2.3 绝对值与相反数（知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.3 绝对值与相反数 （知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：相反数的定义 4 考点讲练2：判断数或式子是否互为相反数 4 考点讲练3：多重符号的化简 5 考点讲练4：相反数的应用 5 考点讲练5：绝对值的定义 7 考点讲练6：求一个数的绝对值 8 考点讲练7：绝对值的化简 8 考点讲练8：绝对值得非负性 9 考点讲练9：绝对值得其他应用 10 考点讲练10：有理数的大小比较 12 考点讲练11：有理数大小比较的实际应用 12 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 15 新知精讲梳理 知识点01：绝对值的概念与性质 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的代数定义：如果a是非负数，那么|a|=a；如果a是负数，那么|a|=-a。 性质： 绝对值具有非负性，即|a|≥0。 绝对值等于0的数只有0，即|a|=0 ⇔ a=0。 绝对值相等的两数相等或互为相反数，即|a|=|b| ⇔ a=b 或 a=-b。 绝对值不等式的性质：若|a|>|b|，则a²>b²；若|a|<|b|，则a²<b²。 知识点02：相反数的概念与性质 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 相反数的代数定义：数a的相反数是-a，其中a是任意有理数（可以是正数、负数或0）。 性质： 相反数是成对出现的，且每一对相反数在数轴上关于原点对称。 任何数都有相反数，且只有一个（0的相反数是它本身）。 互为相反数的两数和为0，即a,b互为相反数，则a+b=0。反之，和为0的两数也互为相反数。 知识点03：绝对值与相反数的应用 在数轴上的应用： 利用数轴可以直观地表示一个数的绝对值（即该点到原点的距离）。 互为相反数的两个点在数轴上关于原点对称。 在运算中的应用： 绝对值的运算规则：|a|+|b|≥|a+b|（即绝对值的三角不等式）。 相反数的运算性质：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 在解决实际问题中的应用： 绝对值常用于表示距离、误差等具有非负性的量。 相反数在解决具有相反意义的量的问题时非常有用，如收入与支出、上升与下降等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：绝对值的非负性理解不透彻 易错表现：学生可能认为绝对值可以是负数，或者对绝对值表示“距离”这一几何意义理解不深。 解析：绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，因此它总是非负的。任何数的绝对值都不可能小于0，且绝对值为0的数只有0本身。 易错知识点02：绝对值运算中的符号处理不当 易错表现：在进行绝对值运算时，学生可能忽视绝对值内部的符号变化，导致运算结果错误。 解析：对于绝对值内部的表达式，首先要确定其正负性，然后根据绝对值的定义进行运算。特别是当绝对值内部包含多个数或表达式时，需要特别注意运算顺序和符号的处理。: 易错知识点03：绝对值与相反数混淆 易错表现：学生可能将绝对值和相反数的概念混淆，错误地认为一个数的绝对值就是它的相反数。 解析：绝对值和相反数是两个不同的概念。绝对值表示一个数到原点的距离，而相反数则表示一个数与另一个数在数轴上关于原点对称。例如，5的绝对值是5，而5的相反数是-5。 易错知识点04：相反数的定义理解不全面 易错表现：学生可能只关注到相反数符号的相反性，而忽视了它们数值的相等性（除了0以外）。 解析：相反数的定义是只有符号不同的两个数。这意味着，除了0以外，任何数都有一个与之对应的相反数，且这两个数的数值是相等的（只是符号不同）。 易错知识点05：相反数与和的关系理解不清 易错表现：学生可能无法准确理解互为相反数的两数之和为0这一性质，或者在应用时出错。 解析：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，因此它们的和必然为0。反之，如果两个数的和为0，那么这两个数也必然互为相反数。 易错知识点05：0的相反数特殊性理解不足 易错表现：学生可能忽视0的相反数仍然是0这一特殊性。 解析：0是唯一的数，其相反数仍然是它本身。这是因为在数轴上，0位于原点处，它到原点的距离是0，所以0的绝对值和相反数都是0。 易错知识点06：在解决实际问题中混淆概念 易错表现：在解决涉及绝对值和相反数的实际问题时，学生可能由于概念混淆而导致解题错误。 解析：在解决这类问题时，首先要明确题目中涉及的是绝对值还是相反数，然后根据相应的定义和性质进行解题。同时，要注意题目中的关键词和条件限制，避免因为理解错误而导致解题错误。 易错知识点07：在混合运算中忽视运算顺序和符号处理 易错表现：在进行包含绝对值和相反数的混合运算时，学生可能由于忽视运算顺序和符号处理而导致结果错误。 解析：在进行这类运算时，首先要明确运算顺序（如先乘除后加减、先算括号内的等），然后根据绝对值和相反数的定义进行运算。特别要注意负号在运算中的传递性和绝对值对运算结果的影响。 考点讲练1：相反数的定义 【精讲题】（22-23七年级上·北京·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．4 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．④ 【举一反三练2】（2024·陕西西安·二模）如图，点A、B在数轴上，若，且A、B两点表示的数互为相反数，则点A表示的数为 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 考点讲练2：判断数或式子是否互为相反数 【精讲题】（14-15七年级上·山东青岛·课后作业）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三练2】（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有 组． 【举一反三练3】（19-20七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 考点讲练3：多重符号的化简 【精讲题】（2024·河北邯郸·二模）若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在下列各数、、0、、2018、中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示，并从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0，，． ​ 考点讲练4：相反数的应用 【精讲题】（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知为有理数，且，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 考点讲练5：绝对值的定义 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一定是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．负数或0 【举一反三练1】（19-20七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【举一反三练2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 考点讲练6：求一个数的绝对值 【精讲题】（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（　　） A． B． C．2024 D． 【举一反三练1】．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”号把下列各数连接起来． ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上分别画出表示下列各点的数：，并将这些数从小到大用 “” 号连接起来． 