2.5 有理数的乘法和除法（知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.5 有理数的乘法和除法 （知识精讲+易错点拨+八考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 3 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 4 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 5 考点讲练4：倒数的概念 6 考点讲练5：有理数乘法运算律 7 考点讲练6：有理数的除法运算 8 考点讲练7：有理数除法的应用 9 考点讲练8：有理数乘除混合运算 11 中等题真题汇编练 12 培优题真题汇编练 15 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 推广法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。如果有一个因数为0，那么积就等于0。 2. 有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a × b) × c = a × (b × c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a × (b + c) = a × b + a × c。 知识点02：有理数的除法 1. 倒数的概念 定义：乘积是1的两个数互为倒数。例如，5的倒数是1/5，1/3的倒数是3。 性质：互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数），且倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。 2. 有理数除法法则 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × (1/b)（b ≠ 0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点03：有理数的乘除混合运算 运算顺序：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果。 简化运算：在运算过程中，可以运用乘法运算律来简化计算，如交换律、结合律和分配律等。 高频易错知识点拨 有理数的乘法易错点 易错知识点01：符号判断错误 易错描述：学生在进行有理数乘法运算时，容易混淆积的符号。 正确做法：应明确“两数相乘，同号得正，异号得负”，并准确判断各个因数的符号，然后将其绝对值相乘。 易错知识点02：运算顺序错误 易错描述：在含有多个有理数相乘的表达式中，学生可能不遵循从左到右的运算顺序，或者错误地先计算了某些部分。 正确做法：严格按照从左到右的顺序进行乘法运算，并注意使用括号改变运算顺序时，要确保括号内的运算先进行。 易错知识点03：0的乘法特性遗忘 易错描述：学生可能忘记“任何数与0相乘都得0”这一基本性质。 正确做法：在乘法运算中，一旦发现因数中有0，应立即得出积为0的结论，无需再进行其他计算。 易错知识点04：负因数处理不当 易错描述：在处理包含负因数的乘法表达式时，学生可能忘记给负因数加括号，或者错误地处理了负因数的符号。 正确做法：当负因数在表达式中不是第一个时，应使用括号将其括起来，以明确其运算顺序和符号。 有理数的除法易错点 易错知识点01：除以0的错误 易错描述：学生可能忘记“除数不能为0”的基本规则，尝试进行除以0的运算。 正确做法：在除法运算中，应首先检查除数是否为0，如果为0，则运算无法进行。 易错知识点02：除法转化为乘法的错误 易错描述：在将除法转化为乘法时，学生可能错误地求出了除数的倒数，或者没有正确地应用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的规则。 正确做法：准确求出除数的倒数，并将其与被除数相乘，得到原除法的结果。 易错知识点03：运算顺序错误 易错描述：在包含除法和其他运算（如加、减、乘）的混合表达式中，学生可能不遵循正确的运算顺序（先乘除后加减）。 正确做法：严格按照运算顺序进行计算，先处理乘除运算，再处理加减运算。如果表达式中有括号，则先计算括号内的运算。 易错知识点04：忽略符号和绝对值 易错描述：在进行有理数除法运算时，学生可能忽略了数的符号和绝对值，导致计算结果错误。 正确做法：在进行除法运算前，先确定被除数和除数的符号，并求出它们的绝对值。然后按照“同号得正，异号得负”的规则确定结果的符号，并将绝对值相除得到结果的绝对值。 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为 . 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1) (2) (2) (4) 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负： ，，，， (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？ (3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队进行特技表演，飞机高度的变化：上升记为正，下降记为负，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下：，，， (1)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (2)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？ (3)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）七袋白糖以每袋40千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：，，，，，，．这几袋白糖共超过或不足标准重量多少千克？总重量是多少千克？ 考点讲练4：倒数的概念 【精讲题】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【举一反三练1】（2024·山东德州·二模）的倒数是（     ） A． B．2024 C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 考点讲练5：有理数乘法运算律 【精讲题】（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【举一反三练1】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【举一反三练2】（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【举一反三练3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练6：有理数的除法运算 【精讲题】（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列结论正确的有（   ） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定． ③数轴上的点都表示有理数．    ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三练3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）． 考点讲练7：有理数除法的应用 【精讲题】（23-24七年级上·广西北海·期末）李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的黄龙大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运这十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在距离第一批乘客出发地的东面还是西面？