2.7 有理数的混合运算（知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.7 有理数的混合运算 （知识精讲+易错点拨+五考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数四则混合运算 3 考点讲练2：有理数四则混合运算的实际应用 5 考点讲练3：程序流程图与有理数的计算 7 考点讲练4：算“24”点 8 考点讲练5：含乘方的有理数混合运算 10 中等题真题汇编练 12 培优题真题汇编练 16 新知精讲梳理 知识点01：有理数混合运算的运算顺序 有理数的混合运算包含加、减、乘、除以及乘方五种基本运算。在进行混合运算时，需要遵循一定的运算顺序，以确保运算结果的准确性。具体运算顺序如下： 先乘方：在有理数的混合运算中，首先进行乘方运算。乘方运算的优先级高于其他四种基本运算。 再乘除：在进行完乘方运算后，接下来进行乘法和除法运算。乘法和除法运算的优先级相同，从左到右依次进行。 最后加减：完成乘除运算后，最后进行加法和减法运算。加法和减法运算的优先级相同，也遵循从左到右的运算顺序。 此外，如果运算式中含有括号，需要优先进行括号内的运算。括号内的运算也遵循上述的运算顺序。 知识点02：有理数混合运算的运算法则 有理数混合运算的运算法则主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及分配律等。这些运算法则在有理数的混合运算中同样适用，可以帮助学生简化运算过程，提高运算效率。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a + b = b + a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a + b) + c = a + (b + c)。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a × b) × c = a × (b × c)。 分配律：一个数与两个数的和或差相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加或相减。即a × (b + c) = a × b + a × c，a × (b - c) = a × b - a × c。 知识点03：有理数混合运算在实际问题中的应用 有理数的混合运算不仅限于纯粹的数学计算，还广泛应用于解决实际生活中的问题。例如，在购物、旅行、工程计算等方面，都需要运用有理数的混合运算来解决问题。通过解决实际问题，学生可以更好地理解有理数混合运算的实际意义和应用价值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：运算顺序错误 易错点：学生在进行有理数的混合运算时，容易忽略运算的优先级，即先乘方、再乘除、最后加减的顺序，以及括号内的运算优先于括号外的运算。这可能导致运算结果出错。 纠正方法：强调运算顺序的重要性，让学生牢记运算的优先级。 通过大量练习，使学生熟悉并掌握运算顺序。 易错知识点02：符号处理不当 易错点：异号两数相加或相减时，学生容易忘记确定结果的符号，或者错误地处理绝对值。 多个有理数相乘时，学生容易忽视负因数的个数对结果符号的影响。 纠正方法：强调符号处理的重要性，特别是异号两数相加或相减时的符号确定方法。 教授学生如何正确计算多个有理数相乘时的符号，即根据负因数的个数确定结果的符号。 易错知识点03：去括号法则应用错误 易错点：学生在去除括号时，容易忽略括号前的符号对括号内各项的影响，导致运算结果出错。 纠正方法：强调去括号法则的重要性，即括号前是正号时，去掉括号后各项符号不变；括号前是负号时，去掉括号后各项符号都要改变。 通过实例练习，让学生熟练掌握去括号法则的应用。 易错知识点04：运算律应用错误 易错点：加法交换律和结合律：学生在应用这两个运算律时，容易忽视其适用范围和条件，导致运算结果出错。乘法分配律：学生在应用乘法分配律进行有理数的混合运算时，容易出错。 纠正方法：强调运算律的重要性及其适用范围和条件。 通过实例练习，让学生熟练掌握运算律的应用，特别是在有理数的混合运算中如何灵活运用运算律来简化运算过程。 易错知识点05：知识理解错误 易错点：学生对有理数的概念、性质以及运算法则理解不透彻，导致在混合运算中出现错误。 纠正方法：加强基础知识的讲解和巩固，确保学生对有理数的概念、性质以及运算法则有深入的理解。 通过实例分析和讨论，帮助学生纠正对知识的误解和错误理解。 考点讲练1：有理数四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (2) (4) 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式子使结果为24． 考点讲练2：有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（2024·北京丰台·一模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）甲商场商品一律打八折销售，乙商场商品一律每满100元送20元的购物券．李阿姨打算买一台550元的早餐机，在（    ）商场购买更加划算． A．甲 B．乙 C．都一样 D．无法确定 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了月份他家每月1号的水表读数 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量_______吨及月平均每月用水量为_______吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ 考点讲练3：程序流程图与有理数的计算 【精讲题】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【举一反三练1】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 考点讲练4：算“24”点 【精讲题】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【举一反三练1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【举一反三练3】（17-18七年级上·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：    (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是　　． (2)从中取出张卡片，使这张卡片数字相除商最小，最小值是　　． (3)从中取出除以外的张卡片，将这个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出两种符合要求的运算式子 　． 考点讲练5：含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 【举一反三练1】．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（    ）元． A．268 B．269 C．270 D．272 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 7．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图1，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量，由图1可知，她一共采集到的野果数量为个．请你参照图1中的方法计算图2中她采集到的野果总数量为 ． 8．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）若规定表示不超过a的最大整数，例如，．若，，则在此规定下的值为 ． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据数值转换机的示意图，若输入的值是时，则输出的结果是 ． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 11．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 12．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）今年喜迎双节“国庆逢中秋”，30日开始各地迎来旅游高峰，无锡三国水浒风景区其中七天每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月29日的游客人数为12万人． 