第06讲 一次函数-2024-2025学年苏科版数学八年级数学上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第06讲 一次函数 板块一、学习目标 1. 知道函数相关概念及函数的三种常用表示方法：列表法、图象法、解析式法； 2. 会用待定系数法确定一次函数和正比例函数表达式； 3. 知道一次函数的图象是一条直线，并会选取适当的点画一次函数的图象； 4. 掌握一次函数的性质； 5. 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系； 6. 会根据实际问题建立一次函数模型解决问题。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：函数的相关概念 1.变量、常量的概念： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.函数： 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 名师点拨： 对函数概念的理解要把握几下几点 （1）函数的实质就是两个变量之间的一种对应关系； （2）自变量的取值一般要满足两个要求，一是使其表达式有意义；二是涉及到实际生活的问题，要有实际意义，所以自变量一般都有范围； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 3.函数的几种表达方式： （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 名师点拨： · 函数的三种表示方法各有各的优点和缺点. 解析式法能反应变量之间的内在联系，但较抽象，而且不是所有的函数都有解析式； · 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，但不能列完所有值； · 图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，但不是所有的函数都能画出其图像. 4.函数的图象： 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 名师点拨： 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 知识点2：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点3：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点4：一次函数的实际应用 1． 主要题型： （1）求相应的一次函数表达式（待定系数法）；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 板块四 典型例题 题型1 一次函数的概念 若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型2 一次函数的图象和性质综合考查 对于函数，下列结论正确的是（    ） A．y的值随x值的增大而减小 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．它的图象必经过点 题型3 函数图象问题 下列图形中，表示一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C． D． 题型4 一次函数的图象平移问题 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移7个单位后，得到一条新的直线，该直线与轴的交点坐标是（　　　） A． B． C． D． 题型5 一次函数的增减性问题 若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 待定系数法求函数解析式 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 题型7 一次函数与一次方程和不等式的关系 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 题型8 一次函数的实际应用问题 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．某车行经营型和型两种山地车．已知一辆型车的进货价比一辆型车的进货价多300元，2两型车和1辆型车共需进货价3600元． (1)求每辆型车和每辆型车的进货价分别是多少元； (2)若一辆型车的销售价格为2000元，一辆型车的销售价格为2400元，该车行计划进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？并求出最大利润． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（    ） A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量 C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量 2．已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 3．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象与直线平行 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象一定经过点 D．若点和点在直线上，则 5．一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 6．函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象经过点，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 二、填空题（本大题共8小题） 9．在中，若y是x的正比例函数，则k值为 ． 10．若一次函数的图像过，则的值为 ． 11．已知一次函数，若随的增大而增大，则它的图象经过 象限． 12．直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 13．一根弹簧秤原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是 ． 14．如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为 ． 第14题 第15题 15．同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示，则关于x的方程组的解为 ．   16．一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条牛的k的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： 0 1 2 3 4 5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)写出弹簧总长）与所挂物体质量之间的关系式； (2)按照上表所示的规律，弹簧总长为17cm时，所挂物体的质量是多少？ 18．如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点A，当时，求点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)在图中画出一次函数的图象； (3)根据函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 20．“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求出当时，与的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共束，若购买康乃馨的数量不超过束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第06讲 一次函数 板块一、学习目标 1. 知道函数相关概念及函数的三种常用表示方法：列表法、图象法、解析式法； 2. 会用待定系数法确定一次函数和正比例函数表达式； 3. 知道一次函数的图象是一条直线，并会选取适当的点画一次函数的图象； 4. 掌握一次函数的性质； 5. 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系； 6. 会根据实际问题建立一次函数模型解决问题。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：函数的相关概念 1.变量、常量的概念： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.