2.6 有理数的乘方（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.6 有理数的乘方 （知识精讲+易错点拨+七考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数幂的概念理解 3 考点讲练2：有理数的乘方运算 4 考点讲练3：有理数的乘方逆运算 5 考点讲练4：乘方运算的符号规律 6 考点讲练5：乘方的应用 7 考点讲练6：科学计数法表示绝对值大于1的数 8 考点讲练7：将用科学计数法表示的数变回原数 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 13 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘方定义 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂。例如，a^n表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 注意：当底数为0时，0的任何正整数次幂都是0（但0的0次幂在数学中是未定义的）。 知识点02：有理数的乘方性质 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数。例如，2³= 8，54= 625。 负数的乘方： 负数的奇数次幂是负数。例如，(-3)^3 = -27。 负数的偶数次幂是正数。例如，(-2)^4 = 16。 1和-1的乘方： 1的任何次幂都是1。例如，1n = 1（n为任意整数）。 -1的偶次幂是1，奇次幂是-1。例如，(-1)2 = 1，(-1)3 = -1。 知识点03：有理数的乘方运算法则 同底数幂的乘法：同底数幂相乘时，指数相加。即am × an = a(m+n)（m、n为正整数）。 同底数幂的除法：同底数幂相除时，指数相减。即am ÷ an = a(m-n)（a ≠ 0，m、n为正整数，且m > n）。 幂的乘方：幂的乘方时，指数相乘。即(a^m)^n = a^(m×n)（m、n为正整数）。 积的乘方：积的乘方时，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n = an × bn（n为正整数）。 知识点04：科学记数法 定义：科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，它把一个数表示成a×10^n的形式（1 ≤ |a| < 10，n为整数）。 应用：科学记数法常用于表示天文、物理、化学等领域中的大数或小数，以便于计算和记录。 转换：将一个数转换为科学记数法时，需要确定a和n的值。其中，a是原数中有效数字的部分（即第一个非零数字及其后面的数字），n是原数的整数位数减1（对于小于1的数，n是负数，表示小数点向左移动了多少位）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：乘方定义的理解误区 混淆乘方与乘法：部分学生可能将乘方运算误解为简单的乘法运算，忽略了乘方是求多个相同因数的积的运算。例如，将a3错误地理解为a+a+a或a×3。 底数和指数的混淆：在书写或计算乘方时，容易混淆底数和指数的位置，导致计算结果错误。例如，将a^2错误地写为2a。 易错知识点02：乘方性质的掌握不足 负数乘方的符号判断：对于负数的乘方，学生容易在判断结果的符号时出错。特别是当指数为奇数或偶数时，负数的乘方结果的正负性容易混淆。 1和-1的乘方特殊性：对于1和-1的乘方，学生可能忽视其特殊性，导致在计算过程中出错。例如，将1的任何次幂都视为1，但忽略了0的0次幂在数学中是未定义的。 易错知识点03：乘方运算法则的应用错误 同底数幂的乘除运算：在进行同底数幂的乘除运算时，学生容易忘记指数相加或相减的法则，导致计算结果错误。 幂的乘方与积的乘方混淆：幂的乘方与积的乘方是两种不同的运算法则，但学生在应用时容易混淆。例如，将(am)n错误地理解为a(m+n)，或将(ab)n错误地理解为an+bn。 易错知识点04：科学记数法的应用误区 有效数字的确定：在科学记数法中，有效数字的确定是一个重要环节。但学生容易忽略这一点，导致在转换或计算过程中出错。 小数点的移动方向：在将普通数转换为科学记数法时，需要确定小数点的移动方向。但学生可能因对指数的理解不足而移动错误的方向。 易错知识点05：其他易错点 计算过程中的粗心大意：在进行乘方运算时，学生可能因计算过程中的粗心大意（如看错数字、写错符号等）而导致最终结果错误。 对特殊情况的忽视：对于某些特殊情况（如0的乘方、负数的偶数次幂等），学生可能因对其性质理解不透彻而忽略这些特殊情况的处理。 考点讲练1：有理数幂的概念理解 【精讲题】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（17-18七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算＝（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ________， ________，________． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 考点讲练2：有理数的乘方运算 【精讲题】（17-18七年级上·江苏南通·阶段练习）下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）规定：（）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则： ．例如：，则 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负分数集合：{ }； 非负整数集合：{ } 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数分别表示在数轴上，并用“＞”号把它们连接起来：，，，0，． 考点讲练3：有理数的乘方逆运算 【精讲题】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）的立方等于 ，平方等于的数是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【举一反三练3】（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 考点讲练4：乘方运算的符号规律 【精讲题】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列计算各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 【举一反三练3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点讲练5：乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【举一反三练2】（23-24七年级·全国·假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【举一反三练3】（2022七年级上·江苏·专题练习）有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 考点讲练6：科学计数法表示绝对值大于1的数 【精讲题】（23-24七年级上·河南安阳·期末）“一粥一饭当思来之不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克． (1)一粒大米约重多少克？ (2)全国按14亿人口，若每人每餐节约一粒大米，则每餐大约能节约大米多少千克？