第1章 有理数（10类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第1章 有理数（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 二、数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 三、有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 四、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一 正负数表示的意义 例题：（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一条东西走向的道路上，若向东走5米记作“米”，则“米”表示（     ） A．向东走3米 B．向西走米 C．向西走5米 D．向西走3米 2．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（     ）是合格的． A． B． C． D． 3．（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 题型二 有理数的分类 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在，0，，2这四个数中，是负数的是（　 　） A． B．0 C． D．2 2．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在，，，，，中，非负数的个数（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 题型三 有理数比较大小 例题：（2024·山东青岛·二模）下列各数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 巩固训练 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）还记得你曾经做过的那些简单题吗？还记得老师们说一定不能错吗？匆匆那三年，我们相爱又相杀，现在却如倒数和相反数一样难舍难分．下列有理数中最小的是（     ）． A． B． C． D． 2．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A．液态氧 B．液态氮 C．液态酒精 D．液态二氧化碳 3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 题型四 有理数的非负性问题 例题：（23-24七年级上·内江·假期作业）若，则 ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 2．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 题型五 化简绝对值 例题：（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 2．（23-24六年级下·上海普陀·期中）比较大小： （填“＜”或“＞”或“＝”）． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 题型六 理解相反数、绝对值、倒数相关概念 例题：（2024·山西晋中·一模）的相反数是（     ） A． B．2024 C． D． 巩固训练 1．（2024·河南商丘·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D．2025 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（     ） A． B． C．2 D．4 3．（2024·宁夏银川·二模）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 题型七 用科学记数法表示较大的数 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）全国大约有124600000人在某学习平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·海南三亚·期末）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为米/秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中用科学记数法可表示为（      ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）国家统计局2024年6月5日公布，2024年，我国经济迎来了开门红．一季度（国内生产总值）达29.6万亿元，同比增长．29.6万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 题型八 有理数的混合运算 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级上·上海·期末）计算：． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）计算∶ (1)； (2)． 题型九 与有理数混合运算有关的新定义问题 例题：（23-24七年级上·广东汕尾·期末）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②；③若，则；其中正确的结论是 ．（只填正确序号） 巩固训练 1．（21-22七年级·全国·假期作业）定义一种新运算：a☆b＝a﹣b2．例如：﹣2☆1＝﹣2﹣12＝﹣3，则3☆（﹣1）＝ ． 2．（15-16七年级上·四川遂宁·期中）若“”是一种新的运算符号，并且规定，则0.51（-2）= ． 4．（江苏省无锡市广瑞中学2016-2017学年七年级（上）期中自测数学试卷（含答案））对于任意有理数a，b，规定运算：a*b=a2﹣b2﹣a．则（﹣3）*5= ． 题型十 有理数的实际应用 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 巩固训练 1．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 二、数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 三、有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 四、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一 正负数表示的意义 例题：（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 故选：A 巩固训练 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一条东西走向的道路上，若向东走5米记作“米”，则“米”表示（     ） A．向东走3米 B．向西走米 C．向西走5米 D．向西走3米 【答案】D 【分析】此题考查正数和负数表示具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向东走5米记作“米”， ∴“米”表示向西走3米， 故选D． 2．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（     ）是合格的． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据题意克可出质量在克和克之间的羽毛球都是合格的，据此可得答案． 【详解】解：因为合格羽毛球的质量是克， 所以质量在克和克之间的羽毛球都是合格的， 所以四个选项中只有B、D是合格的， 故选：BD． 3．（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【答案】米 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果； 【详解】解：向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作米； 故答案为：米 题型二 有理数的分类 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案． 【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在，0，，2这四个数中，是负数的是（　 　） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据负数的定义即可求得答案． 【详解】解：是负数；，2是正数；0既不是正数也不是负数； 故选：A 2．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在，，，，，中，非负数的个数（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的定义，解题的管计划司掌握非负数的定义．根据“零和整数统称为非负数”，即可求解． 【详解】解：非负数有：，，，共个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查有理数的分类，小数、百分数均属于分数，据此求解即可． 【详解】解：，，，，0，，，，中，属于负分数的有：，，， 故选答案为：，，． 题型三 有理数比较大小 例题：（2024·山东青岛·二模）下列各数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先求出，，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 本题考查求一个数的绝对值，有理数的大小比较．解题关键是熟练掌握有理数的大小比较方法：正数负数；两个负数相比较时，绝对值大的反而小． 【详解】解：， ∴， ∴最小的是． 故选C． 巩固训练 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）还记得你曾经做过的那些简单题吗？