函数： 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 名师点拨： 对函数概念的理解要把握几下几点 （1）函数的实质就是两个变量之间的一种对应关系； （2）自变量的取值一般要满足两个要求，一是使其表达式有意义；二是涉及到实际生活的问题，要有实际意义，所以自变量一般都有范围； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 3.函数的几种表达方式： （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 名师点拨： · 函数的三种表示方法各有各的优点和缺点. 解析式法能反应变量之间的内在联系，但较抽象，而且不是所有的函数都有解析式； · 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，但不能列完所有值； · 图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，但不是所有的函数都能画出其图像. 4.函数的图象： 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 名师点拨： 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 知识点2：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点3：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点4：一次函数的实际应用 1． 主要题型： （1）求相应的一次函数表达式（待定系数法）；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 板块四 典型例题 题型1 一次函数的概念 若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 题型2 一次函数的图象和性质综合考查 对于函数，下列结论正确的是（    ） A．y的值随x值的增大而减小 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．它的图象必经过点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数中，y的值随x值的增大而增大，故A错误； 函数得图象经过第一、三、四象限，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，不过，故D错误； 故选C． 题型3 函数图象问题 下列图形中，表示一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．依题，先由一次函数的图象确定的符号，得出的符号，再判断的图象即可． 【详解】解：A.由一次函数的图象可知，，故，与正比例函数中矛盾，此项不符合题意； B. 由一次函数的图象可知，，故，与正比例函数中相符，此项符合题意； C. 由一次函数的图象可知，，故，与正比例函数中矛盾，此项不符合题意； D. 由一次函数的图象可知，，故，与正比例函数中矛盾，此项不符合题意． 故选：B． 题型4 一次函数的图象平移问题 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移7个单位后，得到一条新的直线，该直线与轴的交点坐标是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，求一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键．依题意将直线沿y轴向下平移7个单位后，得到，令，即可求解． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移7个单位后，得到， 当时，， ∴该直线与轴的交点坐标是， 故选：B． 题型5 一次函数的增减性问题 若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据题意可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C 题型6 待定系数法求函数解析式 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将的坐标代入求出的值，进而得出直线的解析式，再求出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出解析式； （2）先求出，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型7 一次函数与一次方程和不等式的关系 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)和； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 题型8 一次函数的实际应用问题 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．某车行经营型和型两种山地车．已知一辆型车的进货价比一辆型车的进货价多300元，2两型车和1辆型车共需进货价3600元． (1)求每辆型车和每辆型车的进货价分别是多少元； (2)若一辆型车的销售价格为2000元，一辆型车的销售价格为2400元，该车行计划进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1)每辆型车的进货价为1100元，每辆型车的进货价为1400元 (2)型车17辆，型车33辆；最大利润为48300元 【分析】该题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数和不等式的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系和不等量关系式． （1）设每辆型车的进货价为元，每辆型车的进货价为元，根据“一辆型车的进货价比一辆型车的进货价多300元，2辆型车和1辆型车共需进货价3600元”，列出方程组求解即可； （2）设今年7月份进型车辆，则型车）辆，获得的总利润为元，根据“型车的进货数量不超过型车数量的两倍”列出不等式，再根据题意列出函数关系式，根据函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：设每辆型车的进货价为元，每辆型车的进货价为元， 根据题意得， 解得， 答：每辆型车的进货价为1100元，每辆型车的进货价为1400元． （2）解：设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元， 根据题意得， 解之得， ， ， 随的增大而减小， 为整数， 的最小值为17， 当时，可以获得最大利润．此时． 答：进货方案是型车17辆，型车33辆；最大利润为48300元． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（    ） A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量 C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解． 【详解】解：体积随着长的变化而变化，， 是自变量，是因变量， 故选：D． 2．已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 3．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象与直线平行 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象一定经过点 D．若点和点在直线上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据的系数大小可判断A选项；根据了一次函数的图象与性质可判断B和D选项，将代入求解即可判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、与中的系数不同， 与不平行，故本选项错误，不符合题意； B、的图象是随的增大而增大的，与轴的交点是，图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、将代入得，即过点，故本选项错误，不符合题意； D、的图象是随的增大而增大的，， ，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴的交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误， 故选：C． 6．函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：函数先向下平移一个单位，再向右平移两个单位，平移后的解析式为， 故选：B． 7．