专题 降次思想在求代数式的值及方程、函数中的应用（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题05降次思想在求代数式的值及方程、函数中的应用 题型01利用降次思想解一元二次方程 类型1开方降次法 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）（1）；          （2）． 【例1-2】（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 【例1-3】（23-24九年级上·湖南常德·期末）解方程： 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）计算：． 【变式1-2】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式1-3】（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）解方程：． 类型2配方降次法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·北京东城·期中）解下列一元二次方程 【例2-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：； 【例2-3】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）解方程：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解方程：； 【变式2-2】（23-24九年级上·山西太原·期中）解下列方程：； 【变式2-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 类型3因式分解降次法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）选用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【例3-2】（23-24九年级上·重庆江津·期中）解方程: (1) (2) 【例3-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）解下列方程：． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）解方程． (1)； (2)． 题型02利用降次思想解高次方程 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·湖北·阶段练习）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 ，它的解是 ． 【例4-2】（22-23九年级上·湖北·阶段练习）问题背景： 我们知道，配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本想想．我还可以用换元法来解某些高次方程，如，解方程①，可以将看着一个整体，然后设则，原方程化为②，解得为，当时，，所以；当时，，此方程无实数解．所以原方程的解为：． 解决问题： (1)上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到___________的目的，体现了数学的___________思想． (2)用适当的方法解下列方程： ①； ②． 【例4-3】（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【变式4-3】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 题型03利用降次思想求代数式的值 类型1整体代换降次法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）阅读下列例题的解题过程，给出问题的解答． 例题：已知，求的值． 解：∵ ∴ 即： ∴ 请参照例题的解题方法，解决以下问题：已知，求的值． 【例5-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，，求． 【例5-3】（23-24九年级上·湖北·周测）（1）已知，求的值． （2）已知x为实数，且，求的值． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）已知，计算的值 【变式5-2】（22-23八年级上·四川广元·期末）例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式5-3】（2024·九年级上江苏南通·）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 类型2利用方程的根及根与系数的关系降次法 【典例分析】 【例6-1】（22-23九年级上·四川达州·期末）设，是一元二次方程的两根，则等于（    ） A．1 B．5 C．11 D．13 【例6-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）设，是方程的两个根，则 ． 【例6-3】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·河北邯郸·阶段练习）设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2021·辽宁鞍山·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式6-3】（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）若是方程的两个实数根，求的值． 题型04利用降次思想解二次函数问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线与轴的一个交点为，求代数式的值． 【例7-2】（2023·九年级上云南昆明·）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)求的值． 【例7-3】（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为 (1)求，的值； (2)若C是x轴上一动点，求周长的最小值； (3)是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于，B两点． (1)试判断抛物线是否与直线相交?若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由； (2)若抛物线与一次函数的图象相交于点M，设点 M的横坐标为a，求的值． 【变式7-2】（22-23九年级上·云南昭通·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线是否与直线相交？若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由． (3)抛物线与一次函数的图象相交于点M，设点M的横坐标为a，求的值． 【变式7-3】（23-24九年级上·云南保山·期末）已知抛物线与直线． (1)若抛物线与直线有一个交点的坐标为，求m的值，并写出抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线与直线有且仅有一个交点，设平行于直线且经过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05降次思想在求代数式的值及方程、函数中的应用 题型01利用降次思想解一元二次方程 类型1开方降次法 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）（1）；          （2）． 【答案】（1），;（2）， 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）先把方程化为的形式，运用直接开平方法即可求解； （2）原方程可变形为，运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 两边直接开平方，得 ∴原方程的解是，． （2）移项，得． 两边直接开平方，得． ∴原方程的解是， 【例1-2】（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，两边开平方得到，进一步即可得到方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【详解】解： 两边开平方得到，， ∴或， ∴， 【例1-3】（23-24九年级上·湖南常德·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）计算：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 所以， 【变式1-2】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得 【变式1-3】（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、然后运用直接开平方法解答即可；掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 类型2配方降次法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·北京东城·期中）解下列一元二次方程 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用配方法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1） ∴ 解得，； （2） ，， ∴ ∴ 解得，． 