例函数判断出k的符号是否一致即可解答． 【详解】解： A． 选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； B．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是一致，故符合题意； C．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； D． 选项中一次函数与y轴交于负半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数图像共存问题，熟练掌握一次函数、反比例函数图像与系数的关系是解答本题的关键 【例1-3】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数和一次函数的图像和性质，解题关键是通过图像位置直接判断系数的正负．根据图像的性质进行排除选择即可． 【详解】解：A．反比例函数图象在第一、三象限，因此， ∴，一次函数图象经过二、三、四象限，而图中一次函数图象经过一、二、四象限，故A错误； B．反比例函数图象在第二、四象限，因此， ∴，一次函数图象经过一、二、三象限，而图中一次函数图象经过一、二、四象限，故B错误； C．反比例函数图象在第一、三象限，因此， ∴，一次函数图象经过二、三、四象限，而图中一次函数图象经过一、二、三象限，故C错误； D．反比例函数图象在第二、四象限，因此， ∴，一次函数图象经过一、二、三象限，故D正确． 故选：D 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）函数与在同一坐标系内的图像可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 根据当、当时，和经过的象限，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：∵当时，过一、三、四象限，反比例函数过一、三象限， 当时，过二、三、四象限，反比例函数过二、四象限， ∴B正确； 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数及一次函数图象，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 【详解】解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； 、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； 、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确； 故选： 【变式1-3】（22-23九年级上·广西桂林·期中）函数与在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握正比例函数，当时经过一、三象限，反之经过二、四象限；反比例函数，当时，图象位于一、三象限，反之位于二、四象限．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数经过二、四象限， ∵， ∴， ∴函数位于一、三象限， 故选：D 题型02反比例函数与一次函数的图像与性质 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】作出和的函数图象，通过观察得出直线上方的反比例函数图象均符合题意，解出交点坐标，最终确定的取值范围，本题考查了画反比例函数的图象，一次函数与反比例函数的综合判断，解题的关键是：应用数形结合的方法，理解函数图象与自变量取值范围之间的关系． 【详解】解：画函数和的图象如下： 由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即， 第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意， 联立两函数解析式： 解得： 即， 故答案为：或 【例2-2】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰． 【例2-3】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图像交于两点．求： (1)两点的坐标； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质与图像，熟练掌握交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．联立方程，进行计算即可得两点的坐标；利用数形结合思想，以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，直接写出解集即可． 【详解】（1）解：由题意联立方程，得 解得或 点坐标为，点坐标为， （2）解：如图，∵的横坐标为，的横坐标为， ∴不等式的解集是或 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 ．    【答案】 【分析】根据正比例函数图象的性质：时，图象经过一、三象限；时，图象经过二、四象限，可判断．根据反比例函数图象的性质：时，图象位于一、三象限；时，图象位于二、四象限，k的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知正比例函数经过第二、四象限， ∴， 又∵反比例函数和图象在第一象限，且更远离坐标轴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k的取值范围是解题的关键 【变式2-2】（22-23九年级上·广东梅州·期末）若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】根据题意求得反比例函数的比例系数，得出一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 ()的图象经过点， ∴， ∴一次函数即的图象不经过第三象限， 故答案为：三 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据一次函数解析式判断所经过的系数，求得是解题的关键 【变式2-3】（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点A（－4，n）和B（2，－4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)观察图象，当x＞0时，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围． (3)求AOB的面积． 【答案】(1)， (2)x＞2 (3)6 【分析】（1）先把B点坐标代入求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）观察函数图象得到当x＞2时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，依此可求反比例函数值大于一次函数值x取值范围； （3）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据AOB的面积=进行计算． 【详解】（1）将B（2，－4）代入y=得m=2×（－4）=－8， ∴y=－ 将A（－4，n）代入y=－得－4n=－8， 解得n=2， 则A点坐标为（－4，2）， 将A（－4，2）和B（2，－4）代入y=kx+b得： ， 解得， 即y=－x－2． （2）由图象可知，当x＞0，反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围x＞2． （3）当y=0时，－x－2=0，解得x=－2，则C点坐标为（－2，0）， 所以AOB的面积= =×2×2+×2×4 =6． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，利用函数图象求不等式的解集，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合是解题的关键 题型03反比例函数与一次函数的有关计算 类型1求函数表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或 【例3-2】（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用点A坐标求得反比例函数解析式，然后可求一次函数解析式； （2）根据图象及（1）可直接进行求解 【详解】（1）解：在反比例函数图象上， 把代入反比例函数得：， 解得， 反比例函数解析式为； 把代入一次函数得： ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）可联立：， 解得：， ∴， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围为或 【例3-3】（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用及勾股定理，掌握相关知识，正确求出函数表达式是解题的关键． （1）作轴，设，则，再根据勾股定理，进而可求得点A、的坐标，将A、C点分别代入函数表达式，即可求解； （2）两函数联立求点B的坐标，进而根据图象判断即可； 【详解】（1）作轴，设，则， ∴， ∵，即， ∴，（舍去）， ∴， 将点A代入得， ∴， ∴． 将点A、C分别代入中得，， ∴， ∴．    （2）根据题意，， ∴，， ∴， 由图像可以看出当或，图象位于图象的下方，即， ∴时，x的取值范围为或 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．    (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题得关键． （1）把点代入直线得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案； （2）联立函数解析式，求出点坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方的x的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：点在直线上，所以， 解得．故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 反比例函数的解析式为． （2）联立函数解析式得， 得，， ， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为或 【变式3-2】（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接，且的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）作于点，利用一次函数求出点C的坐标，再根据的面积为，即可求出点A的纵坐标，代入一次函数求出点A的横坐标，将点A代入反比例函数即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，求出点A，点B的坐标，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：作于点， 在中，令， ， ， 的面积为， ， ， 点A在第二象限， 点的纵坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 反比例函数表达式为； （2）解：，即， 则， 解得：， 当时，， 当时，， ， 由图象得：一次函数值大于反比例函数值的的取值范围或 类型2求面积 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例的解析式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或 【例4-2】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数及反比例函数的相应表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，割补法求图形面积，是解决问题的关键． （1）将代入，求出，得到，将代入，求出，得到，将，代入，求出，，得到； （2）根据函数的图象和，，运用，即可求解. 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将代入， 得，， ∴， ∵一次函数的图象经过点，点， ∴， 解得，， ∴一次函数的解析式为； （2）设一次函数的图象交x轴于点C， 令，则， ∴， ∴． 【例4-3】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，位于原点右侧，且，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)的面积为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，是解题的关键． （1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）根据三角形的面积公式，以为底边计算即可． 【详解】（1）反比例函数图象与一次函数图象相交于点． ， 解得， 反比例函数解析式为． ， 解得， 点的坐标为， 解得： 一次函数解析式为． （2）， ， ， 的面积： 【变式演练】 【变式4-1】（2024·江西赣州·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． (1)求直线AB和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数图象的表达式为，直线的表达式为 (2)5 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）首先将点的横坐标代入 求出点的坐标，然后代入求出 然后将点的纵坐标代入，求出，然后代入，即可求出； （2）先求出直线与轴的交点坐标，得到，利用代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点的横坐标是2， 将代入， ， 将代入得：， 反比例函数图象的表达式为， 点的纵坐标是， 将代入得，， ． 将代入得：， 解得：． ． 直线的表达式为． （2）解：如图： 在函数中，令，则， ， ， 【变式4-2】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点． (1)求A、B两点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握交点的求法是解题的关键． （1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）求得直线与y轴的交点，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由，解得：或， ； （2）如图，设与y轴交于点C，    当时，， ， 【变式4-3】（23-24九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求出点B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据已知条件得出点D 坐标，求出，然后利用代数求解即可； （3）根据反比例函数和一次函数的交点坐标找到直线在双曲线下方时x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， ∵在双曲线上， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得； ∴一次函数解析式为：； （2）解：对于，当时，， ∴， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴， ∴ ∴； （3）∵一次函数反比例函数的图象相交于，两点 ∴由图象可得，当时，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形，一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键 类型3求点的坐标 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， 【例5-2】（22-23九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)点D的坐标是 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． （1）将代入一次函数解析式中，再将所求坐标代入反比例函数解析式求解． （2）联立一次函数与反比例函数方程求解． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴，解得． ∴点C的坐标为． 把代入，得． ∴反比例函数的表达式为． （2）令， 解得． 当时，， ∴点D的坐标是 【例5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． (1)求k的值 (2)求A，B两点的坐标． (3)连接与，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)8 【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值； （2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标； （3）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积． 【详解】（1）解：由已知，， 解得； （2）解：当时，一次函数为，反比例函数为， 由， 解得， ∴ 故，； （3）解：由（1）得直线解析式为， 令，则 解得， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，熟练掌握此方法是解本题的关键． （1）由A为两函数的交点，故将A的坐标代入一次函数解析式中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值；将A的坐标代入反比例函数解析式中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值； （2）由（1）求出的k的值，确定出一次函数解析式，把代入一次函数解析式求出y的值，即为B的纵坐标，进而确定出点B的坐标． 【详解】（1）解：为一次函数与反比例函数图象的交点， ∴将代入一次函数解析式得：， 解得：； 将代入反比例函数解析式得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：，， ， 点到轴的距离为1， ， ， 的坐标为 【变式5-2】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点． (1)求A、B两点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握交点的求法是解题的关键． （1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）求得直线与y轴的交点，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由，解得：或， ； （2）如图，设与y轴交于点C，    当时，， ， 【变式5-3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，过点B作轴，垂足为点C，点P是反比例函数的图像上的一点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据条件可知，继而推出点坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，与反比例函数联立方程组求出点坐标即可． 【详解】（1）解： 点在直线的图象上， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点， 在函数中，当时，， ，． 轴，． ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点、坐标得： ，解得， 直线的解析式为， 联立方程组得， 解得，， 类型4有关最值的计算题 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)过点作轴于，求； (3)过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据反比例函数的图像过点，可求出的值，进而确定反比例函数关系式； （2）求出点的坐标，得出点的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小，求出直线的解析式进而得出与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）∵一次函数与反比例函数的图像相交于点和点， ∴ 解得：，， ∴， 又∵轴， ∴点， 设、分别为点、的横坐标，、分别为点、的纵坐标， ∴， 即； （3）存在，理由为： 如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，得：， ∴．    【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点，待定系数法确定反比例函数解析式和一次函数的解析式，对称的性质，两点之间线段最短，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积等知识点．两个函数关系式联立方程组的解即为交点的坐标是解题的关键，理解轴对称的性质是解决问题的前提 【例6-2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点． (1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标； (2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围； (3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标 (2)图见解析，或 (3)存在， 【详解】（1）解：∵把点代入， ∴，解得：， ∴点， ∵把点代入， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点． ∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标； （2）解：画图如下： 观察图象得：当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方， ∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为或； （3）解：存在 作点A关于直线的对称点，连接，并延长，交直线于点P，连接，在直线上任取一点D，连接，则， ∵， ∵， ∴， 当B、C、P共线时，的值最大， 设直线的解析式为， 把和分别代入中得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键 【例6-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，点， 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得， 解得： 所以直线的表达式为：； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：或； （3）存在，理由： 由直线的表达式知点， ，则， 则点， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小， 理由：为最小， 将点 D  、  N 的坐标代入得:  ， 解得： ,   直线DN的表达式为：, 令，则， 即点， 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，轴于点B，且AC＝BC． (1)求反比例函数（x＞0）的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的x（x＞0）的取值范围为______； (3)点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点．