考点讲练7：绝对值的化简 【精讲题】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______． (2)表示：_________；表示：__________． (3)根据以上结论，若，则=__________． 考点讲练8：绝对值得非负性 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【举一反三练1】（19-20七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 考点讲练9：绝对值得其他应用 【精讲题】（2024·湖北黄石·二模）若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【举一反三练3】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 考点讲练10：有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填“”或“”）． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【举一反三练3】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上画出下列各数表示的点，并用“<”号连接下列各数 考点讲练11：有理数大小比较的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）随着社会的快速发展，手机已经成为生活必需品之一，手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（2024·辽宁·二模）在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（    ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和2 5．（24-25七年级上·江苏·假期作业）在、、、四个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）比较大小：用“＜”､“＞”或“＝”连接： （1） 5；（2）0 0.01；（3） ． 7．（23-24七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）下列各数中：，，0，，，正有理数的个数有 个． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若对一切数都成立，则的取值范围是 ． 9．（22-23六年级上·山东泰安·期中）数轴上表示有理数a，b，c，d的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c，d按从小到大的顺序用“＜”连接起来：______； (2)如果，表示数b的点到原点的距离为6，，c与d距离原点的距离相等，则______，______，______，______． 10．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”符号把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，，，，    11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，0，，，，    （2） 将上列各数用“<”连接起来：______ 培优题真题汇编练 12．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 14．（17-18七年级上·湖北黄石·期中）下列说法正确的是（    ） A．分数都是有理数 B．是负数 C．有理数不是正数就是负数 D．绝对值等于本身的数是正数 15．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 16．（19-20七年级上·广西贵港·期中）有理数在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是（   ）    A． B． C． D． 17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 18．（20-21七年级上·四川甘孜·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号） 19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 20．（20-21七年级上·四川成都·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则 ． 21．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 22．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 23．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.3 绝对值与相反数 （知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：相反数的定义 4 考点讲练2：判断数或式子是否互为相反数 5 考点讲练3：多重符号的化简 7 考点讲练4：相反数的应用 9 考点讲练5：绝对值的定义 11 考点讲练6：求一个数的绝对值 15 考点讲练7：绝对值的化简 16 考点讲练8：绝对值得非负性 19 考点讲练9：绝对值得其他应用 23 考点讲练10：有理数的大小比较 26 考点讲练11：有理数大小比较的实际应用 28 中等题真题汇编练 30 培优题真题汇编练 35 新知精讲梳理 知识点01：绝对值的概念与性质 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的代数定义：如果a是非负数，那么|a|=a；如果a是负数，那么|a|=-a。 性质： 绝对值具有非负性，即|a|≥0。 绝对值等于0的数只有0，即|a|=0 ⇔ a=0。 绝对值相等的两数相等或互为相反数，即|a|=|b| ⇔ a=b 或 a=-b。 绝对值不等式的性质：若|a|>|b|，则a²>b²；若|a|<|b|，则a²<b²。 知识点02：相反数的概念与性质 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 相反数的代数定义：数a的相反数是-a，其中a是任意有理数（可以是正数、负数或0）。 性质： 相反数是成对出现的，且每一对相反数在数轴上关于原点对称。 任何数都有相反数，且只有一个（0的相反数是它本身）。 互为相反数的两数和为0，即a,b互为相反数，则a+b=0。反之，和为0的两数也互为相反数。 知识点03：绝对值与相反数的应用 在数轴上的应用： 利用数轴可以直观地表示一个数的绝对值（即该点到原点的距离）。 互为相反数的两个点在数轴上关于原点对称。 在运算中的应用： 绝对值的运算规则：|a|+|b|≥|a+b|（即绝对值的三角不等式）。 相反数的运算性质：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 在解决实际问题中的应用： 绝对值常用于表示距离、误差等具有非负性的量。 相反数在解决具有相反意义的量的问题时非常有用，如收入与支出、上升与下降等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：绝对值的非负性理解不透彻 易错表现：学生可能认为绝对值可以是负数，或者对绝对值表示“距离”这一几何意义理解不深。 解析：绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，因此它总是非负的。任何数的绝对值都不可能小于0，且绝对值为0的数只有0本身。 易错知识点02：绝对值运算中的符号处理不当 易错表现：在进行绝对值运算时，学生可能忽视绝对值内部的符号变化，导致运算结果错误。 解析：对于绝对值内部的表达式，首先要确定其正负性，然后根据绝对值的定义进行运算。特别是当绝对值内部包含多个数或表达式时，需要特别注意运算顺序和符号的处理。: 易错知识点03：绝对值与相反数混淆 易错表现：学生可能将绝对值和相反数的概念混淆，错误地认为一个数的绝对值就是它的相反数。 