【例2-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： ； 【答案】，； 【分析】利用配方法法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， ， ， ∴，； 【例2-3】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 解得：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解方程： ； 【答案】(1)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程， 利用配方法求解即可； 根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）， ， ， 即， ∴． ∴， 【变式2-2】（23-24九年级上·山西太原·期中）解下列方程： ； 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用配方法解方程即可； 【详解】解：， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得，即，或， ，； 【变式2-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：原方程变形为， ， ， 解得：， 类型3因式分解降次法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）选用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式，得到或，再解一元一次方程即可； （2）提取公因式分解因式，得到或，再解一元一次方程即可； 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ， 【例3-2】（23-24九年级上·重庆江津·期中）解方程: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程． 【详解】（1） ∴ ∴； （2） ∴ ， ∴． 【例3-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （2）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （3）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】）解：， 原方程可变形为， ， ，或， ， 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： ． 【答案】，． 【分析】利用因式分解法法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先将原方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解； （2）提取公因式，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得． （2）解：， ， ， 或， 解得 题型02利用降次思想解高次方程 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·湖北·阶段练习）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 ，它的解是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了解高次方程，熟练掌握整式的因式分解是解题的关键．利用因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或或， ． 故答案为：或或 【例4-2】（22-23九年级上·湖北·阶段练习）问题背景： 我们知道，配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本想想．我还可以用换元法来解某些高次方程，如，解方程①，可以将看着一个整体，然后设则，原方程化为②，解得为，当时，，所以；当时，，此方程无实数解．所以原方程的解为：． 解决问题： (1)上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到___________的目的，体现了数学的___________思想． (2)用适当的方法解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)降次，转化 (2)①；② 【分析】(1)降次，把高次方程转化为常见的一元二次方程求解． （2）①利用因式分解法实现降次，转化求解即可． ②设，原方程转化为求解即可． 【详解】（1）将看着一个整体，然后设，则，未知数次数有4次降低到了2次，实现了换元降次的目标，从而把四次方程转化为y的二次方程， 故答案为：降次，转化． （2）①由， 得． ∴或， 解得． ②设， 原方程化为， 解得． 当时，， 解得，； 当时，， 此方程无实数解． 所以原方程的解为：． 【点睛】本题考查了换元法解高次方程，灵活选择因式分解或换元法降次解方程是解题的关键． 【例4-3】（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 故答案为：； （2）设，则，原方程化为 解得， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为； 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是 ． 【答案】 【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 【详解】解： 则或或 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或 【变式4-3】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）设，那么，原方程可变为，解得，．再分别解关于x的方程即可． 【详解】解：（1） ∴， 两边都加上1得，， ∴， 开平方得，， ∴，； （2） 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，即， ∵， ∴当时原方程没有实数根． 当时，，即，∴，． 原方程有两个根：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和换元法是解题的关键 题型03利用降次思想求代数式的值 类型1整体代换降次法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）阅读下列例题的解题过程，给出问题的解答． 例题：已知，求的值． 解：∵ ∴ 即： ∴ 请参照例题的解题方法，解决以下问题：已知，求的值． 【答案】5 【分析】此题考查了代数式求值，参照例题的解题方法，由可得，，则，代入，计算即可．参照例题的解题方法，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 即：， ∴ ． 【例5-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 设，，等量代换后可得、， 则为的根，可解得，然后再对变形后将代入计算即可． 【详解】解：设，， ，， 为的根， ， ∴       ． 【例5-3】（23-24九年级上·湖北·周测）（1）已知，求的值． （2）已知x为实数，且，求的值． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据条件可得，然后把转化为整体代入即可解题； （2）先把条件转化为，然后计算出，然后利用代入求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）已知，计算的值 【答案】1 【分析】先把代数式进行部分分解因式，再整体代入求值； 【详解】解：， 【变式5-2】（22-23八年级上·四川广元·期末）例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题意根据完全平方公式先求出，再根据进行求解即可； （2）先得到，再将所求式子变形为，然后根据条件式进行转化求解即可． 【详解】（1）解：， ，则， ， ． （2）解：， ，即：， ． 【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思想方法，是解题的关键 【变式5-3】（2024·九年级上江苏南通·）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 类型2利用方程的根及根与系数的关系降次法 【典例分析】 【例6-1】（22-23九年级上·四川达州·期末）设，是一元二次方程的两根，则等于（    ） A．1 B．5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到：，以及方程的根的定义得到：，将进行转化计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．