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少万元？ 【举一反三练1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 【举一反三练2】（21-22七年级·全国·假期作业）下列各数的书写形式是否是科学记数法的形式？ (1)1.5×103； (2)29×104； (3)0.32×103； (4)2.23×100. 【举一反三练3】（20-21七年级上·全国·单元测试）我国约有9 600 000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150 000吨煤所产生的能量. （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？ （2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示） 考点讲练7：将用科学计数法表示的数变回原数 【精讲题】（2024·广东珠海·一模）“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【举一反三练1】（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【举一反三练2】（22-23七年级上·广西贵港·期末）目前全国疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约个，则科学记数法数据的原数为 ． 【举一反三练3】（20-21七年级上·江苏南京·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为 ． 中等题真题汇编练 1．（2024·吉林长春·一模）下列计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，经过约8个小时的飞行，宇航员顺利进入运行轨道约的“天宫”空间站．将数据450000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海·阶段练习）计算： ． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 7． （23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，0，，，中，负数的个数有 个． 8． 8．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）2022年上半年，无锡市的总额达到了671500000000元，将671500000000用科学记数法表示为 ． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：，，，0，，，，，， 正数集合：｛           ｝ 负数集合：｛           ｝ 整数集合：｛           ｝ 分数集合：｛          ｝ 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）（1）请你在数轴上表示下列各数：    （2） 将上列各数按照从小到大的顺序用不等号“”连接起来． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 12．（2022七年级·全国·专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大值是多少？ 答：乘积最大值为　　． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值为　　． (3)从中取出2张卡片，用学过的运算方法，使结果最大，如何抽取？写出运算式子．写出完整算式及运算过程． 13．（21-22七年级·江苏·假期作业）阅读下列解题过程： 计算1+3+32+33+34+…+39+310的值． 解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①， 则3S＝3×(1+3+32+33+…+39+310) 3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310 3S＝3+32+33+34+…+310+311②， ②﹣①得： 3S﹣S＝(3+32+33+34+…+39+310+311)﹣(1+3+32+33+34+…+39+310) 2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝ 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525． 培优题真题汇编练 14．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 15．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知n为正整数，计算的结果是（    ） A．1 B． C．2 D．0 16．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）有理数在数轴的位置如图，则下面关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 17．（18-19七年级上·江苏徐州·期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 18．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元． 19．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且，则点Р表示的数是 ． 20．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点距离为3的数，y是最大的负整数．则的值为 ． 21．（20-21七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下列等式： 第1层1+2＝3 第2层4+5+6＝7+8 第3层9+10+11+12＝13+14+15 第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24 … 在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第 层． 22．（19-20七年级上·河南郑州·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出64根细面条.    23．（17-18七年级上·江苏·期中）已知：，则 . 24．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 25．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①；②； ③若，则______；④若，则______； (2)【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有______个，它们互为______； 平方等于一个正数的数有______个，它们互为______； (3) 【知识运用】运用上述结论解答：已知，求的值． 26．（21-22七年级上·四川巴中·期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4． （1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______． （2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________． （3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)． （4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1） 27．