相距多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【举一反三练3】（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 考点讲练8：有理数乘除混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算 (1) (2)； 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1) ; (2)； (3)； (4)． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (2) (4) 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）． A． B． C． D． 2．（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）数轴上的三点 所对应的数分别为为原点.若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知a，b，c三个有理数满足，，，则一定是(    ) A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 7．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 9．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 10．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 11．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续7次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)经过这7次进库、出库后，仓库管理员结算时发现仓库还存有219台冰箱．那么在这7次进库、出库前，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的㩔运搬运费均为10元，则这7次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 12．（17-18七年级上·江苏南通·期中）为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，某自行车厂决定生产一批共享单车投入市场．该厂原计划一周生产辆共享单车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正、减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产__辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖元；少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 培优题真题汇编练 13．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 15．（20-21七年级上·河南许昌·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（　　）    A．﹣1 B．3 C．6 D．8 16．（18-19七年级上·全国·课后作业）下列等式或不等式中：①；②；③；④，表示a、b异号的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为 ． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ． 19．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，则 0．    20．（18-19七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示－2的点重合…），则数轴上表示－2018的点与圆周上表示数字 的点重合． 21．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算． (1) (2) 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则__________0； (2)当时，若，则c__________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，则__________； (4)当a与b都是整数，且，求的值.（写出分类讨论的过程） 23．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）出租车司机小王某天下午营运的路线全是在东西走向的大道上，小王从点出发，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：，，，，，，，单位：千米． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离出发点多少千米？在点的哪个方向？ (2)若汽车耗油量为升千米，小王送完最后一个乘客后回到出发点，共耗油多少升？用含的代数式表示 (3)出租车油箱内原有升油，请问：当耗油量时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？如不需要，说明理由． 24．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，那么表示3的点与表示 的点重合，此时若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，那么A，B两点表示的数分别是 ， ． 操作二： （2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，那么a的值是 ； 操作三： （3） A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，A，B两点也重合，若B点表示的数的绝对值是2，则a的值是 ； 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示2和两点之间的距离是 　 　； (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离为 　 　，如果，那么x的值为 　 　； (3)探索规律： ①当有最 　 　（填“大”或“小”）值是 　 　； ②当有最 　 　（填“大”或“小”）值是 　 　； (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着7个工作台A、B、C、D、E、F、G，一只配件箱应该放在工作台 　 　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　 　米． (5)知识迁移 已知，求的最大值和最小值． 26．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c． （1）当n＝1时， ①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能 ． A．在点A左侧或在A，B两点之间  B．在点C右侧或在A，B两点之间 C．在点A左侧或在B，C两点之间  D．在点C右侧或在B，C两点之间 ②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值； （2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、c、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请用含n的代数式表示a． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.5 有理数的乘法和除法 （知识精讲+易错点拨+八考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 3 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 5 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 8 考点讲练4：倒数的概念 12 考点讲练5：有理数乘法运算律 13 考点讲练6：有理数的除法运算 16 考点讲练7：有理数除法的应用 18 考点讲练8：有理数乘除混合运算 21 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 33 新知精讲梳理 知识点01：有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 推广法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。如果有一个因数为0，那么积就等于0。 2. 有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a × b = b × a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a × b) × c = a × (b × c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a × (b + c) = a × b + a × c。 知识点02：有理数的除法 1. 倒数的概念 定义：乘积是1的两个数互为倒数。例如，5的倒数是1/5，1/3的倒数是3。 性质：互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数），且倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。 2. 有理数除法法则 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × (1/b)（b ≠ 0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点03：有理数的乘除混合运算 运算顺序：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果。 简化运算：在运算过程中，可以运用乘法运算律来简化计算，如交换律、结合律和分配律等。 高频易错知识点拨 有理数的乘法易错点 易错知识点01：符号判断错误 易错描述：学生在进行有理数乘法运算时，容易混淆积的符号。 正确做法：应明确“两数相乘，同号得正，异号得负”，并准确判断各个因数的符号，然后将其绝对值相乘。 易错知识点02：运算顺序错误 易错描述：在含有多个有理数相乘的表达式中，学生可能不遵循从左到右的运算顺序，或者错误地先计算了某些部分。 正确做法：严格按照从左到右的顺序进行乘法运算，并注意使用括号改变运算顺序时，要确保括号内的运算先进行。 易错知识点03：0的乘法特性遗忘 易错描述：学生可能忘记“任何数与0相乘都得0”这一基本性质。 正确做法：在乘法运算中，一旦发现因数中有0，应立即得出积为0的结论，无需再进行其他计算。 易错知识点04：负因数处理不当 易错描述：在处理包含负因数的乘法表达式时，学生可能忘记给负因数加括号，或者错误地处理了负因数的符号。 正确做法：当负因数在表达式中不是第一个时，应使用括号将其括起来，以明确其运算顺序和符号。 有理数的除法易错点 易错知识点01：除以0的错误 易错描述：学生可能忘记“除数不能为0”的基本规则，尝试进行除以0的运算。 正确做法：在除法运算中，应首先检查除数是否为0，如果为0，则运算无法进行。 易错知识点02：除法转化为乘法的错误 易错描述：在将除法转化为乘法时，学生可能错误地求出了除数的倒数，或者没有正确地应用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的规则。 正确做法：准确求出除数的倒数，并将其与被除数相乘，得到原除法的结果。 易错知识点03：运算顺序错误 易错描述：在包含除法和其他运算（如加、减、乘）的混合表达式中，学生可能不遵循正确的运算顺序（先乘除后加减）。 正确做法：严格按照运算顺序进行计算，先处理乘除运算，再处理加减运算。如果表达式中有括号，则先计算括号内的运算。 易错知识点04：忽略符号和绝对值 易错描述：在进行有理数除法运算时，学生可能忽略了数的符号和绝对值，导致计算结果错误。 正确做法：在进行除法运算前，先确定被除数和除数的符号，并求出它们的绝对值。然后按照“同号得正，异号得负”的规则确定结果的符号，并将绝对值相除得到结果的绝对值。 考点讲练1：两个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了数轴、绝对值，有理数的加减运算．解题的关键是由数轴判断出，且． 【规范解答】解：由数轴可知：，且， A、，此选项正确，故不符合题意； B、，此选项正确，故不符合题意； C、，此选项正确，故不符合题意； D、，此选项错误，故符合题意， 故选：D． 【举一反三练1】（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【思路点拨】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【规范解答】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【规范解答】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的最小值为：， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算；先算括号内的减法，再算乘法即可． 【规范解答】解：原式 ． 考点讲练2：多个有理数的乘法运算 【精讲题】（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【规范解答】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了数轴，有理数的混合运算；根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案． 【规范解答】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵，， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数加减混合运算，有理数乘法运算以及惩罚运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）利用乘法运算律计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先去括号和绝对值符号，再根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 考点讲练3：有理数乘法的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【思路点拨】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负： ，，，， (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？ (3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度． 【答案】(1)最终这架飞机比起飞点高了千米 (2)这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元 (3)这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或． 