精品解析：广东省广州市越秀区2023-2024学年高二下学期学业水平调研测试数学试题

2023学年第二学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上. 用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ） A. 11 B. 16 C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （ ） A. 0.14 B. 0.18 C. 0.32 D. 0.64 4. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 15 C. 60 D. 125 5. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量 取所有值是等可能的，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 以平行六面体顶点为顶点的四面体的个数为（ ） A. 70 B. 64 C. 58 D. 24 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确是（ ）（参考公式：；参考数据：） A. 经验回归直线经过点 B. 经验回归方程 C. 样本点的残差为 D. 预测广告支出10万元时的销售额为80万元 10. 已知 ，则（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中各项系数之和为0 C. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D. 11. 设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列.从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，则（ ） A. 数列是可分数列 B. 数列是可分数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则_____________. 13. 长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 的人近视，而该校有 的学生每天看手机时间超过 ，这些人的近视率为 . 现从每天看手机时间不超过 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为_____________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （1）求 的值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 16. 为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 45 女 10 合计 75 100 （1）完成上面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？ （2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，求取得最大值时的值. 附： （其中 ） 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. （1）求 的通项公式； （2）设求数列 的前 项和 . 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19. 甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . （1）求 与 ； （2）设 ，求证：数列是等比数列； （3）求 的数学期望 （用 表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上. 用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ） A. 11 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再将代入求值. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：D 3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （ ） A. 0.14 B. 0.18 C. 0.32 D. 0.64 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可. 【详解】随机变量X服从正态分布， ， . 故选：C 4. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 15 C. 60 D. 125 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 故选：D. 5. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 6. 已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【详解】因为取所有的值是等可能的， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 7. 以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ） A. 70 B. 64 C. 58 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数. 【详解】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面， 1、8个顶点任选4个，有种， 2、8个顶点任选4个，共面的有12种， ∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个. 故选：C 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定义域，分和两种情况，结合函数单调性得到不合题意，当时，得到，进而求出，令，求导得到单调性，求出最小值. 【详解】定义域为， 当时，可知在上单调递增， 其中，不合题意， 当时，， 令得，令得， 在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 其中， 又恒成立，故，即， 所以， 令， 则， 因为， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：得到在处取得最小值，结合，从而得到，表达出，构造函数，进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确的是（ ）（参考公式：；参考数据：） A. 经验回归直线经过点 B. 经验回归方程为 C. 样本点残差为 D. 预测广告支出10万元时的销售额为80万元 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，计算出样本中心点，得到A错误；B选项，计算出，得到经验回归方程；C选项，代入，求出，得到残差；D选项，代入，计算出，D错误. 【详解】A选项，，， 故经验回归直线经过点，A错误； B选项，， ，故经验回归方程为，B正确； C选项，将代入中得， 故样本点的残差为，C正确； D选项，将代入中得， 预测广告支出10万元时的销售额为87万元，D错误. 故选：BC 10. 已知 ，则（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中各项系数之和为0 C. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到；B选项，令得到展开式各项系数之和；C选项，根据二项式系数的对称性和单调性作出判断；D选项，令，结合得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， ，常数项为1，A正确； B选项，中，令得， ，展开式中各项系数之和为1，B错误； C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性， 二项式系数最大的项为第项，C错误； D选项，中，令得， ， 又，故，D正确. 故选：AD 11. 设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列.从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，则（ ） A. 数列是可分数列 B. 数列是可分数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A和B根据定义进行判断即可；对于C和D，先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为从数列中删去以后，数列可以分成一组，并且依然构成等差数列，所以数列是可分数列，故A正确； 对于B，从数列中删去以后，剩余的项可以平均分成两组和，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为，这两个数列的公差为，所以数列是可分数列，故B正确； 对于C，当时，根据定义，数列是可分数列，也可以是可分数列，也可以是可分数列共三种，所以，故C正确； 对于D，当时，根据定义，数列为可分数列的情况有共种，所以，故D错误. 故选： ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 13. 长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 的人近视，而该校有 的学生每天看手机时间超过 ，这些人的近视率为 . 现从每天看手机时间不超过 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为_____________. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】记事件“抽到每天看手机时间超过的学生”，事件“抽到每天看手机时间不超过的学生”，事件“抽到近视的学生”， 由题意得，，，，， 因为， 所以，解得， 所以从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为. 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得，构造函数和，研究其性质可解. 详解】根据题意，， 因为函数在上单调递增， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即， 所以，即， 设，可知函数在上单调递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （1）求 的值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为10，最小值为-10 【解析】 【分析】（1）根据函数在点 处的切线方程为 ，由求解； （2）令，得，分别求得求解. 【小问1详解】 解：因为函数 ， 所以， 因为函数在点 处的切线方程为 ， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知：， 令，得， 随x的变换变换如下表 x 1 3 10 6 10 由表知：在区间 上的最大值为10，最小值为-10. 16. 为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 45 女 10 合计 75 100 （1）完成上面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？ （2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，求取得最大值时的值. 附： （其中 ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见详解，不能； （2）. 【解析】 【分析】（1）将表中数据代入公式，求得的值，分析即可得答案； （2）找到，利用导数研究最大值. 【小问1详解】 列联表： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 ， 所以依据 的独立性检验，不能认为“体育迷”与性别有关． 【小问2详解】 由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为， 则， 令得， 当时，则函数单调递增， 当时，则函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，极大值为， 即当时，函数取得最大值. 17. 设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. （1）求 的通项公式； （2）设求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到 【小问1详解】 因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. 【小问2详解】 由（1）可得 数列 的前 项和 . 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）对求导，然后对分类讨论即可求出的单调区间； （2）根据的单调性，得出，必有，即，构造，求导，得出在上单调递增，故由得，接下来验证当时的零点情况即可. 【详解】解：（1）的定义域为， 因为， 若，则，则单调递增； 若，则当时，，当时，， 则在单调递减，则单调递增； （2）由（1）可知，要使有两个零点，则， 则，即， 构造，则，故在上单调递增， 又，故当时，，故由得， 当时，由，则 结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得， 构造，，则， 故在单调递减，又，故，即， 则，故， 则，则，又， 结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得， 综上，当有两个零点时，. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题. 19. 甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . （1）求 与 ； （2）设 ，求证：数列是等比数列； （3）求 的数学期望 （用 表示）. 【答案】（1），，， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； （3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到. 【小问1详解】 为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. 【小问2详解】 是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 【点睛】思路点睛：找、与、的关系，结合（1）中、的求解思路，进行次操作后甲口袋中黑球的个数与进行n次操作后甲口袋中黑球的个数的关系，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个、0个黑球3种情况，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个黑球2种情况，利用全概率公式求得、与、的关系，进而由递推公式得到表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$