（20-21七年级上·全国·课后作业）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：   （1）二进制中的数等于十进制的数多少？ （2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.6 有理数的乘方 （知识精讲+易错点拨+七考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数幂的概念理解 3 考点讲练2：有理数的乘方运算 6 考点讲练3：有理数的乘方逆运算 8 考点讲练4：乘方运算的符号规律 10 考点讲练5：乘方的应用 12 考点讲练6：科学计数法表示绝对值大于1的数 15 考点讲练7：将用科学计数法表示的数变回原数 17 中等题真题汇编练 19 培优题真题汇编练 25 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘方定义 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂。例如，a^n表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 注意：当底数为0时，0的任何正整数次幂都是0（但0的0次幂在数学中是未定义的）。 知识点02：有理数的乘方性质 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数。例如，2³= 8，54= 625。 负数的乘方： 负数的奇数次幂是负数。例如，(-3)^3 = -27。 负数的偶数次幂是正数。例如，(-2)^4 = 16。 1和-1的乘方： 1的任何次幂都是1。例如，1n = 1（n为任意整数）。 -1的偶次幂是1，奇次幂是-1。例如，(-1)2 = 1，(-1)3 = -1。 知识点03：有理数的乘方运算法则 同底数幂的乘法：同底数幂相乘时，指数相加。即am × an = a(m+n)（m、n为正整数）。 同底数幂的除法：同底数幂相除时，指数相减。即am ÷ an = a(m-n)（a ≠ 0，m、n为正整数，且m > n）。 幂的乘方：幂的乘方时，指数相乘。即(a^m)^n = a^(m×n)（m、n为正整数）。 积的乘方：积的乘方时，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n = an × bn（n为正整数）。 知识点04：科学记数法 定义：科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，它把一个数表示成a×10^n的形式（1 ≤ |a| < 10，n为整数）。 应用：科学记数法常用于表示天文、物理、化学等领域中的大数或小数，以便于计算和记录。 转换：将一个数转换为科学记数法时，需要确定a和n的值。其中，a是原数中有效数字的部分（即第一个非零数字及其后面的数字），n是原数的整数位数减1（对于小于1的数，n是负数，表示小数点向左移动了多少位）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：乘方定义的理解误区 混淆乘方与乘法：部分学生可能将乘方运算误解为简单的乘法运算，忽略了乘方是求多个相同因数的积的运算。例如，将a3错误地理解为a+a+a或a×3。 底数和指数的混淆：在书写或计算乘方时，容易混淆底数和指数的位置，导致计算结果错误。例如，将a^2错误地写为2a。 易错知识点02：乘方性质的掌握不足 负数乘方的符号判断：对于负数的乘方，学生容易在判断结果的符号时出错。特别是当指数为奇数或偶数时，负数的乘方结果的正负性容易混淆。 1和-1的乘方特殊性：对于1和-1的乘方，学生可能忽视其特殊性，导致在计算过程中出错。例如，将1的任何次幂都视为1，但忽略了0的0次幂在数学中是未定义的。 易错知识点03：乘方运算法则的应用错误 同底数幂的乘除运算：在进行同底数幂的乘除运算时，学生容易忘记指数相加或相减的法则，导致计算结果错误。 幂的乘方与积的乘方混淆：幂的乘方与积的乘方是两种不同的运算法则，但学生在应用时容易混淆。例如，将(am)n错误地理解为a(m+n)，或将(ab)n错误地理解为an+bn。 易错知识点04：科学记数法的应用误区 有效数字的确定：在科学记数法中，有效数字的确定是一个重要环节。但学生容易忽略这一点，导致在转换或计算过程中出错。 小数点的移动方向：在将普通数转换为科学记数法时，需要确定小数点的移动方向。但学生可能因对指数的理解不足而移动错误的方向。 易错知识点05：其他易错点 计算过程中的粗心大意：在进行乘方运算时，学生可能因计算过程中的粗心大意（如看错数字、写错符号等）而导致最终结果错误。 对特殊情况的忽视：对于某些特殊情况（如0的乘方、负数的偶数次幂等），学生可能因对其性质理解不透彻而忽略这些特殊情况的处理。 考点讲练1：有理数幂的概念理解 【精讲题】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【规范解答】解：． 故选：B． 【举一反三练1】（17-18七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键． 根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案． 【规范解答】解：原式， 故选：B 【举一反三练2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【规范解答】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 【举一反三练3】（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ________， ________，________． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 【答案】（1），，；（2）,,;（3） 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方； （1）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （2）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论即可求解． 【规范解答】解：（1）； ； ； 故答案为：，，． （2）， ； 故答案为：,,； （3）由题意，根据（2）中规律可得， 故答案为：． 考点讲练2：有理数的乘方运算 【精讲题】（17-18七年级上·江苏南通·阶段练习）下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】 本题考查了绝对值、倒数、有理数的乘方，熟记各运算法则和性质是解题关键．根据绝对值的性质、倒数的定义、有理数乘方运算逐个判断即可得． 【规范解答】解：①不一定是负数，故原说法错误； ②一定是非负数，故原说法错误； ③倒数等于它本身的数是，故原说法正确； ④绝对值等于它本身的数是0或正数，故原说法错误； ⑤平方等于它本身的数是1或0，故原说法错误， 故正确的有1个， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）规定：（）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则： ．