日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为__________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多__________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？ 13．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 14．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． (1)试计算6的“完美指标”． (2)试计算7和9的“完美指标”． (3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数． 培优题真题汇编练 15．（20-21七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，数轴上两定点、对应的数分别为和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从、同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒个单位和个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒……，按如此规律，则它们第一次相遇共需爬行（    ）次．    A．19 B．20 C．22 D．28 16．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）定义一种对正整数n的“”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“运算”的结果是（    ） A．152 B．19 C．62 D．49 17．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 18．（21-22七年级上·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 20．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 21．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 22．（2022七年级·江苏·专题练习）求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝ ． 23．（2018·江苏南通·一模）将2018减去它的，再减去余下的，再减去余下的，⋯⋯，依此类推，一直到最后减去余下的，最后的得数是 24．（22-23七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (4) ； (4)． 26． （23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 27．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．    (1) ， ． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 28．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.7 有理数的混合运算 （知识精讲+易错点拨+五考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数四则混合运算 3 考点讲练2：有理数四则混合运算的实际应用 8 考点讲练3：程序流程图与有理数的计算 11 考点讲练4：算“24”点 15 考点讲练5：含乘方的有理数混合运算 20 中等题真题汇编练 23 培优题真题汇编练 33 新知精讲梳理 知识点01：有理数混合运算的运算顺序 有理数的混合运算包含加、减、乘、除以及乘方五种基本运算。在进行混合运算时，需要遵循一定的运算顺序，以确保运算结果的准确性。具体运算顺序如下： 先乘方：在有理数的混合运算中，首先进行乘方运算。乘方运算的优先级高于其他四种基本运算。 再乘除：在进行完乘方运算后，接下来进行乘法和除法运算。乘法和除法运算的优先级相同，从左到右依次进行。 最后加减：完成乘除运算后，最后进行加法和减法运算。加法和减法运算的优先级相同，也遵循从左到右的运算顺序。 此外，如果运算式中含有括号，需要优先进行括号内的运算。括号内的运算也遵循上述的运算顺序。 知识点02：有理数混合运算的运算法则 有理数混合运算的运算法则主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及分配律等。这些运算法则在有理数的混合运算中同样适用，可以帮助学生简化运算过程，提高运算效率。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a + b = b + a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a + b) + c = a + (b + c)。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a × b) × c = a × (b × c)。 分配律：一个数与两个数的和或差相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加或相减。即a × (b + c) = a × b + a × c，a × (b - c) = a × b - a × c。 知识点03：有理数混合运算在实际问题中的应用 有理数的混合运算不仅限于纯粹的数学计算，还广泛应用于解决实际生活中的问题。例如，在购物、旅行、工程计算等方面，都需要运用有理数的混合运算来解决问题。通过解决实际问题，学生可以更好地理解有理数混合运算的实际意义和应用价值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：运算顺序错误 易错点：学生在进行有理数的混合运算时，容易忽略运算的优先级，即先乘方、再乘除、最后加减的顺序，以及括号内的运算优先于括号外的运算。这可能导致运算结果出错。 纠正方法：强调运算顺序的重要性，让学生牢记运算的优先级。 通过大量练习，使学生熟悉并掌握运算顺序。 易错知识点02：符号处理不当 易错点：异号两数相加或相减时，学生容易忘记确定结果的符号，或者错误地处理绝对值。 多个有理数相乘时，学生容易忽视负因数的个数对结果符号的影响。 纠正方法：强调符号处理的重要性，特别是异号两数相加或相减时的符号确定方法。 教授学生如何正确计算多个有理数相乘时的符号，即根据负因数的个数确定结果的符号。 易错知识点03：去括号法则应用错误 易错点：学生在去除括号时，容易忽略括号前的符号对括号内各项的影响，导致运算结果出错。 纠正方法：强调去括号法则的重要性，即括号前是正号时，去掉括号后各项符号不变；括号前是负号时，去掉括号后各项符号都要改变。 通过实例练习，让学生熟练掌握去括号法则的应用。 易错知识点04：运算律应用错误 易错点：加法交换律和结合律：学生在应用这两个运算律时，容易忽视其适用范围和条件，导致运算结果出错。乘法分配律：学生在应用乘法分配律进行有理数的混合运算时，容易出错。 纠正方法：强调运算律的重要性及其适用范围和条件。 通过实例练习，让学生熟练掌握运算律的应用，特别是在有理数的混合运算中如何灵活运用运算律来简化运算过程。 易错知识点05：知识理解错误 易错点：学生对有理数的概念、性质以及运算法则理解不透彻，导致在混合运算中出现错误。 纠正方法：加强基础知识的讲解和巩固，确保学生对有理数的概念、性质以及运算法则有深入的理解。 通过实例分析和讨论，帮助学生纠正对知识的误解和错误理解。 考点讲练1：有理数四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【思路点拨】（）根据减法法则计算即可； （）根据加法的交换律和结合律计算即可； （）将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （）先计算乘除，再计算减法即可； （）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式， ； （4）解：）原式 ； （5）解：原式 ， ； （6）解：原式 ， ． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】 （1）本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是把除法转化为乘法； （2）本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意运算顺序，注意先算括号里的； （3）本题考查了乘法的分配率，解题的关键是注意符号； （4）本题考查了乘法的分配率，解题的关键是转化为． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式子使结果为24． 【答案】(1)15 (2) (3) 【思路点拨】 （1）本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是要理解找乘积最大的就要找符号相同且数值最大的数； （2）本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是要理解2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好； （3）本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握用加减乘除只要答数是24即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：； （2）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：； （3）由题意可得，． 考点讲练2：有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（2024·北京丰台·一模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 1010 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【规范解答】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）甲商场商品一律打八折销售，乙商场商品一律每满100元送20元的购物券．李阿姨打算买一台550元的早餐机，在（    ）商场购买更加划算． A．甲 B．乙 C．都一样 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了百分数的应用，有理数混合运算的应用，分别求出两个商场需要花费的钱数，即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可知，在甲商场买需花费（元）， 在乙商场买需花费（元）， 因为， 所以，在甲商场购买更加划算， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 【答案】(1)万人 (2)165万元 (3)6605万元 【思路点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）由超过标准人数最多的1天可得答案； （2）由星期二收入减去星期三的门票收入即可得到答案； （3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入． 【规范解答】（1）解：∵星期二超过标准人数最多， ∴星期二的游客人数最多为：（万人）． （2）星期二的收入最多为：（万元）， 星期三的收入最小为：（万元）， ∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元）． （3）∵游客总人数为：（万人）， ∴门票总收入为：（万元）； ∵购买礼盒总数量为： （万盒）， ∴收入为：（万元）， ∴总收入为：（万元）． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了月份他家每月1号的水表读数 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量_______吨及月平均每月用水量为_______吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据水表读数可得小高家月份的用水量以及月平均每月用水量； （2）求出小高家月份用水量，从而得出一级用水价格，进而可得月份需要缴纳水费； （3）根据收费标准列式计算小高家月份需要缴纳水费． 【规范解答】（1）解：小高家月份的用水量为（吨）， 月平均每月用水量为：（吨）， 故答案为：，； （2）解：小高家月份用水（吨）， ， 一级用水价格为（元/吨）， 月份用水量为（吨）， 他家月份需要缴纳水费为（元）； （3）解：月份用水量为（吨）， 小高家月份需要缴纳水费（元）． 考点讲练3：程序流程图与有理数的计算 【精讲题】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果． 【规范解答】解：把1921代入得：， 把代入得：， 则输出结果为． 故选D． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解本题的运算程序是解决本题的关键．输入，先按着计算机的计算程序计算，再看计算结果与的关系，最后输出． 【规范解答】解：依题意，开始输入 ∴最后输出的结果是 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】(1)2；1； (2)负 (3)0或（n为自然数） 【思路点拨】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义． （1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律； （3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0． 【规范解答】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 (3)89或99 【思路点拨】本题考查了程序流程图与有理数计算，化简绝对值．理解程序图中的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，即； （3）当时，，则，解得，，进而可得的值；当时，，则，解得，或，不符合题意，舍去；当时，，则，解得，，进而可得的值． 【规范解答】（1）解：若输入数对，则输出， 故答案为：1； （2）解：，理由如下； 由题意知，， ， ∴； （3）解：当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 即， 解得，或，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，的值为89或99． 考点讲练4：算“24”点 【精讲题】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【规范解答】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6 (2) (3)； 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 故最大值为； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【思路点拨】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【举一反三练3】（17-18七年级上·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：    (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是　　． (2)从中取出张卡片，使这张卡片数字相除商最小，最小值是　　． (3)从中取出除以外的张卡片，将这个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出两种符合要求的运算式子 　． 【答案】(1)； (2)； (3)；． 【思路点拨】()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【规范解答】（1）根据题意得：， 故最大值为； （2）， 故最小值为； （3）根据题意得：；， 故答案为：（）；（）；（）；． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点讲练5：含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意，根据题中计算方法列式计算即可． 【规范解答】解：由题意，图2所表示孩子出生后的天数是 （天）， 故选：B 【举一反三练1】．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键． （1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）设，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值． 【规范解答】（1）解：设， 将等式两边同时乘2得：， 将下式减去上式得：，即， 则； （2）解：设①， 两边同时乘3得：②， ②-①得：，即，则 则． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查有理数混合运算与程序图，掌握有理数的混合运算法则即可求解． 根据程序图，把输入的x得到的结果和2做比较后再进行操作，算即可求解． 【规范解答】解：根据题意得，， ∴， ∴输出的的值为：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（    ）元． A．268 B．269 C．270 D．272 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据促销的方案，表示出购买的价格，从而可比较出结果． 【规范解答】解：方法一∶用方案一购买5个5本，共送5本，则到手的书有本，再买2本，则其花费为：（元）， 方法二∶用方案二购买32本，则其花费为：（元）， 方法三∶用方案一购买4个5本，共送4本，则到手的书有本，再用方案二购买本，则其花费为： ∵， ∴至少要花268元 故选：A． 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案． 【规范解答】解：∵，， 而， ∴括号内填的是； 故选A 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，第3步的运算结果为，当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，；当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，，然后求和即可． 【规范解答】解：由题意知，第3步的运算结果为， 当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，， 当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，， ∴所有符合条件的数的和是， 故选：D． 6．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了新定义下含乘方的有理数混合运算，按照新定义的运算法则，进行解答即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 7．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图1，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量，由图1可知，她一共采集到的野果数量为个．请你参照图1中的方法计算图2中她采集到的野果总数量为 ． 【答案】269 【思路点拨】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法．根据图中的数学列式计算即可求解． 【规范解答】解：她采集到的野果总数量为， 故答案为：269． 8．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）若规定表示不超过a的最大整数，例如，．若，，则在此规定下的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是新定义运算，理解新定义，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据数值转换机的示意图，若输入的值是时，则输出的结果是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列出算式是解题的关键．根据题意列式为，然后进行计算即可． 【规范解答】解：若输入的值是时，， 则， 故答案为：4． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则和加减乘除法则． 各个小题均根据有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 11．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为 (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式． （1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可； （2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：， 第二个正方体纸盒的体积为：， ∵， ∴第二个正方体纸盒的棱长为； （2）解：， 答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多． 12．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）今年喜迎双节“国庆逢中秋”，30日开始各地迎来旅游高峰，无锡三国水浒风景区其中七天每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月29日的游客人数为12万人． 日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为__________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多__________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)黄金周七天该景区旅游总收入约为万元． 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据正负数意义列式计算，即可得到答案； （2）根据表格分别求出黄金周七天每天的游客人数，再用游客人数最多的一天减最少的一天，即可得到答案； （3）将（2）所得的每天的游客人数相加，再乘以，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为万人， 故答案为：； （2）解：根据表格可知， 9月30日游客人数为：（万人）， 10月1日游客人数为：（万人）， 10月2日游客人数为：（万人）， 10月3日游客人数为：（万人）， 10月4日游客人数为：（万人）， 10月5日游客人数为：（万人）， 10月6日游客人数为：（万人）， 则七天内游客人数最多的一天比最少的一天多（万人）， 故答案为：； （3）解： （万元）， 答：黄金周七天该景区旅游总收入约为万元． 13．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 【答案】(1)，，， (2)，6 (3)这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位 【思路点拨】 本题考查了数轴上点与点之间距离的运用，关键明确点与点之间的距离是正数． （1）根据数轴上两点间的距离，分两种情况加减1.5即可得出答案； （2）根据数轴上点的折叠求出折叠点，再左减右加，即可解答； （3）根据路程中数量关系式求出相遇时间，再用相遇时间×移动的速度求出结果． 【规范解答】（1）数轴上若点M表示的数是，M、N两点的距离为 1.5， 则点N表示的数是，或； 数轴上若点M表示的数是4，M、N两点的距离为1.5， 则点N表示的数是 ，或； 综上所述，满足条件的点N所表示的数是，，，， 故答案为：，，，； （2）根据题意折叠点：2， E：，F：， 故答案为：，6； （3）， （秒）， ， ， 答：这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位． 14．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． (1)试计算6的“完美指标”． (2)试计算7和9的“完美指标”． (3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数． 【答案】(1)1 (2)； (3) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运，掌握完美指标的意义及计算方法是解题的关键． （1）根据“完美指标”的定义计算即可； （2）根据“完美指标”的定义计算即可； （3）先根据“完美指标”的定义分别求出16、17、18“完美指标”，然后再根据“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”即可解答． 