第11课 图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第11课 图形的旋转 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解图形的旋转的概念. 2.理解图形的旋转的性质:图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 3.会按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形,应用旋转的性质解决简单几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 图形的旋转的概念 1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心． 2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转的方向（顺时针或逆时针）；③旋转的角度． 知识点02 图形的旋转的性质 ①图形经过旋转所得的图形与原图形全等． ②对应点到旋转中心的距离相等． ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度． 　 ( 能力拓展 )考点01 图形的旋转 【典例1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练1】2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（　　） A． B． C． D． 考点02 图形的旋转的性质 【典例2】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE． （1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长； （2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数． 【即学即练2】如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE． （1）图中哪一个点是旋转中心？ （2）按什么方向旋转；旋转角度是多少？ （3）如果CF＝3cm．求CE的长？ 考点03 有关旋转作图 【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标； （3）求△A2B2C2的面积． 【即学即练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C； （3）点B的对应点B2的坐标为 　 　． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 2．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉 D．地下水位线逐年下降 3．把一个图形绕某一点逆时针旋转60度后，得到的图形与原来相比（　　） A．变大了 B．变小了 C．大小不变 D．无法比较 4．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 6．如图，将△ABP绕点A逆时针旋转50°得到△ACP'，点B，P的对应点分别为点C，P'，当点B，P，C在同一条直线上时，则∠BCP'的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 7．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B′C，连接AA′，若∠B＝70°，则∠1的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED 10．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数　　． 11．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E，且点C在DE上．若AB∥DE，∠B＝40°，求∠CAD的度数． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（1，3），C（4，4）．将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ADE． （1）画出△ADE； （2）求证：点E在直线BC上． 题组B 能力提升练 13．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 15．如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，若AE经过点C，CD与EF相交于H，∠B＝α，∠CHE＝β，则β＝（　　） A． B． C．90°﹣2α D．180°﹣3α 16．在平面直角坐标系中，若将△OAB的点A和B绕点（1，0）逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（5，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（﹣2，5） C．（﹣1，4） D．（﹣2，3） 17．如图，△ABC中，∠C＝25°，点D是BC边上一点，连结AD，将△ACD绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，AD对应边AE与BC交于点G，再将△ABG沿AG翻折，使点B的对应点恰好落在AD边上的点H处，∠AGH＝75°，则∠ABC的度数为 　　. 18．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC平分∠BAB′，③∠BAB′＝∠CAC′，④AC∥C′B′，其中正确结论的序号是 　 　． 题组C 培优拔尖练 19．如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC＝2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为（　　） A．（2，0） B．（0，2） C． D． 20．如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 21．如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为 　 　． 22．如图，平面直角坐标系中，A（3，3）、B（4，0）、C（0，﹣1）． （1）以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C； （2）直接写出A′，B′两点的坐标为A′　 　，B′　 　； （3）P为y轴上一点，当|PA﹣PB|最大时，P的坐标是 　 　． 23．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　　秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 24．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11课 图形的旋转 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解图形的旋转的概念. 