例如：，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了新定义，有理数的乘方．理解题意，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 根据，结合题意求解作答即可． 【规范解答】解：由题意知，， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …} 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查了有理数的分类，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和分分数，根据有理数的分类方法进行求解即可． 【规范解答】解：为负有理数，5，8为正有理数，也是整数，为负分数， 为正分数，也是正的有理数，为负分数，为正有理数， 0为有理数，也为正数，为负有理数，为负分数， ∴正有理数集合：， 整数集合：， 负分数集合：， 非负整数集合：， 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数分别表示在数轴上，并用“＞”号把它们连接起来：，，，0，． 【答案】数轴见解析； ． 【思路点拨】本题考查了相反数，绝对值，数轴，有理数的乘方和有理数数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先根据相反数，绝对值，有理数的乘方进行计算，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【规范解答】解： ． 考点讲练3：有理数的乘方逆运算 【精讲题】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【答案】A 【思路点拨】根据绝对值和乘方的性质求出和的值，再根据得到和同号，分类讨论求出的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴和同号， 当时，; 当时，; 综上，的值为， 故选：A． 【考点评析】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到和同号． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）的立方等于 ，平方等于的数是 ． 【答案】 8 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据立方和平方的定义进行求解即可． 【规范解答】解：的立方等于，平方等于的数是， 故答案为：，． 【举一反三练2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【考点评析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 【举一反三练3】（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1； (2)ab，anbn，abc，anbncn； (3)﹣0.125 【思路点拨】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1； 4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． （2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． （3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125 【考点评析】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 考点讲练4：乘方运算的符号规律 【精讲题】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列计算各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查绝对值的化简，多重符号的化简，乘方运算，掌握化简绝对值的法则是解题的关键． 【规范解答】解：A.当时，，故错误； B.时， ，故正确； C. ，故正确； D. ，故正确； 故选：A． 【举一反三练1】（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【思路点拨】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【规范解答】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【考点评析】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【规范解答】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键． 【举一反三练3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【思路点拨】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【规范解答】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【考点评析】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 考点讲练5：乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)100 【思路点拨】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． （1）直接利用已知计算得出答案； （2）利用（1）中所求进而得出答案； （3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果 ，， 运用以上的结论，计算： 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【思路点拨】设，表示出，然后求解即可． 【规范解答】解：设， 则， ， ， 故． 【考点评析】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级·全国·假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【答案】第次后可拉出根面条． 【思路点拨】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【规范解答】 解：根据题意得：， 答：这样捏合到第6次后可拉出根面条． 【考点评析】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义． 【举一反三练3】（2022七年级上·江苏·专题练习）有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 【答案】(1)（毫米） (2)（毫米） 【思路点拨】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可； （2）根据对折规律确定出所求厚度即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：（毫米）． （2）解：根据题意得：（毫米）． 【考点评析】本题考查了有理数的乘方，将纸的层数化为幂的形式，找出这些值与对折次数的对应关系是解答本题的关键． 考点讲练6：科学计数法表示绝对值大于1的数 【精讲题】（23-24七年级上·河南安阳·期末）“一粥一饭当思来之不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克． (1)一粒大米约重多少克？ (2)全国按14亿人口，若每人每餐节约一粒大米，则每餐大约能节约大米多少千克？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少万元？ 【答案】(1)一粒大米约重0.02克 (2)每餐大约能节约大米千克 (3)大约可卖得14万元 【思路点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式进行计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）用大米的质量乘以单价求出结果即可． 【规范解答】（1）解：（克）， 答：一粒大米约重0.02克． （2）解：（克）， ， 答：每餐大约能节约大米千克． （3）解：（元）， ， 答：大约可卖得14万元． 【举一反三练1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 【答案】(1)1光年约是千米； (2)银河系的直径约是千米； (3)倍 【思路点拨】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，求出即可； （3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可． 【规范解答】（1）解：（米）， 米千米， 答：1光年约是千米； （2）（千米）， 答：银河系的直径约是千米； （3）， ， 答：光的速度是这架飞机速度的倍． 【考点评析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解此题的关键是能根据题意列出算式． 【举一反三练2】（21-22七年级·全国·假期作业）下列各数的书写形式是否是科学记数法的形式？ (1)1.5×103； (2)29×104； (3)0.32×103； (4)2.23×100. 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 【思路点拨】直接利用科学记数法表示方法得出答案． 【规范解答】（1）解：1.5×103是科学记数法的形式； （2）解：∵29>10， ∴29×104不是科学记数法的形式； （3）解：∵0.32<1， ∴0.32×103不是科学记数法的形式； （4）解：∵100不是10n的形式， ∴2.23×100不是科学记数法的形式； 【考点评析】本题考查了科学记数法，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定n和a的值是解题的关键． 【举一反三练3】（20-21七年级上·全国·单元测试）我国约有9 600 000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150 000吨煤所产生的能量. （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？ （2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示） 【答案】（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤所产生的能量；（2）（1）中的煤大约发出1.152×1016度电. 【思路点拨】(1)根据乘法的意义列出算式9 600 000×150 000，结果再用科学记数法表示即可； (2)用(1)中计算的结果乘以8000，结果再用科学记数法表示即可. 【规范解答】（1）9 600 000×150 000=1 440 000 000 000=1.44×1012（吨）． 答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤所产生的能量． （2）1 440 000 000 000×8000=1.152×1016（度）． 答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电. 【考点评析】本题考查了科学记数法的运用. 考点讲练7：将用科学计数法表示的数变回原数 【精讲题】（2024·广东珠海·一模）“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【答案】A 【思路点拨】本题考查了科学记数法，将还原成即可求解；掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得 ， 故选：A． 【举一反三练1】（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【思路点拨】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【规范解答】解：亿． 故选：C． 【考点评析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【举一反三练2】（22-23七年级上·广西贵港·期末）目前全国疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约个，则科学记数法数据的原数为 ． 【答案】750000 【思路点拨】科学记数法是指把一个数表示成的形式（，n 为整数），科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数． 【规范解答】解：， 故答案为：750000． 【考点评析】本题考查了把科学记数法化为原数，掌握科学记数法的表示法则及规律是关键． 【举一反三练3】（20-21七年级上·江苏南京·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为 ． 【答案】6 【思路点拨】根据科学计算法还原这个数，进而即可求得则原数中“0”的个数 【规范解答】解：用科学记数法表示为6.25×108的原数为625000000， 所以原数中“0”的个数为6， 故答案是：6． 【考点评析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（2024·吉林长春·一模）下列计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【规范解答】解：，，，， 所给的各数中，负数是． 故选：D 2．（2024·福建厦门·二模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，经过约8个小时的飞行，宇航员顺利进入运行轨道约的“天宫”空间站．将数据450000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【规范解答】解：450000用科学记数法表示为． 故选：C． 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【规范解答】解：，， 故选：B 4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【规范解答】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是， 故选A． 5．（23-24六年级下·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】27 【思路点拨】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方再算乘法，即可作答． 【规范解答】解：． 