熟练掌握方程的根是使方程成立的未知数的值，利用整体思想进行化简，是解题的关键 【例6-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）设，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再由，推出所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： 【例6-3】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为： 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·河北邯郸·阶段练习）设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，，进而推出，再推出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， 是一元二次方程 的两个根， ∴，，。 ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，正确推出是解题的关键 【变式6-2】（2021·辽宁鞍山·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=-1、x1•x2=-3，将代数式x23-4x12+17进行转化后得出=-7-4（x12+x1）+17，再代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-1，x1•x2=-3，x22+x2=3，x12+x1=3， ∴x23-4x12+17=（3-x2）x2-4x12+17 =3x2-x22-4x12+17 =3x2-（3-x2）-4x12+17 =4x2-3-4x12+17 =4（-1-x1）-3-4x12+17 =-7-4（x12+x1）+17 =10-4×3 =-2 故答案为-2． 【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=-，x1x2= 【变式6-3】（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）若是方程的两个实数根，求的值． 【答案】3 【分析】根据是方程的实数根，表示出，代入原式，整理化简，再把，，代入即可求出． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ， 两边同时乘以， ∴， 把代入可得 原式 把代入可得 原式 ， ∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴原式． 【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若是一元二次方的两根时，则，． 题型04利用降次思想解二次函数问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线与轴的一个交点为，求代数式的值． 【答案】 【分析】将点的坐标代入关系式，再整体代入可得答案． 【详解】∵抛物线与x的交点为， ∴， 即． ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线上的点，求代数式的值，理解整体代入思想是解题的关键 【例7-2】（2023·九年级上云南昆明·）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由抛物线的顶点在轴上，则对应一元二次方程方程有两个相等的实数根，然后根据根的判别式即可解答； （2）由（1）得则，然后变形可得，以此类推可得、；然后对变形得到，最后将、整体代入即可解答． 【详解】（1）解：的顶点在x轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，． （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、代数式求值等知识点，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键 【例7-3】（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为 (1)求，的值； (2)若C是x轴上一动点，求周长的最小值； (3)是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由抛物线与y轴交于点，可得，把点代入，得，计算求解可得值； （2）由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，然后依据三角形周长计算公式解答即可； （3）由（1）得二次函数解析式为，由m是抛物线与x轴的交点的横坐标，可得，即，将，进行分组因式分解化成，将代入整理后再分组因式分解为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ， 把点代入，得， 解得， ， （2）解：由题意知，当周长最小时，的值最小， 如图，作点A关于x轴的对称点，连接， 周长； （3）解：由（1）得二次函数解析式为， 是抛物线与x轴的交点的横坐标， ，即， 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与坐标轴交点，分组因式分解，代数式求值，整体代入思想．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于，B两点． (1)试判断抛物线是否与直线相交?若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由； (2)若抛物线与一次函数的图象相交于点M，设点 M的横坐标为a，求的值． 【答案】(1)不相交，理由见解析 (2)2 【分析】（1）先求得抛物线的解析式，再联立方程组，利用一元二次方程的根的判别式判断即可； （2）联立方程组，得到，进而得到，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：不相交，理由为： ∵抛物线与x轴交于， ∴，解得， ∴， 联立方程组，整理，得， ∵， ∴方程组无实数解，即抛物线与直线不相交； （2）解：∵抛物线与一次函数的图象相交于点M，且点M的横坐标为a， ∴，则， ∴，整理，得， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求直线与抛物线的交点，解一元二次方程及根的判别式，因式分解的应用等，难度一般，熟练掌握相关知识的联系与灵活运用是解答的关键 【变式7-2】（22-23九年级上·云南昭通·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线是否与直线相交？若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由． (3)抛物线与一次函数的图象相交于点M，设点M的横坐标为a，求的值． 【答案】(1) (2)不相交，理由见解析 (3)0 【分析】（1）先求出抛物线对称轴为，进而求得，，再运用待定系数法即可求得答案； （2）联立直线和抛物线解析式并整理得：，利用根的判别式可得△，故直线与抛物线不相交； （3）联立直线和抛物线解析式可求得或，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 抛物线解析式为， 对称轴为直线， 设，则， ， ， ， ， ， ，， 把代入，得， 解得：， 该抛物线的解析式为． （2）解：不相交．理由如下： 联立直线和抛物线解析式得：， 整理得：， ， 抛物线与直线不相交． （3）解：联立抛物线与一次函数，得， 解得：，， 当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 综上所述，的值为0． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求直线与抛物线的交点，解一元二次方程及根的判别式，因式分解的应用等，难度一般 【变式7-3】（23-24九年级上·云南保山·期末）已知抛物线与直线． (1)若抛物线与直线有一个交点的坐标为，求m的值，并写出抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线与直线有且仅有一个交点，设平行于直线且经过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求：． 【答案】(1)，顶点为 (2) 【分析】（1）把点的坐标代入即可求得的值，进一步求得抛物线的顶点； （2）根据题意方程有且只有一个解，利用根的判别式得到△，化简，由平移性质可知直线为，根据题意有两个不同的解，利用根与系数的关系得到，，从而求得，利用得到，进一步得到，从而得到，，，直接代入计算即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得， 抛物线为， 抛物线的顶点为； （2）解：抛物线与直线有且仅有一个交点， 有且只有一个解， ，化简， 平行于直线且经过原点的直线与抛物线交于，两点， 直线为，则有两个不同的解， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数的性质，两条直线平行或相交问题，函数与方程的关系，能够把函数问题转化为方程的问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$