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，有理数的运算的应用； （1）将已知数据相加，即可求解； （2）根据飞机平均上升和下降的油耗求得总耗油，然后乘以燃油单价，即可求解； （3）根据题意，分4种情况讨论，根据加减法进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： 答：最终这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： （升） （元） 答：这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元 （3） 答：这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队进行特技表演，飞机高度的变化：上升记为正，下降记为负，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下：，，， (1)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (2)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？ (3)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)元 (3)飞机的第4个动作是下降千米． 【思路点拨】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数乘法的实际应用； （1）求出四次高度变化的四个数值的代数和即可得出结论； （2）分别计算表格中四个数值的绝对值的和，再乘以2升求出燃油量，再乘以油的单价即可得出结论； （3）计算飞机的前三次的高度的代数和与飞机的高度作比较即可得出结论． 【规范解答】（1）解： ， 答：飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是； （2）解： ， 元， 答：飞机在这4个动作表演过程中，共消耗的燃油需要元． （3）解；飞机完成3个动作后的高度为： ， 飞机的高度是1千米， 要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降， （千米）， 飞机的第4个动作是下降千米． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）七袋白糖以每袋40千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：，，，，，，．这几袋白糖共超过或不足标准重量多少千克？总重量是多少千克？ 【答案】这几袋白糖共不足标准重量0.5千克，总重量是279.5千克 【思路点拨】 本题考查有理数的加减混合运算应用，根据题意列式计算是解题关键．将所有有理数相加即可得到超标的千克数，由七袋白糖的总质量加上超标的千克数即为总质量． 【规范解答】解： ， ， 答：这几袋白糖共不足标准重量0.5千克，总重量是279.5千克． 考点讲练4：倒数的概念 【精讲题】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【思路点拨】主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据相关的定义进行解答即可． 【规范解答】解：的相反数是，的绝对值是，的倒数是． 故答案为：；；． 【举一反三练1】（2024·山东德州·二模）的倒数是（     ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查绝对值与倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据倒数的定义以及绝对值的性质进行解题即可． 【规范解答】解：∵， ∴的倒数为． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【规范解答】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数． 【规范解答】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 考点讲练5：有理数乘法运算律 【精讲题】（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【思路点拨】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【规范解答】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【规范解答】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 【举一反三练2】（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【规范解答】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【举一反三练3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)36 【思路点拨】本题考查有理数的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）利用加减法则，进行计算即可； （2）先去绝对值，再利用加减法则，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 考点讲练6：有理数的除法运算 【精讲题】（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的除法运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行运算，即可作答． 【规范解答】解： ， 故选：B． 【举一反三练1】．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列结论正确的有（   ） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定． ③数轴上的点都表示有理数．    ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数乘除计算，有理数与数轴之间的关系，熟知有理数的四则运算法则以及有理数与数轴的关系是解题的关键． 【规范解答】解：①两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，例如两个负数相加，和小于每一个加数，原结论错误． ②几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，原结论错误． ③数轴上的点都不一定表示有理数，原结论错误．    ④两个正数相加，和为正数，原结论正确． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数或都是负数，原结论错误． 故选：B． 【举一反三练3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴，实数的比较大小，有理数的加法，减法，除法． 根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的加法，除法法则判断即可； 【规范解答】观察数轴可知，，， ，， ∴． 故答案为：． 考点讲练7：有理数除法的应用 【精讲题】（23-24七年级上·广西北海·期末）李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】(1)小轿车这七天平均每天行驶； (2)李老师家一个月的油费是693元． 