故答案为：27 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【思路点拨】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【规范解答】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，0，，，中，负数的个数有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了正负数的定义，绝对值的化简，乘方的计算，化简多重符号，根据各个定义进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：，，，，，， 综上所述，负数有4个， 故答案为：4． 8．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）2022年上半年，无锡市的总额达到了671500000000元，将671500000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数． 根据科学记数法的表现形式解答，其中， 【规范解答】解：． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：，，，0，，，，，， 正数集合：｛           …｝ 负数集合：｛           …｝ 整数集合：｛           …｝ 分数集合：｛           …｝ 【答案】，，，，，；，，；， ，0， ，；，，，， 【思路点拨】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义．根据有理数的定义进行解答即可． 【规范解答】解：，，， 正数集合：｛，，，，，｝ 负数集合：｛，，｝ 整数集合：｛， ，0， ，｝ 分数集合：｛，，，，｝ 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）（1）请你在数轴上表示下列各数：    （2）将上列各数按照从小到大的顺序用不等号“”连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】（1）先化简绝对值，化简多重符号和计算有理数的乘方，再在数轴上表示出各数即可； （2）根据（1）所求，结合数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】解：（1）， 数轴表示如下：    （2）由数轴可知，． 【考点评析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘方计算，化简绝对值和多重符号，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【思路点拨】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【规范解答】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【考点评析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 12．（2022七年级·全国·专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大值是多少？ 答：乘积最大值为　　． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值为　　． (3)从中取出2张卡片，用学过的运算方法，使结果最大，如何抽取？写出运算式子．写出完整算式及运算过程． 【答案】(1)15 (2)﹣ (3)选取﹣5和+4；（﹣5）4＝54＝625 【思路点拨】（ 1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量打且同号的相乘即可得答案． （2 ）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值尽量接近且异号的两数相除即可得答案． （ 3）学过的运算方法有加减乘除、乘方运算，使结果最大，可选绝对值较大的数进行偶次方运算即可． 【规范解答】（1）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 可取﹣3和﹣5， ， 故答案为：15． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，可取﹣5和+3， ， 故答案为：﹣； （3）解：选取﹣5和+4 ． 【考点评析】本题考查了有理数的乘除法及乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 13．（21-22七年级·江苏·假期作业）阅读下列解题过程： 计算1+3+32+33+34+…+39+310的值． 解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①， 则3S＝3×(1+3+32+33+…+39+310) 3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310 3S＝3+32+33+34+…+310+311②， ②﹣①得： 3S﹣S＝(3+32+33+34+…+39+310+311)﹣(1+3+32+33+34+…+39+310) 2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝ 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525． 【答案】 【思路点拨】根据题目所给信息的举例，设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，然后再乘5再相减计算可解决问题． 【规范解答】解：设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，① 则5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525， 5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，② ②﹣①得，5S﹣S＝(5+52+53+54+…+524+525+526)﹣(1+5+52+53+54+…+524+525)， 4S＝526﹣1， S＝， 即1+5+52+53+54+…+524+525＝． 【考点评析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确理解阅读材料并掌握求和的方法． 培优题真题汇编练 14．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 【规范解答】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ， ， 小时分， ， 故选：B 15．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知n为正整数，计算的结果是（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，由于n为正整数，可知为偶数，为奇数，利用的奇数次幂为，偶次幂为1，计算解答即可． 【规范解答】解：n为正整数， 为偶数，为奇数， ， 故选：D． 16．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）有理数在数轴的位置如图，则下面关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】由图可判断的正负性，的绝对值的大小，即可解答． 【规范解答】解：由图可知：， ，，， 所以只有②、③成立． 故选：B． 【考点评析】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数． 