专题09 图形的旋转（3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题09 图形的旋转 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移不能改变图形的方向，轴对称图形的对应点连线要平行或在同一直线上，据此可得甲、乙两个图案不可以通过轴对称和平移得到，而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到，据此可得答案． 【详解】解：∵甲、乙两个图案的方向不一样， ∴甲、乙两个图案不能经过平移得到， ∵甲、乙两个图案的对应点连线有交点， ∴甲、乙两个图案不能经过轴对称得到， 而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“气球升空”路线不固定，不一定是平移，故C选项错误，不符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 知识点2：旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【即时训练】 4．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转知，，由等边对等角得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转知，，， ， 即， 故选D． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据旋转得到，等边对等角求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 6．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 知识点3：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， ，把△绕点按顺时针方向旋转后得到△．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出△并直接写出：的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 【答案】(1)图见解析， (2)垂直 【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键． （1）按照旋转的定义作图即可，由图即可得坐标； （2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论． 【详解】（1）解：如图，点坐标为 故答案为：； （2）解：∵把绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴直线与直线的位置关系为垂直． 故答案为：垂直． 8．（22-23九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形． (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， 对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可； 对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接； 对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）连接、，利用网格特点推导出旋转角； （2）依次找出、的对应点、，连接即可； （3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可． 【详解】（1）解：连接、，，交格点， 网格为正方形， ，， 旋转角， 故答案为：； （2）解：旋转后的如图所示： （3）解：如图，作，点到直线的距离为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 【题型1 旋转现象】 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 2．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 3．如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移运动和旋转运动，掌握平移和旋转的不变性是解题的关键． 根据平移和旋转的不变性即可求解． 【详解】解：补全图中长方形如图： 则图中空白部分图形的形状和大小与B中的图形一模一样，故B中图形经过旋转和平移能落入空白部分， 故选：B． 4．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 5．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 【题型2 旋转中心、旋转角、对应点】 6．如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，根据正方形的性质，旋转的性质，可得C，D以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：把正方形绕点C顺时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕点D逆时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕的中点逆时针旋转180度可使得正方形与正方形重合， ∴一共有3个旋转点， 故选：C． 7．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，这两条垂直平分线交于点P，如图， ∴旋转中心是点P， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 9．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为__________，旋转角度为__________°． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，，的对应点，，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【详解】（1）解：如图，即为所作∶ （2）如图，即为所作∶ （3）如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心P的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 【题型3 根据旋转的性质求解】 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点．若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，则．由题意得，则，进而可得． 【详解】解：由旋转得，，， ． ， ， ， ． 故选：A． 12．如图，在，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使点的对应点恰好落在边上，与交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转得到，，，即可得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据证明得，从而可证明； （2）设由得，求出，得出，由旋转得，可列式，得出即． 【详解】（1）证明：是的中点， ． 四边形是正方形， , ∴， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ． 【题型4 旋转作图】 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，网格中秋图形面积，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△的顶点都在格点上． (1)把△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)试判断与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了作图——平移变换和旋转变换，熟练掌握平移的性质及旋转的性质找出对应点或对应边是解题的关键． （1）根据平移的规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）由平移的性质得：，由旋转的性质得：，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由平移的性质得：， 由旋转的性质得：， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，确定的位置，连线画出； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如上图，即为所求． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标________； (2)画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标_________； (3)将平移得到，使点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是，在坐标系中画出，并写出点的坐标_______． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， (3)画图见解析， 【分析】本题考查了画轴对称图，旋转图形，平移作图，写出坐标系中点的坐标，数形结合是解题的关键； （1）根据轴对称的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标； （2）根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标； （3）根据平移的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， 故答案为：． （2）解：如图所示即为所求， 故答案为：． （3）解：如图所示即为所求， 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (2)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和原点对称，熟知点的坐标旋转规律和关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作．点的坐标为， （2）解：如图，即为所作．点的坐标为． 【题型5 旋转图案相关问题】 21．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 22．如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）． 【答案】见解析 【分析】直接利用旋转图形是全等图形的性质来构造图形． 【详解】解：如图所示： ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形图形的性质，找出全等图形的对称中心是解题关键． 23．分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【答案】见解析 【分析】从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转，据此即可解答． 【详解】解：按规律在图③中画出其中的阴影部分是： 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，找准规律是解题的关键． 24．下列图形中是旋转对称图形的是 ，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 ． 【答案】 正三角形，正方形，正五边形，正六边形 正方形，正六边形 正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，中心对称图形，轴对称图形．根据旋转对称图形，中心对称图形，轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：旋转对称图形有正三角形，正方形，正五边形，正六边形， 中心对称图形有正方形，正六边形， 轴对称图形有正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形． 故答案为：正三角形，正方形，正五边形，正六边形；正方形，正六边形；正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形 25．下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有 ．