解析：绝对值和相反数是两个不同的概念。绝对值表示一个数到原点的距离，而相反数则表示一个数与另一个数在数轴上关于原点对称。例如，5的绝对值是5，而5的相反数是-5。 易错知识点04：相反数的定义理解不全面 易错表现：学生可能只关注到相反数符号的相反性，而忽视了它们数值的相等性（除了0以外）。 解析：相反数的定义是只有符号不同的两个数。这意味着，除了0以外，任何数都有一个与之对应的相反数，且这两个数的数值是相等的（只是符号不同）。 易错知识点05：相反数与和的关系理解不清 易错表现：学生可能无法准确理解互为相反数的两数之和为0这一性质，或者在应用时出错。 解析：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，因此它们的和必然为0。反之，如果两个数的和为0，那么这两个数也必然互为相反数。 易错知识点05：0的相反数特殊性理解不足 易错表现：学生可能忽视0的相反数仍然是0这一特殊性。 解析：0是唯一的数，其相反数仍然是它本身。这是因为在数轴上，0位于原点处，它到原点的距离是0，所以0的绝对值和相反数都是0。 易错知识点06：在解决实际问题中混淆概念 易错表现：在解决涉及绝对值和相反数的实际问题时，学生可能由于概念混淆而导致解题错误。 解析：在解决这类问题时，首先要明确题目中涉及的是绝对值还是相反数，然后根据相应的定义和性质进行解题。同时，要注意题目中的关键词和条件限制，避免因为理解错误而导致解题错误。 易错知识点07：在混合运算中忽视运算顺序和符号处理 易错表现：在进行包含绝对值和相反数的混合运算时，学生可能由于忽视运算顺序和符号处理而导致结果错误。 解析：在进行这类运算时，首先要明确运算顺序（如先乘除后加减、先算括号内的等），然后根据绝对值和相反数的定义进行运算。特别要注意负号在运算中的传递性和绝对值对运算结果的影响。 考点讲练1：相反数的定义 【精讲题】（22-23七年级上·北京·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【思路点拨】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可． 【规范解答】解：由相反数的定义可知，的相反数是， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的分类与相反数，掌握0的特殊性是解题关键．根据有理数分为正数、0、负数可以判断①②说法；根据当时，，可以判断③说法；根据相反数的定义，可以判断④说法． 【规范解答】解：①可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误； ②可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误； ③当时，，a与都不是负数，原说法错误； ④a与互为相反数，原说法正确， 则正确的序号是④， 故选：D． 【举一反三练2】（2024·陕西西安·二模）如图，点A、B在数轴上，若，且A、B两点表示的数互为相反数，则点A表示的数为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，相反数的概念， 根据题意得到A，B两点到原点的距离相等，然后求出点A到原点的距离为，然后根据点A在原点的左侧求解即可． 【规范解答】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵点A与点B之间的距离为8个单位长度， ∴点A到原点的距离为， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 【答案】(1)，； (2)画图见解析， 【思路点拨】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小； （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）先在数轴上表示各有理数，再利用数轴右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴互为相反数的一组数是，； （2）如图，在数轴上表示各数如下： ∴； 考点讲练2：判断数或式子是否互为相反数 【精讲题】（14-15七年级上·山东青岛·课后作业）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【思路点拨】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，与不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D正确； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相反数，熟练掌握只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、与互为相反数，故本选项符合题意； B、与不互为相反数，故本选项不符合题意； C、与不互为相反数，故本选项不符合题意； D、与不互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：A 【举一反三练2】（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有 组． 【答案】4 【思路点拨】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各小题分析判断即可得解． 【规范解答】解：①＋（＋2）与−（−2），不是互为相反数； ②＋（−2）与−（＋2），不是互为相反数； ③＋（＋2）与＋（−2），是互为相反数； ④＋（＋2）与−（＋2），是互为相反数； ⑤＋（−2）与−（−2），是互为相反数； ⑥−（−2）与−（＋2），是互为相反数． 是互为相反数的有4组． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 【举一反三练3】（19-20七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 【答案】3 【思路点拨】根据相反数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【规范解答】解：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，若、互为相反数，则，故本小题正确； ②，，、互为相反数，故本小题正确； ③的相反数是0，若时，无意义，故本小题错误； ④，，、互为相反数，故本小题正确． 综上所述：正确的结论有①②④，共3个， 故答案为3． 【考点评析】本题考查的是相反数的定义，在解答此题时要注意0的相反数是0． 考点讲练3：多重符号的化简 【精讲题】（2024·河北邯郸·二模）若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查多重符号化简，根据，即可得出结果． 【规范解答】解：； 故选B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在下列各数、、0、、2018、中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，以及正负数的意义，先根据相反数、绝对值的意义化简，再根据正负数的意义解答即可． 【规范解答】解：、2018是正数； 、、是负数； 0既不是正数也不是负数． 故选B． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 5 【思路点拨】本题考查化简多重符号，绝对值的意义，根据多重符号化简和绝对值的意义，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示，并从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0，，． ​ 【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可． 【规范解答】解：，，，， 在数轴上表示各数如下： ． 