还记得老师们说一定不能错吗？匆匆那三年，我们相爱又相杀，现在却如倒数和相反数一样难舍难分．下列有理数中最小的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了有理数大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较方法． 根据有理数大小比较方法：正数大于负数，负数中绝对值越大的越小比较即可． 【详解】解：， ∴最小的是． 故选：A． 2．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A．液态氧 B．液态氮 C．液态酒精 D．液态二氧化碳 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．根据正负数大小比较的方法进行求解． 【详解】解：，，， 且， ， ， 沸点最低的液体是液态氮， 故选：B 3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数比较大小，掌握相关规则是解题的关键． 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小和正数大于负数等规则，即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为，， 题型四 有理数的非负性问题 例题：（23-24七年级上·内江·假期作业）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 2．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 题型五 化简绝对值 例题：（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海普陀·期中）比较大小： （填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了绝对值以及化简多重符号，先把整理得，把整理得，再根据正数大于负数，即可作答． 【详解】解：， 则， 故答案为：＜． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的代数意义，由题意确定的符号，由绝对值的代数意义化简即可得到答案，熟记绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ，则， ， 故答案为：． 题型六 理解相反数、绝对值、倒数相关概念 例题：（2024·山西晋中·一模）的相反数是（     ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义．求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：B． 巩固训练 1．（2024·河南商丘·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 3．（2024·宁夏银川·二模）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相反数，绝对值，倒数是解题的关键． 根据相反数，绝对值，倒数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的相反数是，的绝对值是，的倒数是， 故答案为：，3，． 题型七 用科学记数法表示较大的数 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）全国大约有124600000人在某学习平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将124600000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·海南三亚·期末）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为米/秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中用科学记数法可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法的表示即可得到答案． 【详解】解：把一个数写成的形式，（其中，是正整数）， 故， 故选C． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）国家统计局2024年6月5日公布，2024年，我国经济迎来了开门红．一季度（国内生产总值）达29.6万亿元，同比增长．29.6万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：29.6万亿， 故选：C 3．（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【答案】1260000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数恢复为原数，根据科学记数法中n值的确定方法，将恢复原数后应该是一个七位数的整数，即可得出答案． 【详解】解：亿元的原数约为1260000亿元． 故答案为：1260000． 题型八 有理数的混合运算 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)17；(2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键： （1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则与运算顺序是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1)1；(2)0 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则是解题的关键． （1）利用有理数乘法分配律简便运算即可； （2）先计算乘方，再将除法转化为乘法，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九 与有理数混合运算有关的新定义问题 例题：（23-24七年级上·广东汕尾·期末）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②；③若，则；其中正确的结论是 ．（只填正确序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查定义新运算题．根据题意将序号逐一进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∴②不正确； ∵，则， ∴③正确， 故答案为：①③． 巩固训练 1．（21-22七年级·全国·假期作业）定义一种新运算：a☆b＝a﹣b2．例如：﹣2☆1＝﹣2﹣12＝﹣3，则3☆（﹣1）＝ ． 【答案】2 【分析】根据新运算规定计算即可． 【详解】解：3☆（﹣1） ＝3﹣（﹣1）2 ＝3﹣1 ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算的规定是解题的关键． 2．（15-16七年级上·四川遂宁·期中）若“”是一种新的运算符号，并且规定，则0.51（-2）= ． 【答案】-． 【详解】试题分析：本题考查了新定义的运算：先把新定义的运算转化为有理数的四则运算，然后有理数的运算法则进行计算．有理数数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．根据新定义先计算0．5*1，然后计算0．5*1*（-2）即可． ∵0．5*1==2．25， ∴0．5*1*（-2）=2．25*（-2）==-． 故答案为-． 4．（江苏省无锡市广瑞中学2016-2017学年七年级（上）期中自测数学试卷（含答案））对于任意有理数a，b，规定运算：a*b=a2﹣b2﹣a．则（﹣3）*5= ． 【答案】﹣13 【详解】解：利用题中的新定义得：（﹣3）*5=9﹣25+3=﹣13． 故答案为﹣13． 题型十 有理数的实际应用 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 【答案】(1)3万人；(2)元 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （2）先计算出这7天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以200即可． 【详解】（1）解：（万人）； （2）解：（万人）， （元）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599；(2)26；(3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克；(2)760千克；(3)3618元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）， 元 元 元 元 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米；(2)共耗油6升；(3)一共收到车费56.4元 【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义． （1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． （3）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：由行驶路程记录得： ， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米； （2）解：由行驶路程记录得： （升）， 答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升； （3）解：由行驶路程记录得： （元）， 答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$