2.理解图形的旋转的性质:图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 3.会按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形,应用旋转的性质解决简单几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 图形的旋转的概念 1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心． 2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转的方向（顺时针或逆时针）；③旋转的角度． 知识点02 图形的旋转的性质 ①图形经过旋转所得的图形与原图形全等． ②对应点到旋转中心的距离相等． ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度． 　 ( 能力拓展 )考点01 图形的旋转 【典例1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 【即学即练1】2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据翻折的定义可得答案． 【解析】解：通过一次翻折这个标志得到的图形是： 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，翻折、旋转，掌握翻折的定义是解答本题的关键． 考点02 图形的旋转的性质 【典例2】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE． （1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长； （2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得AB＝BD＝9，BE＝BC＝6，即可得出结果； （2）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝30°，再根据旋转的性质得出∠DBE＝∠ABC＝30°，再根据平行线的性质得出∠DBC＝70°，即可得出结果． 【解析】解：（1）∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE， ∴AB＝BD＝9，BE＝BC＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣6＝3； （2）∵∠C＝110°，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE， ∴∠DBE＝∠ABC＝30°， ∵BD∥AC， ∴∠DBC+∠C＝180°， ∴∠DBC＝70°， ∴∠ABE＝70°﹣30°×2＝10°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟记旋转的性质是解题的关键． 【即学即练2】如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE． （1）图中哪一个点是旋转中心？ （2）按什么方向旋转；旋转角度是多少？ （3）如果CF＝3cm．求CE的长？ 【思路点拨】（1）由于C点的对应点为C，从而可判断旋转中心为C点； （2）利用正方形的性质得到CB＝CD，∠BCD＝90°，所以确定CD旋转到CB的旋转方向与旋转角即可； （3）直接利用旋转的性质求解． 【解析】解：（1）∵△DCF可以经过旋转得到△BCE， ∴点C为旋转中心； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴CB＝CD，∠BCD＝90°， ∴△DCF绕C点逆时针旋转90°得到△BCE； （3）∵△DCF绕C点逆时针旋转90°得到△BCE， ∴CE＝CF＝3cm． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了方向角和正方形的性质． 考点03 有关旋转作图 【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标； （3）求△A2B2C2的面积． 【思路点拨】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，A1（0，﹣3），B1（﹣3，﹣4），C1（﹣2，﹣2）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，A2（﹣3，0），B2（﹣4，3），C2（﹣2，2）． （3）△A2B2C2的面积为＝＝． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【即学即练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C； （3）点B的对应点B2的坐标为 　（﹣1，3）　． 【思路点拨】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C即为所求． （3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据旋转的定义进行判断即可． 【解析】解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义． 2．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉 D．地下水位线逐年下降 【思路点拨】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【解析】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确； B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误； C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误； D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象． 3．把一个图形绕某一点逆时针旋转60度后，得到的图形与原来相比（　　） A．变大了 B．变小了 C．大小不变 D．无法比较 【思路点拨】根据图形旋转的性质，即可求解． 【解析】解：把一个图形绕某一点逆时针旋转60度后，得到的图形与原来相比大小不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 4．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 【思路点拨】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【解析】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 【思路点拨】利用旋转变换的性质判断即可． 