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）把所给的行程记录相加，然后除以7，再加上50即可得到答案； （2）先求出一个月的总路程，再根据每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元列式计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 答：小轿车这七天平均每天行驶； （2）解： （元）， 答：李老师家一个月的油费是693元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 【答案】(1)，20 (2)10或30 (3)60或30 【思路点拨】（1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距10个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可； （3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，20； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距10个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：10或30； （3）①当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这10秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； ②当当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这20秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； 综上：电子鼠运动的路程为60或30． 【考点评析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，有理数乘除的实际应用．熟练掌握绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的黄龙大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运这十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在距离第一批乘客出发地的东面还是西面？相距多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)出发地的东面的4千米处 (2)56千米小时 【思路点拨】（1）计算沈师傅行驶路程的代数和即可得解； （2）计算出每段行驶路程的绝对值的和后，再除以即为沈师傅运载十批客人共耗油量． 【规范解答】（1）解：根据题意得： 千米， 所以沈师傅距离第一批乘客出发地的东面的4千米处； （2）解：根据题意得： 千米， 千米/小时， 答：开车的平均速度是56千米小时． 【考点评析】本题考查了正负数的意义、有理数的加法和除法的实际应用，注意审清题意在不同情况下用不同的计算方法． 【举一反三练3】（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【思路点拨】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【规范解答】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 考点讲练8：有理数乘除混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【思路点拨】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【规范解答】解：∵，原式计算错误； ，原式计算错误； ，原式计算正确； ，原式计算错误． ∴算其中正确的个数是1． 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先把减法转化为加法，然后运用加法法则解题即可； （2）先把除法转化为乘法，然后约分解题即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． （2）先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． （3）先进行乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先把除法化为乘法，再运算乘法，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）先结合再计算加减即可； （2）先确定符号，再将除法转化为乘法，最后约分即可； （3）先结合再计算加减即可； （4）先根据乘法分配律展开，再计算乘法，然后计算加减即可． 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是有理数的除法的应用，由题意可得第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，从而可得答案． 【规范解答】解：由题意可得：第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积， ∴水的体积占瓶子容积的， 答：瓶中水的体积占瓶子容积的． 故选：B． 2．（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可． 【规范解答】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加， 挂上物体时长， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）数轴上的三点 所对应的数分别为为原点.若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查数轴．根据数轴表示数的方法，数轴上两点距离的计算方法得到即可． 【规范解答】解：，，， ，，， ，，， ，， ， 故选：D． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知a，b，c三个有理数满足，，，则一定是(    ) A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 【答案】A 【思路点拨】此题考查了有理数的乘法，有理数的加法法则，根据题意得出，，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即一定是负数， 故选：A． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算的应用，根据题意、正确列出算式是正确解答的前提． 根据题意、正确列出算式，然后再计算即可． 【规范解答】解：由题意可知：当时，出租车费约为． 故答案为：． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据为正数，得出：中有一个负数，进而即可求解． 【规范解答】解∵为正数， ∴中有一个负数，一个正数， 设，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【规范解答】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合，解答本题的关键在于熟练掌握有理数混合运算法则，按照运算程序求解即可． 【规范解答】解：当时， ， ， 则， ， 输出 故答案为：． 9．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【思路点拨】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是 (2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是 (3) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算； （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【规范解答】（1）， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是； （3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 11．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续7次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)经过这7次进库、出库后，仓库管理员结算时发现仓库还存有219台冰箱．