（填序号） 【答案】（1）（3）（5） 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的定义对六个图形进行分析即可． 【详解】解：（1）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （2）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （3）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （4）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （5）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （6）不是旋转对称图形； 故答案为：（1）（3）（5）． 【题型6 旋转性质辨析】 26．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 27．如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，依次分析可得答案． 【详解】解：由旋转知：，， 故选项A错误； 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， 故选项B正确； 由旋转知， ∴， 即， 故选项C错误； 由旋转的性质可得四边形四边形， ∴，无法得出， 故选项D错误； 故选：B． 28．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 29．若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α的最小值为 ． 【答案】60° 【分析】根据旋转对称图形和旋转角的概念作答． 【详解】解：如图： 正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°， 并且圆具有旋转不变性，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合． 则α最小值为60°． 故答案为：60°. 【点睛】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 30．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 【题型7 旋转的规律性问题】 31．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 32．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 33．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 【答案】B 【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵2023÷3＝674…1，， ∴翻转2023次后点C在数轴上， ∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 34．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    【答案】5 【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环， ∵2019÷4=504…3， ∴滚动第2019次后与第三次相同， ∴朝下的数字是2的对面5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律． 35．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 【题型8 旋转的坐标问题】 36．如图是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将该图案绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等以及点的坐标特征，根据旋转的性质可知4次旋转为1个循环，再判断第次旋转相当于逆时针旋转，过点A作轴于点H，过点作轴于点G，连接，，易得，进而即可求出答案． 【详解】根据题意，，， 即点A绕点O逆时针旋转次相当于逆时针旋转， 如解图，过点A作轴于点H，过点作轴于点G，连接，， 根据旋转的性质可知，, ， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：D． 37．如图，已知正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转，旋转2025次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判断和性质，根据旋转的性质找到正方形旋转后的对应点的位置是解题的关键． 由旋转的性质可知正方形旋转第2025次点的坐标和正方形旋转第1次点的坐标重合，记点旋转后的对应点为点，过点作轴，过点作轴，连接，，易证得，得到，， ，，再证得，可得，，即可得旋转2025次后，点的坐标． 【详解】解：∵正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转， ∴每旋转4次，正方形回到原位置， ∵， ∴正方形旋转第2025次点的坐标和正方形旋转第1次点的坐标重合， 如图，记点旋转后的对应点为点，过点作轴，过点作轴，连接，，则，， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 38．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交x轴于点M， ∵点A的坐标为， ∴． ∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴． ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点O的对应点的坐标为． 故答案为：． 39．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 40．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)若点D的坐标为，将平移至的位置，使得A，B，C的对应点分别是D，E，F，画出平移后的图形，并写出点F 的坐标； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查了作图－旋转变换，作图－平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点F的坐标为； （2）解：如图，即为所求； 点的坐标为． 【拓展训练一 旋转的线段问题】 41．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 42．如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 43．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，和三点共线， ∴， ∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解． 44．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    【答案】 相等且垂直 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出，求出，证出，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴EF与DC的关系是相等且垂直， 故答案为：相等且垂直； （2）∴，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 45．在等边中，，点是上的定点，点是上的动点，绕点逆时针旋转恰好落在上，已知，则此时 ． 【答案】 【分析】画出图形，连接，过点D作于点，证明,求出，根据勾股定理，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点，   是等边三角形， ， ，， ， ，， 绕点 逆时针旋转 恰好落在 上， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，正确的画出图形，作出辅助线是解题的关键． 【拓展训练二 旋转的面积问题】 46．如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点． 47．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ， ∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PQ＝PA＝2， ∵PB＝4， ∴， ∴∠PQB＝90°， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 48．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP•OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OB，∠BOC＝90°， ∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置， 则△OCP≌△OBQ， ∵∠BPC＝90°， ∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠OCP＝∠OBQ， ∴∠OBQ+∠OBP＝180°， ∴Q、B、P在同一条直线上， ∵PO＝4，△OCP≌△OBQ， ∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ， ∴∠QOP＝∠BOC＝90°， ∴△POQ是直角三角形， ∵S△POQOP•OQ4×4＝8， ∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8， 故选：B． 【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键． 49．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 50．如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为 ．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【拓展训练三 旋转的角度问题】 51．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键． 52．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，   ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 54．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 55．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 【拓展训练四 坐标与旋转规律问题】 56．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可． 【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2025次旋转结束时，图形旋转了． 过点作于点E，过点作于点D，如图 有 ∵点，，，且． ∴，， ∴，， ∴，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为． 故答案为． 57．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线：交点D，将菱形绕点O顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化规律，勾股定理，利用菱形的性质求出点的坐标，再根据菱形每次顺时针旋转，相当于对点每次顺时针旋转，根据周期性，求出点的坐标的变化规律，据此即可求解，求出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：如下图所示，作轴交于点， ∵四边形是菱形， ∴，点是的中点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴， 菱形每次顺时针旋转，相当于对点每次顺时针旋转， 根据图形变化可得， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， ， 坐标的变化具有周期性，次旋转一个周期， ∵， ∴旋转次后，点的坐标是 故答案为：． 58．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、图形规律、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，发现坐标点的变化规律成为解题的关键． 