【解析】解：由图形知，该图形是旋转对称图形， 则旋转60°，120°，180°都可以与自身重合， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键． 6．如图，将△ABP绕点A逆时针旋转50°得到△ACP'，点B，P的对应点分别为点C，P'，当点B，P，C在同一条直线上时，则∠BCP'的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【思路点拨】由旋转得，AB＝AC，∠ACP'＝∠ABP，∠BAC＝50°，进而可得∠ABP＝∠ACB＝∠ACP'＝65°，根据∠BCP'＝∠ACB+∠ACP'可得答案． 【解析】解：由旋转得，AB＝AC，∠ACP'＝∠ABP，∠BAC＝50°， ∵点B，P，C在同一条直线上， ∴∠ABP＝∠ACB＝65°， ∴∠ACP'＝65°， ∴∠BCP'＝∠ACB+∠ACP'＝130°． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 7．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 【思路点拨】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可． 【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为（﹣5，4）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变换﹣旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小． 8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B′C，连接AA′，若∠B＝70°，则∠1的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【思路点拨】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣70°＝20°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，∠B′A′C＝∠BAC＝20°，CA＝CA′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形得到∠CA′A＝45°，然后计算∠CA′A﹣∠B′A′C即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝70°， ∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°， ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C， ∴∠ACA′＝90°，∠B′A′C＝∠BAC＝20°，CA＝CA′， ∴△CAA′为等腰直角三角形， ∴∠CA′A＝45°， ∴∠1＝∠CA′A﹣∠B′A′C＝45°﹣20°＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△CAA′为等腰直角三角形． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED 【思路点拨】由旋转得，AE＝AD，证明△ACD≌△ABE，可得∠ADC＝∠AEB，进而可得∠DAE＝∠EBD，则∠CAB＝∠EBD． 【解析】解：由旋转得，AE＝AD， ∵∠DAE＝∠CAB， 即∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE． 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB． 设AE与BD相交于点O， 则∠AOD＝∠BOE． ∵∠AOD+∠ADO+∠DAE＝180°，∠BOE+∠AEB+∠EBD＝180°， ∴∠DAE＝∠EBD， ∴∠CAB＝∠EBD． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数　50°　． 【思路点拨】由旋转的性质可得∠D＝∠B＝50°，∠DOB＝80°，由三角形内角和定理可求∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，即可求解． 【解析】解：∵∠A＝2∠D＝100°， ∴∠D＝50°， ∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD， ∴∠D＝∠B＝50°，∠DOB＝80°， ∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°， ∴∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 11．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E，且点C在DE上．若AB∥DE，∠B＝40°，求∠CAD的度数． 【思路点拨】先由平行线的性质得到∠BCD＝∠B＝40°，再由旋转和等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠BCA＝70°，最后根据平行线的性质得到∠ECA＝∠CAB＝70°，即可作答． 【解析】解：∵AB∥DE，∠B＝40°， ∴∠BCD＝∠B＝40°， ∵旋转， ∴∠B＝∠D＝40°，AE＝AC，∠ECA＝∠BCA， ∴∠DAB＝∠D＝40°， ∵∠BCD＝40°，∠ECA+∠BCA+∠BCD＝180°， ∴∠ECA＝∠BCA＝70°， ∵AB∥DE， ∴∠ECA＝∠CAB＝70°， ∵∠DAB＝40°， ∴∠CAD＝30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（1，3），C（4，4）．将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ADE． （1）画出△ADE； （2）求证：点E在直线BC上． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）连接BE，CE，利用勾股定理求出BE，BC，CE的长，可得CE＝BE+BC，则点E，B，C在同一条直线上，即点E在直线BC上． 【解析】（1）解：如图，△ADE即为所求． （2）证明：连接BE，CE， 由勾股定理得，BE＝＝，BC＝＝，CE＝＝， ∴CE＝BE+BC， ∴点E，B，C在同一条直线上， 即点E在直线BC上． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． 题组B 能力提升练 13．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【解析】解：A、最小旋转角度＝＝120°； B、最小旋转角度＝＝90°； C、最小旋转角度＝＝72°； D、最小旋转角度＝＝60°； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【思路点拨】根据题意，判断出Rt△ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且AB1＝AB＝BC＝1，所以△ABB1为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，∠CAC1＝60°，故△ACC1也是等边三角形，CC1的长度即为AC的长度． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，将其进行顺时针旋转，B1落在BC的中点处， ∴Rt△AB1C1是由Rt△ABC旋转得到， ∴AB1＝AB＝1， ∵∠BAC＝90°，点B1恰好落在边BC的中点处， ∴BC＝2AB1＝2， 根据勾股定理：， ∵AB1＝AB＝1，且， ∴△ABB1为等边三角形， ∴旋转角∠BAB1＝60°， ∴∠CAC1＝60°，且， ∴△ACC1也是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度是解题的关键． 15．如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，若AE经过点C，CD与EF相交于H，∠B＝α，∠CHE＝β，则β＝（　　） A． B． C．90°﹣2α D．180°﹣3α 【思路点拨】由将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∠B＝α，∠CHE＝β，得BC＝BA，得∠ACD＝∠ACB＝0.5（180﹣α）＝90﹣0.5α，∠E＝∠B＝α，即可得β＝∠CHE＝∠ACD﹣∠E＝90﹣0.5α﹣α＝90°−α． 【解析】解：由将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∠B＝α，∠CHE＝β， 得BC＝BA， 得∠ACD＝∠ACB＝0.5（180﹣α）＝90﹣0.5α， ∠E＝∠B＝α， 得β＝∠CHE＝∠ACD﹣∠E＝90﹣0.5α﹣α＝90°−α． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质． 16．在平面直角坐标系中，若将△OAB的点A和B绕点（1，0）逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（5，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（﹣2，5） C．（﹣1，4） D．（﹣2，3） 【思路点拨】根据题意得到HE和BE，结合旋转的性质得到△HBE≌△B′HD求得对应的边长，即可求得对应点B′（﹣1，4）． 【解析】解：过点B作BE⊥OH交OH于点E，过点B′作B′D⊥OH交OH于点D，如图， 则∠B′DO＝∠HEB＝90°， 设旋转点为点H（1，0）， ∵B（5，2）， ∴HE＝4，BE＝2， 由旋转得HB＝HB′，∠BHB′＝90°， ∵∠B′HD+∠DB′H＝90°，∠B′HD+∠BHE＝90°， ∴∠DB′H＝∠BHE， ∴△HBE≌△B′HD（AAS）， 则BE＝HD＝2，HE＝B′D＝4， ∴OD＝1，则点B′（﹣1，4）， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 17．如图，△ABC中，∠C＝25°，点D是BC边上一点，连结AD，将△ACD绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，AD对应边AE与BC交于点G，再将△ABG沿AG翻折，使点B的对应点恰好落在AD边上的点H处，∠AGH＝75°，则∠ABC的度数为 　80°　. 【思路点拨】由△ACD绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，将△ABG沿AG翻折，∠C＝25°，∠AGH＝75°，得∠CAD＝∠DAG＝∠BAG，设∠CAD＝∠DAG＝∠BAG＝x°，得∠BAC＝3x°，由∠AGB＝∠AGH＝75°，得∠B＝180﹣75﹣x＝105﹣x，得△ABC中，105﹣x+3x+25＝180，得x＝25，得∠ABC＝105﹣x＝80°． 【解析】解：∵△ACD绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，将△ABG沿AG翻折，∠C＝25°，∠AGH＝75°， ∴∠CAD＝∠DAG＝∠BAG， 设∠CAD＝∠DAG＝∠BAG＝x°， ∴∠BAC＝3x°， ∵∠AGB＝∠AGH＝75°， ∴∠B＝180﹣75﹣x＝105﹣x， ∴△ABC中，105﹣x+3x+25＝180， ∴x＝25， ∴∠ABC＝105﹣x＝80°． 故答案为：80°.. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确进行计算． 18．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC平分∠BAB′，③∠BAB′＝∠CAC′，④AC∥C′B′，其中正确结论的序号是 　①③④　． 【思路点拨】根据旋转的性质即可判断结论①是否正确；可证得∠B′AC＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝30°，据此可判断结论②是否正确；根据∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠BAB′＝∠CAB′+∠CAB，∠CAC′＝∠CAB′+∠C′AB′即可判断结论③是否正确；可证得∠B′AC＝∠AB′C′＝30°，据此可判断结论④是否正确． 【解析】解：①根据旋转的性质可知BC＝B′C′，结论①正确． ②根据旋转的性质可知∠CAC′＝50°，∠C′AB′＝∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝30°． ∴∠B′AC≠∠CAB． ∴AC不平分∠BAB′． 结论②错误． ③根据旋转的性质可知，∠C′AB′＝∠CAB＝20°， 又∠BAB′＝∠CAB′+∠CAB，∠CAC′＝∠CAB′+∠C′AB′， ∴∠BAB′＝∠CAC′． 结论③正确． ④根据旋转的性质可知，∠AB′C′＝∠ABC＝30°， 根据②的证明过程可知∠B′AC＝30°， ∴∠B′AC＝∠AB′C′． ∴AC∥C′B′． 结论④正确． 综上所述，结论①③④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查图形的旋转和平行线的判定，牢记图形旋转的性质和平行线的判定方法是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 19．如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC＝2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为（　　） A．（2，0） B．（0，2） C． D． 【思路点拨】每秒旋转45°，8次一个循环，2025÷8＝253……1，第2025秒时，点A的对应点A2025 落在y轴正半轴上，由此可得结论． 【解析】解：∵矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC＝2，对角线OA在第二象限的角平分线上， ∴OA＝BC＝2， ∵每秒旋转 45°，8次一个循环，2025÷8＝253……1， ∴第 2025 秒时，点A的对应点A2025 落在y轴正半轴上． ∴点A2025 的坐标为（0，2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，规律型的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点A的位置8次一循环是解题的关键． 