点E为y轴上的一动点．当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例解析式为（x＞0） (2)0＜x＜4 (3)点E（0，3） 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到OA＝OB，再根据点A的坐标得到点P的坐标，最后利用待定系数法将点A和点P的坐标代入求出一次函数的解析式，将点P的坐标代入（x＞0）求出反比例函数的解析式； （2）根据函数与不等式的关系，直接利用函数图象观察当的图象在（x＞0）下方时，x的取值范围即为不等式的解集； （3）根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直且平分”可找到点D的坐标，再利用三角形的三边关系可知当E、P、D三点共线的时候|DE﹣PE|的值最大，从而求得点E的坐标． 【详解】（1）解：∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0） ∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4 ∴P（4，2），B（4，0） 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得： 解得： ∴一次函数解析式为 将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8 即反比例解析式为（x＞0） （2）解：观察图象可知：时，x的取值范围在P点横坐标的左侧，再根据x＞0可得到x的取值范围为0＜x＜4 故答案为：0＜x＜4； （3）解：假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形 PB⊥x轴，O为AB的中点 C为AP中点 BC=BP 如下图所示，连接DC交PB于F ∵四边形BCPD为菱形 ∴CF＝DF＝4 ∴CD＝8 将x＝8代入反比例函数得y＝1， ∴D点的坐标为（8，1） ∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）； 延长DP交y轴于点E，则点E为所求， 则|DE﹣PE|＝PD为最大 设直线PD的表达式为：y＝sx+t 将点P、D的坐标代入上式得：，解得： 故直线PD的表达式为： 令x＝0，则y＝3 故点E（0，3） 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式的关系、菱形的性质以及利用三角形三边关系解决最值问题，同时也会用到等腰三角形的性质、中位线和直角三角形的性质，题目较为综合，熟练掌握待定系数法求解析式、函数图象与不等式的关系以及菱形的性质，并能利用三角形三边关系找线段差的绝对值的最值是解决本题的关键 【变式6-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】（1）根据在反比例函数（k为常数且）的图象上，代入反比例函数解析式求出答案即可； （2）求出B点坐标，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点P的坐标即可． 【详解】（1）∵在反比例函数（k为常数且）的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点， ∴， 解得或， ∴， 如图，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点， 设直线的解析式为，把和代入得， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点． 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键 【变式6-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题（求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点），待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短， （1）把点代入中求出，即，代入中求出即可； （2）求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，求出点即可； 理解求反比例函数与一次函数的交点坐标的实质和对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ∴， 此时的周长最小，则点即为所作， ∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴存在点，使的周长最小． 题型07反比例函数与二次函数的综合 类型1反比例函数与二次函数图像的位置判断 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解题的关键； 直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项判断即可． 【详解】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意； 故选：D 【例7-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴， ∴， ∵ ∴排除选项； 当时， ∴，故错误； 当时，， 故选． 【例7-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当和，两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意； 当时，函数的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意； 故选：B． 【变式7-2】（23-24九年级上·河南新乡·期末）二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围． 先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知，， 由对称轴，可知， 所以反比例函数的图象在一、三象限， 一次函数经过一、二、四象限． 故选：D． 【变式7-3】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数的图像和性质，解决此类问题方法步骤一般为：①先根据反比例函数图像所在象限与二次函数图像开口方向是否同时符合k的正负；②根据二次函数图像判断抛物线与y轴的交点是否符合要求． 先由函数的图像所在象限判断k的正负，得的正负，判断函数的图像开口方向是否符合；由，得，判断函数的图像与y轴交点应在y轴的正半轴上．据此逐项判断即可． 