考点讲练4：相反数的应用 【精讲题】（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【规范解答】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 【举一反三练1】（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知为有理数，且，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据，，，推出，，，，即可得出答案． 【规范解答】解：，，， ，，，， 即． 故选：A． 【考点评析】本题考查了相反数和有理数的大小比较的应用，关键是能根据已知得出，，，，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 【举一反三练2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【思路点拨】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【规范解答】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 考点讲练5：绝对值的定义 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一定是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．负数或0 【答案】D 【思路点拨】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的性质即可求得答案． 【规范解答】解：∵, ∴a是非正数，即负数或0， 故选：D 【举一反三练1】（19-20七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论． 【规范解答】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3， 故选：B 【举一反三练2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 【答案】8 【思路点拨】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力．根据题目中与的几何意义进行求解． 【规范解答】解： ， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和， 当时，数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和最短为：， 的最小值是8． 故答案为：8． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)0或 (3)6或或或 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行分类讨论． （1）根据定义列式计算即可； （2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可； （3）根据中点定义得出，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比数”时，分别列式计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． （3）解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 考点讲练6：求一个数的绝对值 【精讲题】（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（　　） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【规范解答】解：的绝对值是， 故选：C． 【举一反三练1】．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的大小比较，去绝对值等知识，先去绝对值，再化成同分母比较大小即可，掌握有理数大小比较的常见方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∵ ∴ 故答案为： 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”号把下列各数连接起来． ． 【答案】数轴表示见解析，． 【思路点拨】本题考查数轴和有理数比较大小，正确在数轴上表示出各数是解题关键． 先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”连接即可解答． 【规范解答】解： 故在数轴表示如下：    用“<”号将各数连接：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上分别画出表示下列各点的数：，并将这些数从小到大用 “” 号连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【思路点拨】本题考查了有理数大小的比较，数轴、相反数及绝对值的相关知识．先化简、，再把各数表示在数轴上，用“”连接，即可． 【规范解答】解：， 在数轴上分别画出表示各点的数，如下： 将这些数从小到大用 “” 号连接起来为． 考点讲练7：绝对值的化简 【精讲题】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查实数与数轴，解决此题的关键是掌握数轴的特征，再结合加减运算，绝对值的概念判断即可，先根据数轴判断出a、b的正负情况，然后根据有理数的加、减运算法则及绝对值的意义对各选项分析判断求解． 【规范解答】解：根据题意得：， ， A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【规范解答】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ，，， ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______． (2)表示：_________；表示：__________． (3)根据以上结论，若，则=__________． 【答案】(1)15； (2)数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离；数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； (3)． 【思路点拨】本题考查了利用数形结合解决含有绝对值的计算问题，关键是利用数轴确定算式的结果； （1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离．代入数值计算即可求两点间的距离； （2）根据两点间的距离求解即可； （3）比较每个绝对值中数的大小，根据数轴上两点之间的距离化简即可． 【规范解答】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：15； （2）A、B两点之间的距离为：， 表示数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离； 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离；数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； （3）表示到点之间的距离； 表示到点1之间的距离； 表示到点m之间的距离； 表示到点m之间的距离； 表示到点1之间的距离； 故答案为： 考点讲练8：绝对值得非负性 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【答案】D 【思路点拨】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故一定是非正数，故A错误，不符合题意； 两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等， 故B错误，不符合题意； 若，则a与 b互为相反数或， 故C错误，不符合题意； 若，则，则是非正数， 故D正确，符合题意； 故选：D 【举一反三练1】（19-20七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点折叠，点与点重合，②若沿点折叠，点与点重合，③若沿点折叠，点与点重合，分别求得点表示的数即可． 