那么在这7次进库、出库前，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的㩔运搬运费均为10元，则这7次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 【答案】(1)仓库存有冰箱238台； (2)搬运费共需1550元． 【思路点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减乘法的实际应用． （1）由结存的冰箱数减去记录的数据的代数和即可得到答案； （2）先求解记录数据的绝对值之和，再乘以10即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 所以（台）， 答：仓库存有冰箱238台； （2）解：（元）， 答：搬运费共需1550元． 12．（17-18七年级上·江苏南通·期中）为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，某自行车厂决定生产一批共享单车投入市场．该厂原计划一周生产辆共享单车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正、减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产__辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖元；少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)工人这一周的工资总额是元 【思路点拨】（1）本题考查了正数和负数的应用，解答本题的关键在于需要明确“+”是比计划多，“-”是比计划少，根据表格信息将前三天产量相加即可解答本题． （2）本题考查了有理数以及有理数的加减混合运算，解答本题的关键在于从表格中获得产量最多和最少的信息，再进行相减即可求解． （3）本题考查了有理数以及有理数的加、减、乘混合运算，工资总额包括生产量乘以60元，再加上超额完成的量乘以15元，两部分相加即可计算工资总额． 【规范解答】（1）解：根据表格前三天产量为： （辆） 故答案为：． （2）一周的产量分别为：，，，，，，， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产：（辆） 故答案为． （3）超额完成量： （辆） 总工资：（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 培优题真题汇编练 13．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴、有理数的加减法、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义和有理数乘法运算法则是解题关键． 先根据数轴的定义可得，且，进一步判断、、、，再根据有理数乘法法则计算，逐项判断即可． 【规范解答】由数轴的定义得：，且， 、、、， A、因为，，所以，故此选项不符合题意； B、因为，，所以，故此选项不符合题意； C、因为，，所以，故此选项不符合题意； D、，，所以，故此选项符合题意； 故选：D． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【规范解答】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 15．（20-21七年级上·河南许昌·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（　　）    A．﹣1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【思路点拨】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【规范解答】第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的， 因为， 所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为， 故选：A． 【考点评析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 16．（18-19七年级上·全国·课后作业）下列等式或不等式中：①；②；③；④，表示a、b异号的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得． 【规范解答】①当时，，但同号； ②，则异号； ③当时，，但同号； ④因为， 所以分以下四种情况： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则只有当异号时，； 综上，表示异号的个数有2个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解题关键． 17．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据相反数、倒数、负整数的定义求出相关数据，再通过计算即可求解． 【规范解答】根据题意得，，， 所以原式， ， ， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了有理数的有关概念及运算，解题的关键是理解有理数的概念及熟练掌握运算法则． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数轴及有理数的运算，能根据题意求出折点所表示的数是解题的关键．先求出点P所表示的数，再求出点B所表示的数，进而可解决问题． 【规范解答】解：由题知， ∵点P与原点O的距离等于点P与点C的距离， 且点C表示的数是， ∴点P表示的数是， 又∵折叠后原点O与点P重合， 且， ∴点B表示的数是， 又∵折叠后点A恰好与点C重合， 且， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 19．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，则 0．    【答案】 【思路点拨】由数轴可确定，再由有理数的乘法法则即可确定积的符号即可． 【规范解答】解：由数轴知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了利用数轴比较大小、有理数的乘法法则等知识点，确定a、b两数的大小关系以及乘法法则是解题的关键． 20．（18-19七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示－2的点重合…），则数轴上表示－2018的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】3 【思路点拨】此题需要寻找规律：每4个数一组，分别与0、3、2、1重合，因此需要计算20184，看是第几组的第几个数. 【规范解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环. ∵20184=504...2， ∴数轴上表示-2018的点是第505个循环组的第2个数3重合. 故答案为：3. 【考点评析】本题考查了实数与数轴，解题的关键在于观察出图形中的规律，即每4个数为一个循环组依次循环. 21．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了利用乘法分配律进行有理数的运算． （1）直接利用乘法分配律进行计算即可求解； （2）先将化为，再利用分配率进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则__________0； (2)当时，若，则c__________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，则__________； (4)当a与b都是整数，且，求的值.