【详解】解：由，得，判断函数的图像开口向下． A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则抛物线开口方向应向下、抛物线与y轴的交点应在y轴的负半轴上，本图像不符合，故选项A不符合题意； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，抛物线与y轴的交点应在y轴的正半轴上，抛物线开口方向应向下，而本图像抛物线符合题意，故选项B符合题意； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，抛物线开口方向应向下、抛物线与y轴的交点应在y轴的正半轴上，本图像抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，故选项C不符合题意； D、位于一、三象限，可得，抛物线开口方向应向下、抛物线与y轴的交点应在y轴的正半轴上，而图像抛物线开口方向向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，故选项D不符合题意． 故选：B． 类型2反比例函数与二次函数综合求最值问题 【典例分析】 【例8-1】（九年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，点A的纵坐标为4，点B的坐标为（3，2），连接0A，OB． （1）求反比例函数的解析式； （2）点M是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），过点M作MEx轴于点E，作MNy轴为于点N，求四边形MEON 的最大面积； （3）将直线y=kx+b向下平移n个单位长度，若直线与反比例函数在第一象限内的图象只有一个交点，求n的值． 【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积最大，最大面积为；（3）． 【分析】（1）把点代入反比例函数即可求解； （2）先求出直线AB的解析式为，设点M的坐标为，得到，，则，根据二次函数的性质即可求出最大面积； （3）设向下平移个单位长度后函数的解析式为，联立反比例函数得到一元二次方程，根据根的判别式即可求解． 【详解】（1）点在反比例函数的图象上， ∴. ∴反比例函数的解析式为. （2）∵点的纵坐标为4， ∴， 设直线的解析式为y=kx+b（k≠0） 把、代入得 ，解得 ∴直线的解析式为. ∵点为线段上的一动点， ∴设点M的坐标为，. ∴，. ∴. ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为. （3）∵， ∴设向下平移个单位长度后函数的解析式为. 令，整理，得. ∵一次函数与反比例函数的图象在第一象限只有一个交点， ∴有唯一的实数根. ∴. ∴. 由题意得交点在第一象限内， ∴不符合题意，舍去. ∴． 【点睛】此题主要考查反比例函数、二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及一元二次方程根的判别式 【例8-2】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，最大为 【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解； （2）易得，，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数的解析式为， 把代入中， 得， ∴； （2）解：由题意知E，F两点坐标分别为，， ∴ ， ∵在边上，不与A，B重合， ∴，则， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键 【例8-3】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数（k0）的图象与BC边交于点E． （1）写出B的坐标； （2）当F为AB的中点时，求反比例函数的解析式； （3）求当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？    【答案】（1）B的坐标为（3，2）；（2）函数的解析式为；（3）当时，S有最大值，最大值为． 【分析】（1）根据矩形的性质即可写出B的坐标； （2）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），代入求得函数解析式即可； （3）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）； （2）∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴k=3， ∴该函数的解析式为； （3）由题意知E，F两点坐标分别为E(，2)，F(3，)， ∴AF•BE ， 当时，S有最大值， ． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式演练】 【变式8-1】（21-22九年级上·广东佛山·期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求一次函数、反比例函数的表达式和点的坐标． (2)不等式的解集为：______． (3)为线段上一点，且横坐标为正，作轴与反比例函数交于点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数表达式为：反比例函数表达式为y=，； (2)或 (3) 【分析】（1）由一次函数求得的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）设则，根据题意表示出即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入可得， ，即， ∴，解得， ∴反比例函数表达式为， 解，得或， ∴； （2）解：由图象可得， 当>时，或； （3）解：如图1所示，设，则， ∴ ∴=()=2， ∴当时，的面积最大，此时，的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键 【变式8-2】（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，点、在反比例函数的图像上，点，点的横坐标是4，过点作轴于点，连接、． (1)用含的式子表示，则______； (2)当时，求的面积（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将代入中得到，再将点的横坐标是4代入中即可得到本题答案； （2）根据题意过点作轴于点，再利用三角形面积公式用含的代数式表示即为本题答案； （3）根据（2）中面积可得面积最大值时点坐标，再利用待定系数法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴将代入中得到， ∴再将点的横坐标是4代入中，得：， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ，， ∵轴， ， ， 故答案为：； （3）解：， 当时，的面积最大， 此时， ∴把代入，得， 反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法解反比例函数解析式，二次函数最值，三角形面积公式，二次函数配方法化成顶点式 【变式8-3】（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图，在直角坐标系中，点A（3，a）是一次函数y＝x-2和反比例函数y＝图象的交点，点B是一次函数y＝x-2与y轴的交点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）利用图象，直接写出当x-2＞时x的取值范围． （3）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为 　 　． 