【规范解答】解：∵，且，， ∴，， ∴，； ①若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ②若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ③若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴， 点表示的数为：； 故答案为：或或． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【思路点拨】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【规范解答】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【思路点拨】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【规范解答】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 考点讲练9：绝对值得其他应用 【精讲题】（2024·湖北黄石·二模）若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【思路点拨】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2)第3个，说明见解析 【思路点拨】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【规范解答】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）解：的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【考点评析】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质. 考点讲练10：有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了学生对表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数）的理解，分两种情况讨论的范围：①，②，即可得到答案．解此题的关键是分类讨论思想的应用． 【规范解答】解：①时， ； ②时， ； 故的结果是，． 故答案为：，． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 先求出每个式子的值，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【思路点拨】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 【举一反三练3】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上画出下列各数表示的点，并用“<”号连接下列各数 【答案】数轴见解析，． 【思路点拨】先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【规范解答】解：在数轴上表示各数如图，    用“<”号连接各数得， 【考点评析】本题考查了绝对值、数轴、相反数、有理数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 考点讲练11：有理数大小比较的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）随着社会的快速发展，手机已经成为生活必需品之一，手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查求一个数的绝对值，有理数大小比较，根据负数的绝对值是它的相反数，求出各数的绝对值，再比较大小即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴信号最强的是； 故选A． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【规范解答】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【思路点拨】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【思路点拨】本题考查了绝对值．根据非正数的绝对值等于他的相反数，可得答案． 【规范解答】解：非正数的绝对值等于他的相反数，， ∴一定是非正数， 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【思路点拨】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较． 【规范解答】解：， 最小的数是：． 故选：B． 3．（2024·辽宁·二模）在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（    ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 【答案】D 【思路点拨】根据负数小于0，正数大于0即可得出比较结果．本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：， 熔点最低的晶体为固态氢， 故选：D． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可． 【规范解答】解：A、和不互为相反数，故该选项错误； B、，，和不互为相反数，故该选项错误； C、，，和互为相反数，故该选项正确； D、，和2不互为相反数，故该选项错误； 故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏·假期作业）在、、、四个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，先把分数化成小数，再比较即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：，， ∵， ， ∴在、、、四个数中，最大的数是，最小的数是， 故答案为：，． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）比较大小：用“＜”､“＞”或“＝”连接： （1） 5；（2）0 0.01；（3） ． 【答案】 ＝ 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据有理数的大小比较方法直接比较（1）（2）；（3）先化简，再比较． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3），， ∴． 故答案为：＝． 7．（23-24七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）下列各数中：，，0，，，正有理数的个数有 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了有理数概念．注意0既不是正数也不是负数．根据大于零的有理数是正有理数，可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴在，，0，，中， 正有理数有：，，共3个． 故答案为：3． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若对一切数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查绝对值的意义熟练掌握绝对值的意义将问题转化为求的最大值是解题的关键由表示数轴上点到、的距离的差则求出的最大值即可求的范围 【规范解答】解：表示数轴上点到、的距离的差， ∴当时，的值最大， ∴， ∵对一切实数都成立， ∴， 故答案为: 9．