【规范解答】（1）解：6的真因数有：1，2，3，根据“完美指标”的定义，可得6的完美指标：． （2）解：7的真因数有：1，根据“完美指标”的定义，可得7的完美指标：； 9的真因数有：1，3，根据“完美指标”的定义，可得9的完美指标：． （3）解：16的真因数有：1、2、4、8，根据“完美指标”的定义，可得16的完美指标：， 17的真因数有：1，根据“完美指标”的定义，可得17的完美指标：， 18的真因数有：1、2、3、6、9，据“完美指标”的定义，可得18的完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，16、17、18三个自然数中，最“完美”的数是16． 培优题真题汇编练 15．（20-21七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，数轴上两定点、对应的数分别为和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从、同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒个单位和个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒……，按如此规律，则它们第一次相遇共需爬行（    ）次．    A．19 B．20 C．22 D．28 【答案】A 【思路点拨】根据两点间的距离，可得的长，根据爬行的规律，可得以后每两次可以前进，可得爬行的总次数． 【规范解答】解：之间的距离为， 第一次相向爬行1秒后，两只蚂蚁相距， 以后每两次可以前进， ∴， 则它们第一次相遇共需爬行次， 故选：A． 【考点评析】本题考查了数轴，根据爬行的规律得出前进的速度，爬行的总次数是解题关键． 16．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）定义一种对正整数n的“”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“运算”的结果是（    ） A．152 B．19 C．62 D．49 【答案】A 【思路点拨】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【规范解答】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算， 由于为奇数 应先进行①运算，即（偶数）， 需再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2023次“运算”的结果是152． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律． 17．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【思路点拨】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解； 【规范解答】甲：原式 乙：原式 故选：A 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键 18．（21-22七年级上·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可． 【规范解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3． 故答案为：D． 【考点评析】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 19．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数轴，根据折叠及可得点表示的数，再根据中点公式即可求出点C表示的数． 【规范解答】解：设点C表示的数为x， 由可得， ∵点B表示的数为7，点在B的右边， ∴表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查程序问题，从程序中找到从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环的规律是解题的关键． 【规范解答】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环， ， ∴第2023次为第1010组第二个， ∴第2023次输出的结果为3， 故答案为：3． 21．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【规范解答】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 22．（2022七年级·江苏·专题练习）求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝ ． 【答案】2475 【思路点拨】观察分母及分子特点，分组相加，利用高斯定理，即可得到结果． 【规范解答】解： ＝． ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2475． 故答案为：2475． 【考点评析】本题考查分数的和，关键是利用分母特点进行分组，还有高斯定理的应用． 23．（2018·江苏南通·一模）将2018减去它的，再减去余下的，再减去余下的，⋯⋯，依此类推，一直到最后减去余下的，最后的得数是 【答案】1 【思路点拨】根据题意可列式，把括号里的相减，再约分即可． 【规范解答】解：由题意得： = = =1 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出式子并发现运算过程中的规律是解题的关键． 24．（22-23七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数运算的顺序和法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再从左往右依次计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先算乘方，括号里的式子，再算乘除，最后算加减； （4）先算乘方，绝对值的值，再算乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 26．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【规范解答】解：令，则， ， ， 即的值为． 27．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．    (1) ， ． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)正确，这个时间是0.625秒，定值是8单位长度 【思路点拨】（1）根据非负数的性质求出，即可得到答案； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， 解得：，， 故答案为：，16； （2）解：此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）； （秒）或（秒）， 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：正确， ， 当在之间时，是定值5， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是0.625秒，定值是8单位长度． 【考点评析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． 28．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；； (2)秒或秒 (3)秒或秒 (4) 【思路点拨】（1）先求出的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解； （2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （4）确定同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ， ∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等 ∴ （米） （米） 故答案为：100，1400，1600； （2）解：（米），（米） （秒） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米） （米） （米） （秒） 当点M在点C右侧时； （米） （米） （米） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在； 乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ， （秒） 故的值为：； 【考点评析】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$