一次函数的图象经过点，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的性质，比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键． 根据一次函数的解析式判断出增减性，然后利用增减性求解． 【详解】解：一次函数中， y随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 【答案】C 【分析】先求解一次函数与坐标轴的坐标，结合等腰三角形的性质可判定A，把代入可判断B，利用一次函数的增减性可判断C，由一次函数与不等式的关系结合图象可判断D，从而可得答案． 【详解】解：直线分别与x轴、y轴交于点A，C， 则，，即， ∴为等腰直角三角形，，A正确，不符合题意； 将代入可得，， 即函数图象过点，B正确；不符合题意； 当时，函数随的增大而减小， ∵， ∴，C错误；符合题意； 直线与直线相交于点，将代入可得，， 即， 由图象可得，在点的左侧，， 则不等式的解集为，D正确；不符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共8小题） 9．在中，若y是x的正比例函数，则k值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键．直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，y是x的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：1． 10．若一次函数的图像过，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入函数求出，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：一次函数的图象过， ， ， ． 故答案为：2025． 11．已知一次函数，若随的增大而增大，则它的图象经过 象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 根据“一次函数，若随的增大而增大”得到，再由即可得出答案． 【详解】解：一次函数，且随的增大而增大， ， 又， 该直线与轴交于负半轴， 该直线经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 12．直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性求参数，根据得出随的增大而增大，结合，即可作答． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵经过三点，且 ∴ 故答案为： 13．一根弹簧秤原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，得到弹簧长度的等量关系是解决本题的关键．根据弹簧的长度弹簧原来的长度挂上质量为的重物时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上质量为的物体后，弹簧伸长， ∵簧秤原长， ∴弹簧的长度． 故答案为：． 14．如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求直线解析式． 【详解】解：， ， ，解得， ， 把，代入， ，解得， 直线解析式为． 故答案为：． 15．同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示，则关于x的方程组的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，理解一次函数与二元一次方程的关系是解题的关键；观察图象知，两直线的交点为，则是方程组的解． 【详解】解：图象知，两直线的交点为， 则是方程组的解． 故答案为：． 16．一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条牛的k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解． 【详解】解：联立与， 得， 解得， 即一次函数()与的图像的交点的横坐标为， 当时，， ， ∴， 解得； 当时，与两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意； 又， 满足条件的的取值范围是且， 故答案为：且． 三、解答题（本大题共4小题） 17．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： 0 1 2 3 4 5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)写出弹簧总长）与所挂物体质量之间的关系式； (2)按照上表所示的规律，弹簧总长为17cm时，所挂物体的质量是多少？ 【答案】(1) (2)所挂物体的质量是 【分析】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． （1）由上表可知，0.5为常量，12也为常量．故可求出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式． （2）令时，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由表可知：常量为0.5，12， 所以，弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为， （2）解：当时，代入， 解得 答：所挂物体的质量是 18．如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点A，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确点坐标，过点作轴于，结合点，易得，进而求得的值，结合即可确定的值，设点，则，根据三角形面积公式求得的值，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为（）， ∵、点在直线上， ∴可有，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线交轴于， ∴令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， 过点作轴于，如下图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则， ∴， ∴，， ∴点的坐标为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点．    (1)求一次函数的解析式； (2)在图中画出一次函数的图象； (3)根据函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题主要考查一次函数的图形和性质，画函数图像，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将，代入一次函数即可； （2）根据解析式应用描点法画图； （3）根据图像以及一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点， ，即， 一次函数的图象经过点，， ，解得， 的解析式为； （2）解：在平面直角坐标系中，找出，，根据两点确定一条直线即可， 如图所示，即为所求    （3）解：正比例函数的图象与一次函数的图象经过点，根据（2）中的图象可知，当时，自变量x的取值范围是． 20．“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求出当时，与的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共束，若购买康乃馨的数量不超过束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)； (2)购买康乃馨和玫瑰花各束时，费用最少，最少费用为元． 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束，根据题意求出的取值范围，再得出关于的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答； 此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：，在函数图象上， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为：； （2）解：设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束， 由题意得：，且， 解得：． ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，且最小值为：（元）， 答：购买康乃馨和玫瑰花各束时，费用最少，最少费用为元． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$