（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)的值为 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论:①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【规范解答】（1）解：时，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）对a，b，c的取值情况分类讨论如下： 当a，b，c都是正数时， ； 当a，b，c都是负数时， ； 当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个，所以和为1； 当a，b，c中有两个负数，一个正数时， 中有一个1，两个，所以和为； 的值为或， 故答案为：或； （4）a与b都是整数，且， 分情况讨论： 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 的值为． 23．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）出租车司机小王某天下午营运的路线全是在东西走向的大道上，小王从点出发，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：，，，，，，，单位：千米． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离出发点多少千米？在点的哪个方向？ (2)若汽车耗油量为升千米，小王送完最后一个乘客后回到出发点，共耗油多少升？用含的代数式表示 (3)出租车油箱内原有升油，请问：当耗油量时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？如不需要，说明理由． 【答案】(1)小王在出发点地的西面，距下午出车地点的距离是千米； (2)升； (3)不需要，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，能根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单价乘以总路程，可得答案； （3）把的值代入，计算总耗油量，再比较即可判断． 【规范解答】（1）解：， ∵规定向东为正，向西为负， ∴小王在出发点地的西面，距下午出车地点的距离是千米； （2）解：（升）， ∴共耗油升． （3）解：当时，， ， ∴小王途中不需要加油． 24．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，那么表示3的点与表示 的点重合，此时若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，那么A，B两点表示的数分别是 ， ． 操作二： （2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，那么a的值是 ； 操作三： （3）A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，A，B两点也重合，若B点表示的数的绝对值是2，则a的值是 ； 【答案】（1），，；（2）2或；（3）或0 【思路点拨】本题考查数轴和折叠、平移问题，确定折叠点表示的数是解答的关键． （1）根据折叠性质得到折叠点表示的数为，进而根据数轴上两点间的距离可求解； （2）分点A向左移动和向右移动两种情况，结合相反数的定义求解即可； （3）先得到折叠点表示的数为，分点B表示的数为2和两种情况求解即可． 【规范解答】解：（1）∵折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴折叠后与表示3的点重合的数为，； ∵数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，，； （2）当点A向左平移时，有，则； 当点A向右移动时，有，则， 综上，a的值是2或， 故答案为：2或； （3）由题意，折叠点表示的数为， ∵B点表示的数的绝对值是2， ∴当B点表示的数是2时，点A表示的数是； 当B点表示的数是时，点A表示的数是， 综上，a的值是或0， 故答案为：或0 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示2和两点之间的距离是 　 　； (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离为 　 　，如果，那么x的值为 　 　； (3)探索规律： ①当有最 　 　（填“大”或“小”）值是 　 　； ②当有最 　 　（填“大”或“小”）值是 　 　； (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着7个工作台A、B、C、D、E、F、G，一只配件箱应该放在工作台 　 　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　 　米． (5)知识迁移 已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)3，4 (2)，0或 (3)①小，1；②小，2 (4)D，24 (5)最大值15，最小值 【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式求解； （2）根据两点间的距离公式构建方程，根据绝对值的性质转化为方程求解； （3）根据绝对值的意义，结合两点间距离公式确定参数取何值时，表达式得最小值进而确定最小值； （4）设配件台的位置为P，当P位于D处时，则P在C、E之间， B、F之间，A、G之间，此时取最小值为，取最小值为，取最小值为，从而得解； （5）由题意可得，，于是，所以时，取最小值；时，取最大值15． 【规范解答】（1）解：，； （2）解：； 由,得， ∴或． ∴或； （3）解：①当时，有最 小值， 最小值为； ②当时，有最 小值， 最小值为； （4）解：设配件台的位置为P，当P位于D处时，则P在C、E之间， B、F之间，A、G之间，此时取最小值为，取最小值为，取最小值为，从而取最小值； （5）解：∵， 且的最小值为，的最小值为，的最小值为， ∴． ∴． ∴时，为最小值； 时，为最大值． 【考点评析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离，绝对值的化简；由绝对值关系式得出参数的取值范围是解题的关键． 26．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c． （1）当n＝1时， ①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能 ． A．在点A左侧或在A，B两点之间  B．在点C右侧或在A，B两点之间 C．在点A左侧或在B，C两点之间  D．在点C右侧或在B，C两点之间 ②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值； （2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、c、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请用含n的代数式表示a． 【答案】（1）①C；②a的值为或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，． 【思路点拨】（1）①把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案； ②分三种情况逐个计算即可求得答案； （2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表示即可． 【规范解答】解：（1）①把代入即可得出，， 、、三个数的乘积为正数， 从而可得出原点在点左侧或在、两点之间． 故选：C； ②由题意可得：，， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上所述：a的值为或或； （2）依据题意得，，，． 、、、四个数的和与其中的两个数的和相等， ∴这个四个数中有两个数互为相反数， 又、、、这四个数的积为正数， ∴、为负数，、为正数，原点在之间， 或或和， 当时，由于，即，原点在、之间，不合题意舍去； 当时，由于，原点在上，不合题意舍去， 或， 或， 或； 为整数， 当为奇数时，，当为偶数时，． 【考点评析】本题考查了数轴的应用、有理数的乘法，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$