【答案】（1）、B（0，-2）；（2）-1＜x＜0或x＞3；（3）C（1，-1） 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求出，将点代入反比例函数，得，即可求出反比例函数的表达式，解，即可求出点； （2）根据图象，要使得，即一次函数的图象要在反比例函数图象的上方； （3）设，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，得出，设点到直线的延长线的距离为，得出，再根据二次函数求最值即可得出． 【详解】解：（1）将点代入一次函数， 得， ， 将点代入反比例函数， 得， 反比例函数的表达式为：， 解， 解得：， ； （2）解， 解得：， 当， 即， 由图可得： 或； （3）设， 作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D， ， 设点到直线的延长线的距离为， ， ， ， ， 当时，取最到最大值为2， 此时△BCD的面积最大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、求反比例函数的解析式、与轴的交点问题、三角形的面积的最值问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解 类型3反比例函数与二次函数综合求代数值的问题 【典例分析】 【例9】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，． （1）求代数式mn的值； （2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）4；（2）8；（3）或． 【详解】试题分析：（1）由A的坐标求出k的值，再把B的坐标代入反比例函数即可求出mn的值； （2）把代入二次函数，可得，即，再由，原式可变形为，即可求出表达式的值； （3）先求出反比例函数与直线的两个交点，，再结合图象可得出结论． 试题解析：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的解析式为，∵反比例函数的图象经过点，∴； （2）∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∴，由（1）得，∴原式-； （3）由（1）得反比例函数的解析式为．令，可得，解得．∴反比例函数的图象与直线交于点，．当二次函数的图象经过点时，可得； 当二次函数的图象经过点时，可得． ∵二次函数的顶点为，∴由图象可知，符合题意的的取值范围是或．（注：只写或只写，减1分．） 考点：二次函数综合题． 【变式演练】 【变式9-1】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，4），B（m，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）0＜a＜2或a＜－． 【详解】试题分析：（1）将点A的坐标代入反比例函数求出k即可； （2）先求出mn的值，再根据二次函数图象上点的坐标特征表示出n，然后代入整理即可得解； （3）先求出反比例函数与直线的交点坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征列不等式计算即可得解． 试题解析：（1）将A（1，4）代入函数y＝得：k=4 反比例函数y＝的解析式是 （2）∵B（m，n）在反比例函数y＝上， ∴mn=4， 又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n）， ∴即n-1=m2-2m ∴； （3）由反比例函数的解析式为，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2． ∴反比例函数的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）． 如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2； 当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－. ∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0）， ∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－. 【变式9-2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”． (1)请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？ (2)已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）； (3)已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值． 【答案】(1)点； (2)的坐标为或； (3) 【分析】（1）根据“等差点”的定义判断即可； （2）令，，根据“等差点”的定义列方程求解即可； （3）先分别表示出，，再根据等腰直角三角形的性质，得到①，令，，根据“等差点”的定义，得到②，然后利用一元二次方程根和系数的关系，得到，，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：与， 与， 与， 点与点互为“等差点”； （2）解：点在直线上，点在双曲线， 令，， 两点互为“等差点”， ， 整理得：， 解得：，， 的坐标为或； （3）解：抛物线的顶点为点，与轴交于两点， ， 令，则， 解得：，， ， 由题意知，且， 为等腰直角三角形， ， ， 化简得：①， 两点分别在抛物线和直线上， 令，， 互为“等差点”， ， 即②， 又两点的横坐标是的两根， ，且， 代入②得：， 整理得：， ， 整理得： ， 把①代入，得， 即， ． 【点睛】本题是函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，公式法解一元二次方程以及一元二次方程根和系数的关系，等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确理解“等差点”的定义，利用整体代入的思想解决问题是解题关键 【变式9-3】．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、． (1)若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； (2)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象求a的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点，既在反比例函数的图象上，又在二次函数的图象上，得到，，代入代数式进行求值即可； （2）分和两种情况，利用数形结合的思想求出a的取值范围即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点、， ∴， ∵二次函数的图象经过点B， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）可得：反比例函数解析式为： 设直线与反比例函数交点分别为C、D， 解，得：或， ∴点，点． ①若，如图1， 当抛物线经过点D时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是； ②若，如图2， 当抛物线经过点C时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是． 综上所述，满足条件的a的范围是或． 【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$