如图：过P作轴于A，过作轴于B，依次求得、、、、、，进而得到规律、、、、、，然后运用规律求解即可． 【详解】解：如图：过P作轴于A，过作轴于B， ∵点的坐标为， ∴，，即， ∵将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段， ∴，， ∴，，即， 同理：，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴． 故答案为：． 59．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键． 求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点； ∴，，， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为， ∵ ∴的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 60．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为1，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为， 第2次旋转结束时，正好与原来点A的坐标关于原点对称，则此时点A的坐标为， 第3次旋转结束时，在x轴的负半轴上，点A在第二象限，此时点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A回到原来的位置，此时点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，交边于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴． 故选：C 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再根据正方形的性质和线段的和差解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵逆时针旋转后能够与重合， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·陕西·一模）如图，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：D． 4．（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B，C在x轴正半轴上且，将绕点A顺时针旋转，得到且点D落在上，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质等知识，过点A作轴于点F，得出，，由旋转的性质得，，F是CD的中点，从而得出点E的坐标为． 【详解】解：如图，过点A作轴于点F， ∵点A的坐标为， ∴，， 由旋转的性质可得，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴F是CD的中点， ∴， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：B． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据旋转的性质，线段垂直平分线的性质得到，，，根据，分类讨论即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 故选：D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，若点恰好落在边上，连接，则长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，过点A作于H，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，，则可证明是等边三角形，得到；由勾股定理得的长，再由勾股定理得的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由旋转的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； ∴， 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线性质，旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行线性质得到，再结合旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，求出，即可解题． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 9．（2025·福建福州·三模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 10．（2025九年级下·江西·学业考试）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先由旋转的性质得出，，再由等腰三角形的性质得，从而可得出，进而得，继而可得，然后由勾股定理求得，即可由求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·陕西西安·三模）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据旋转的性质得出，再证明点G、B、E在一条直线上，从而利用证明，于是有，再根据，转化为，求出五边形的面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴点G、B、E在一条直线上， ∵， ∴． ∴． 在与中， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求面积，全等三角形的判定，全等三角形的性质，求三角形的面积，求多边形的面积，解题关键是找准全等三角形． 12．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么 °． 【答案】62、70、110、118 【分析】本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质求解． 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质绕点逆时针旋转得到； （3）在图中找到格点E，连接，有图可知，则为等腰三角形，然后画出的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图所示，即为所作； （3）解：如图所示，线段即为所作； ． 14．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点． (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作关于点成中心对称的； (3)四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了画旋转图形、画中心对称图形、平行四边形的性质与判定，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：如图， 由中心对称的性质可得，，， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积为． 故答案为：8． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． (1)将绕点C按逆时针方向旋转，画出旋转后所得的； (2)将向下平移4个单位长度，画出平移后所得的； (3)线段在平移的过程中扫过区域的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了平移(作图)，画旋转图形，利用平移的性质求解，解题关键是正确作出图形． （1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形； （2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形； （3）根据线段在平移的过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图就是所要作的三角形； （2）如图就是所要作的三角形； （3）线段在平移的过程中扫过区域的面积为， 故答案为：8． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （1）根据旋转的性质及等边三角形的性质即可得到的度数； （2）当时，的长最小，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：绕点A按逆时针方向旋转，得到， ． 是等边三角形， ， ． （2）解：由（1），可知， 点Q在射线上运动， 当时，的长最小． D是边的中点， ． ， ． 在中， ， 的最小值是． 18．（2025年黑龙江省龙东地区中考四模数学试题）已知中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段的延长线上，时，如图②；当点E在线段的延长线上，时，如图③，请直接写出线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图②：，图③： 【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，    同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 19．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 20．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图1，直线，且．点在直线上．点在直线上，动点从点出发，以每秒的速度向点运动，同时动点以同样的速度从点出发，向点运动．点运动的时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？并判断此时四边形的面积与四边形的面积有什么关系． (2)是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何只改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． (3)如图2，在（2）的条件下，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形与直线相交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)，平行四边形和面积相等 (2)不存在，理由见解析；点P的运动速度为 (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可得，求出t值，然后判断是平行四边形，根据同底等高的两个平行四边形的面积相等解答即可； （2）先根据是平行四边形得到，求出t的值，过点A作于点E，利用勾股定理求出得到不是菱形；然后根据是菱形得到是等边三角形，求出这时长和时间t，求出点P的速度即可； （3）根据旋转的性质和菱形的性质得到，结合（2）中的计算利用解答即可． 【详解】（1）解：由题可知：， ∵是平行四边形， ∴，即， 解得， ∴， ∴，， ∴是平行四边形， ∵， ∴平行四边形和底相同，高相等， ∴平行四边形和面积相等； （2）解：不存在，理由为： ∵， ∴， 若是平行四边形，则， 即， 解得， 这时， 过点A作于点E， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形不是菱形； 如果四边形是菱形； 则， 又∵， ∴是等边三角形，即， ∴时间， 这时， ∴点P的运动速度为； （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 图形的旋转 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 知识点2：旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【即时训练】 4．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则 ． 6．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 知识点3：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， ，把△绕点按顺时针方向旋转后得到△．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出△并直接写出：的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 8．