精品解析：四川省内江市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

内江一中高2025届2024年春期半期测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点 4. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. B. C. D. 5. 某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 7. 若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ） A. B. C. （） D. 11. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 12. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B. 函数在上有唯一零点 C. 存实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 函数最小值为___________． 14. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 15. 已知函数，若存在，使得，则实数取值范围______． 16. 对于两个事件M，N，若，，称为事件M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：南湖、净月、莲花山和天定山，若事件M：净月景点至少有一人：事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为______. 四、解答题（17题10分，其余5题每题12分，共70分） 17. 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同选择方法？ （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 18. 已知函数， （1）讨论函数的极值点情况； （2）若，证明. 19. 已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为， （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 20. （1）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的五四文艺汇演活动.在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)选出了甲、乙两名同学参加一个抽奖活动，箱子里面放有25张奖票，其中5张有奖，甲乙依次不放回的从中摸出一张奖票，求乙中奖的概率. 21. 已知函数的定义域为，其中为自然对数底数 （1）讨论函数单调性； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 22. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点; （2）若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 内江一中高2025届2024年春期半期测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，得， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数图象确定原函数的单调性，逐项分析即可求得结论． 【详解】由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为， 当或时，，当或时，， 故函数在单调递减，在单调递增， 故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A,B,C错误,D正确. 故选：D． 4. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从插空的角度考虑，有8盏灯亮着，4盏灯熄灭，4盏熄灭的灯不相邻插空且不能在两端. 【详解】先将8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位，进而在7个空位中任取4个插入熄灭的4盏灯，则有种方法， 故选：A. 5. 某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”， 则，所以. 故选：D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 故选：D. 7. 若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，函数有且仅有一个正零点，转化为方程有且仅有一个正根，令，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解. 【详解】函数有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，且， 时，，时，，时，，可作出图象如下， 方程有且仅有一个正根，所以. 故选：D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果. 【详解】令，则， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递减，又， 而，所以， 即在区间上单调递增，所以， 得到，即，所以， 令，则，当时，， 即在区间上单调递增， 所以，得到，即，所以， 综上所述，， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D. 【详解】的定义域为，， 由，得或；，得； 所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增， 所以极大值点为1，极小值点为2，即， 所以，故A对，，B错误 ，故C正确； 由在上单调递减可得 ，即，故D正确 故选：ACD 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ） A. B. C. （） D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用排列数公式推理判断C；利用组合数性质计算判断D. 【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：ACD 11. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【解析】 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 12. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B. 函数在上有唯一零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，所以A错误； B选项中，函数，则， 由于， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点， 即函数有且只有1个零点，B正确； C选项中，由， 可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0， 故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误； D选项中，由得 要证，只要证，即证， 由于，故令，则， 故在上单调递增，则，即成立， 故成立，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是适当转换问题为证明在上恒成立，由此即可顺利得解. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 函数的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值. 【详解】由题意可知，， 令，有或（舍）， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 14. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 15. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 对于两个事件M，N，若，，称为事件M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：南湖、净月、莲花山和天定山，若事件M：净月景点至少有一人：事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求事件，，的概率，再按定义求事件，的相关系数. 详解】事件事件M：净月景点至少有一人，则事件：净月景点无人， 则，所以； 事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，所以 ， 所以. 事件：净月景点至少有一人，莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决组合综合题目，要先分类，再分布.在求事件所包含的基本事件个数时，按净月景点的人数为1，2，3分类，再选定莲花山和天定山中一个景点无人，则另一个景点必须有人，按人数分类，最后讨论剩下的人员的安排. 四、解答题（17题10分，其余5题每题12分，共70分） 17 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】（1）120 （2）360 【解析】 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【小问1详解】 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. 【小问2详解】 从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 18. 已知函数， （1）讨论函数的极值点情况； （2）若，证明. 【答案】（1）时，无极值点；时，极小值点为，无极大值点 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分、讨论，利用导数可得答案； （2）令，利用导数求出最小值可得答案， 【小问1详解】 ， 当时，，单调递增，无极值点； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极小值，无极大值， 即极小值点为，无极大值点. 综上所述，时，无极值点； 时，极小值点为，无极大值点； 【小问2详解】 若，令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 即. 19. 已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为， （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出展开式中第二项的系数与第三项的系数，根据已知条件可得出关于的方程，解出正整数的值，然后利用二项式系数的单调性可求得展开式中二项式系数最大的项； （2）写出展开式的通项，进而可求得展开式中所有的有理项. 【小问1详解】 展开式中第项， ， 解得 由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大， 即. 【小问2详解】 由（1）知，， 又，由可得， 故展开式中的有理项为： 20. （1）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的五四文艺汇演活动.在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)选出了甲、乙两名同学参加一个抽奖活动，箱子里面放有25张奖票，其中5张有奖，甲乙依次不放回的从中摸出一张奖票，求乙中奖的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率计算可得答案； （2）分甲中奖乙也中奖或甲未中奖乙中奖两种情况计算可得答案. 【详解】（1）男生甲被选中，再选1人有6种方法， 男生甲女生乙被选中只有1种方法， 在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （2）若甲中奖则乙也中奖的概率为， 若甲未中奖则乙中奖的概率为， 则乙中奖的概率为. 21. 已知函数的定义域为，其中为自然对数底数 （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）根据恒成立问题，结合（1）中的单调性以及定点分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 因为，则， ①当时，则在内恒成立， 可知，则在上单调递增； ②当时，令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上单调递增，，符合要求； 当时，在上单调递减，则，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 22. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点; （2）若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义求解即可； （2）根据题意问题转化为方程有两个不等的实数根，令，利用导数判断单调性极值，可得，且的值随着的值减小而增大，列式求出时的值，得解. 【小问1详解】 设的不动点为，则，解得， 所以函数的不动点为. 【小问2详解】 函数有两个不动点，即方程，即有两个不等的实数根， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，且时，，时，， 作出的大致图象如下： 所以，且的值随着的值减小而增大， 当时，有，两式相减得， 解得，即，代入，解得， 所以此时， 所以满足题意的实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$