（22-23六年级上·山东泰安·期中）数轴上表示有理数a，b，c，d的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c，d按从小到大的顺序用“＜”连接起来：______； (2)如果，表示数b的点到原点的距离为6，，c与d距离原点的距离相等，则______，______，______，______． 【答案】(1) (2)，6，，2 【思路点拨】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出答案是解题关键． （1）利用数轴上a，b，c，d的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案 【规范解答】（1）由题意得：， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵数b的点到原点的距离为6，， ∴， ∵，， ∴， ∵c与d距离原点的距离相等，， ∴． 故答案为：，6，，2． 10．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”符号把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，，，，    【答案】数轴见详解， 【思路点拨】先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答． 【规范解答】，，，，，， 在数轴上表示为：    即：． 【考点评析】本题主要考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，0，，，，    （2）将上列各数用“<”连接起来：______ 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】（1）先化简绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大解答即可． 【规范解答】解：（1）∵，，， ∴用数轴上的点表示各数如图，    （2）解：由数轴可知． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小．利用数形结合的思想是解题关键． 培优题真题汇编练 12．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【规范解答】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误， 故选． 13．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 14．（17-18七年级上·湖北黄石·期中）下列说法正确的是（    ） A．分数都是有理数 B．是负数 C．有理数不是正数就是负数 D．绝对值等于本身的数是正数 【答案】A 【思路点拨】根据有理数的意义，有理数的分类，绝对值的性质，逐一分析判断可得答案． 此题考查了有理数．熟练掌握有理数的分类方法及所包含的数的特点，是解决问题的关键． 【规范解答】分数都是有理数，故A正确； 当时，则，故B错误； 有理数可分成正数、负数和零，故C错误； 绝对值等于本身的数是非负数，故D错误； 故选：A 15．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 【答案】 7 【思路点拨】根据相反数的意义化简即可解答． 【规范解答】解：，，． 故答案为：7，，． 【考点评析】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 16．（19-20七年级上·广西贵港·期中）有理数在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果. 【规范解答】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且 ∴a-b<0，a+b<0，b-c<0 ∴ = = = 故选C 【考点评析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答. 17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【答案】 3 【思路点拨】根据绝对值的意义求解即可． 【规范解答】解：， ； ， ， ， 故答案为：，3． 【考点评析】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离． 18．（20-21七年级上·四川甘孜·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【思路点拨】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ∴，， ∴， 故①不正确，②正确， ∵，，， ∴， 故③正确， ∵ ∴， ∴， 故④不正确， ∵，， ∴， 故⑤不正确， 故答案为：②③． 【考点评析】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义． 19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【思路点拨】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【规范解答】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 20．（20-21七年级上·四川成都·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则 ． 【答案】4 【思路点拨】根据x的取值范围，分别判断x-1与x+3的正负，然后根据绝对值的性质求解即可. 【规范解答】∵， ∴，， ∴原式 【考点评析】此题主要考查了两点间距离公式的应用，解题的关键是根据绝对值的性质化简. 21．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 22．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；②840 【思路点拨】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值： ． 23．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【思路点拨】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【规范解答】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0 【思路点拨】本题考查数轴上两点之间的距离； （1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可； （2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为； （3）解绝对值方程即可； （4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题． 【规范解答】（1）②；                   ③； 故答案为：7，3． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为， 故答案为：． （3）∵ ∴， 解得： 或；               （4）①， 即， 解得：； 故答案为：4． ②若， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：8或0． ③由题可知，， 又∵， ∴，， 即，， ∴代数式的最大值是，最小值是， 故答案为：7，0． 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)4或8 (3)，6 【思路点拨】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【规范解答】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度有， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度有， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$