20．如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【思路点拨】作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图，证得△ABE≌△EGF（AAS），推导出△CQP是等腰直角三角形，四边形CQPD是正方形，点F在正方形CQPD的对角线CP上运动，得出MN是△ADF的中位线，当DF最小时，MN最小，此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点，进而得到DF＝1，MN＝． 【解析】解：作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图， ∵四边形ABCD是正方形，∠ABC＝90°， 又∵∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠GEF＝90°， ∴∠BAE＝∠GEF， 在△ABE和△EGF中， ∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴BE＝FG，AB＝EG＝BC， ∴BE＝CF， ∴CG＝FG， ∴△CGF是等腰直角三角形， ∴△CQP是等腰直角三角形， ∴四边形CQPD是正方形， ∴点F在正方形CQPD的对角线CP上运动， ∵AM＝MD，AN＝NF， ∴MN是△ADF的中位线， ∴MN＝DF， ∴当DF最小时，MN最小， 此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点， ∴DF＝DP＝×＝1， ∴MN＝DF＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，解答本题的关键是确定出点F在正方形CQPD的对角线CP上运动． 21．如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为 　75°或120°　． 【思路点拨】分三种情况讨论：当DE∥AC时，当BE∥AC时，当BD∥AC时，利用平行线的性质以及角的关系即可解答． 【解析】解：当DE∥AC时，如图1： ∵∠A＝∠BFE＝60°，∠D＝∠BEF＝45°， ∴∠ABE＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝180°﹣60°﹣45°＝75°； 当BE∥AC时，如图2： ∴∠CBE＝∠C＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+30°＝120°； 当BD∥AC时，如图3： ∴∠CBD＝∠C＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠DBC+∠DBE＝90°+30°+90°＝210° （不合题意，舍去）， 故答案为：75°或120°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想进行分类求解，同 时不要忘记范围限制． 22．如图，平面直角坐标系中，A（3，3）、B（4，0）、C（0，﹣1）． （1）以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C； （2）直接写出A′，B′两点的坐标为A′　（﹣4，2）　，B′　（（﹣1，3）　； （3）P为y轴上一点，当|PA﹣PB|最大时，P的坐标是 　（0，）　． 【思路点拨】（1）分别作出A，B的对应点A′，B′即可； （2）依据图象直接写出A′，B′的坐标即可； （3）延长A′B′交y轴于P，点P即为所求作，求出直线A′B′的解析式，可得结论． 【解析】解：（1）如图1，△A′B′C即为所求作． （2）观察图象可知， A′的坐标为（﹣4，2），B′的坐标为（﹣1，3）， 故答案为：（﹣4，2）；（﹣1，3）； （3）如图，延长A′B′交y轴于P，点P即为所求作． ∵A′（﹣4，2），B′（﹣1，3）， 设直线A′B′的解析式为y＝kx+b，代入得： ， 解得：， ∴直线A′B′的解析式为y＝x+， 当x＝0时，y＝， ∴P（0，）． 故答案为：（0，）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　9或27　秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　12或30　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC＝120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON＝∠COM+90°解答； （2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解． 【解析】解：（1）∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°； （2）∵∠OMN＝30°， ∴∠N＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AOC＝60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC， 旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， 直线ON恰好平分锐角∠AOC时， 旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为12或30； 故答案为：9或27；12或30． （3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AON＝90°﹣∠AOM， ∠AON＝60°﹣∠NOC， ∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC， ∴∠AOM﹣∠NOC＝30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论． 24．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【思路点拨】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，证明△BCE≌△CBK（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再证明∠ADF+∠AEF＝180°，可得结论； （2）结论：BF+CF＝2CN．首先证明∠BFC＝120°．如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，证明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，再证明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等边三角形，可得结论 【解析】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$