（22-23九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形． (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【题型1 旋转现象】 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 2．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 3．如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 4．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 5．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【题型2 旋转中心、旋转角、对应点】 6．如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 9．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为__________，旋转角度为__________°． 【题型3 根据旋转的性质求解】 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点．若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 12．如图，在，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使点的对应点恰好落在边上，与交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 13．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为 ． 14．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 15．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型4 旋转作图】 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出； (2)连接，，求四边形的面积． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△的顶点都在格点上． (1)把△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)试判断与的位置关系． 18．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标________； (2)画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标_________； (3)将平移得到，使点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是，在坐标系中画出，并写出点的坐标_______． 20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (2)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【题型5 旋转图案相关问题】 21．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 22．如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）． 23．分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 24．下列图形中是旋转对称图形的是 ，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 ． 25．下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有 ．（填序号） 【题型6 旋转性质辨析】 26．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 27．如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 28．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 29．若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α的最小值为 ． 30．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【题型7 旋转的规律性问题】 31．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 32．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 33．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 34．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    35．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【题型8 旋转的坐标问题】 36．如图是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将该图案绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．如图，已知正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转，旋转2025次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 39．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 40．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)若点D的坐标为，将平移至的位置，使得A，B，C的对应点分别是D，E，F，画出平移后的图形，并写出点F 的坐标； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点的坐标． 【拓展训练一 旋转的线段问题】 41．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 42．如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 43．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 44．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    45．在等边中，，点是上的定点，点是上的动点，绕点逆时针旋转恰好落在上，已知，则此时 ． 【拓展训练二 旋转的面积问题】 46．如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 47．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 49．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 50．如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为 ．    【拓展训练三 旋转的角度问题】 51．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 52．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 53．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 54．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 55．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【拓展训练四 坐标与旋转规律问题】 56．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ． 57．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线：交点D，将菱形绕点O顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点D的坐标是 ． 58．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为 ． 59．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 60．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，交边于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合，则（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2025·陕西·一模）如图，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B，C在x轴正半轴上且，将绕点A顺时针旋转，得到且点D落在上，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，若点恰好落在边上，连接，则长为（   ） A． B．4 C． D． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 ． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 9．（2025·福建福州·三模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 10．（2025九年级下·江西·学业考试）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为 ． 11．（2025·陕西西安·三模）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为 ． 12．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么 °． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 14．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点． (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作关于点成中心对称的； (3)四边形的面积为________． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． (1)将绕点C按逆时针方向旋转，画出旋转后所得的； (2)将向下平移4个单位长度，画出平移后所得的； (3)线段在平移的过程中扫过区域的面积为____________． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 18．（2025年黑龙江省龙东地区中考四模数学试题）已知中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段的延长线上，时，如图②；当点E在线段的延长线上，时，如图③，请直接写出线段的数量关系． 19．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 20．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图1，直线，且．点在直线上．点在直线上，动点从点出发，以每秒的速度向点运动，同时动点以同样的速度从点出发，向点运动．点运动的时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？并判断此时四边形的面积与四边形的面积有什么关系． (2)是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何只改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． (3)如图2，在（2）的条件下，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形与直线相交于点，求四边形的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$