17．（18-19七年级上·江苏徐州·期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【思路点拨】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可 【规范解答】1011=1×23+0×22+1×21+1=11， 即二进制中的1011相当于十进制中的11. 故答案选C. 【考点评析】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力． 18．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【规范解答】解：， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且，则点Р表示的数是 ． 【答案】或 【思路点拨】根据题意先求出，，设点Р表示的数是x，由得到，解方程即可得到答案，此题考查了绝对值、乘方、绝对值方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或，， ∵， ∴，， 设点Р表示的数是x， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 即点Р表示的数是或 故答案为：或0 20．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点距离为3的数，y是最大的负整数．则的值为 ． 【答案】4或 【思路点拨】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【规范解答】解：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点距离为3的数，y是最大的负整数， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 故答案为：4或． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 21．（20-21七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下列等式： 第1层1+2＝3 第2层4+5+6＝7+8 第3层9+10+11+12＝13+14+15 第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24 … 在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第 层． 【答案】44． 【思路点拨】根据题目中每层最大数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题． 【规范解答】解：由题意可得， 第1层最大数是22-1， 第2层最大数是32-1， 第3层最大数是42-1， 第4层最大数是52-1， …… ∵442-1＜2020＜452-1， ∴2020在第44层， 故答案为：44． 【考点评析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的层数． 22．（19-20七年级上·河南郑州·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出64根细面条.    【答案】6. 【思路点拨】根据有理数的乘方的定义解答． 【规范解答】解：∵26=64， ∴捏合到第6次后可拉出64根细面条， 故答案为6． 【考点评析】此题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键． 23．（17-18七年级上·江苏·期中）已知：，则 . 【答案】-3 【思路点拨】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 24．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 25．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①；②； ③若，则______；④若，则______； (2)【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有______个，它们互为______； 平方等于一个正数的数有______个，它们互为______； (3)【知识运用】运用上述结论解答：已知，求的值． 【答案】(1)； (2)两，相反数；两，相反数 (3) 【思路点拨】此题考查了有理数的乘方，绝对值“有理数的绝对值都是非负数”，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用绝对值以及平方根的定义计算即可得到结果； （2）根据运算结果归纳即可； （3）利用绝对值以及平方根的定义求出x与y的值，即可确定出的值． 【规范解答】（1）若，则；若，则； （2）根据上述知识，能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 故答案为：两，相反数；两，相反数； （3）因为，所以，因此或； 因为，所以，因此或； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以的值为． 26．（21-22七年级上·四川巴中·期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4． （1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______． （2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________． （3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)． （4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1） 【答案】（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4） 【思路点拨】（1）根据定义写出各“劳格数”的值； （2）由（1）的结论直接得出结果； （3）根据定义归纳出一般性的结果； （4）根据（3）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1） L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6 故答案为： （2） L2（4）+L2(16)=L2(64) 故答案为：L2（4）+L2(16)=L2(64) （3）设 则 即La(M)+La(N)= La(M N) 故答案为： （4） La（3）=0.5 【考点评析】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键． 27．（20-21七年级上·全国·课后作业）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：   （1）二进制中的数等于十进制的数多少？ （2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？ 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算． 【规范解答】解：（1）． 答：二进制中的数等于十进制的数是． （2）． 答：八进制中的数等于十进制的数是． 【考点评析】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$