专题10 尺规作图与基础几何证明-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（重庆专用）

专题10 尺规作图与基础几何证明（解析版） 1．（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的 一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是 菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点．用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，点E，F分别在，上，EF经过对角线的中点O，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①　 　，． ∵点O是的中点， ∴②　 　． ∴． ∴③　 　． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2），，，四边形是菱形． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点O是的中点， ∴②． ∴． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想的结论：④四边形是菱形． 故答案为：，，，四边形是菱形． 2．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的 垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过 证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴　 　． ∵垂直平分， ∴　 　． 又　 　， ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 　 　． 【答案】作图见解析；；；；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴． 又， ∴． ∴； 过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分， 故答案为：；；；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分． 3．（2022•重庆A卷）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，E是边上的一 点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其 转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的 作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为F（只保留作图痕迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴　 　① ∵， ∴　 　② 又 　 　③ ∴． 同理可得 　 　④ ∴． 【答案】作图见解析；①，②，③，④． 【详解】解：根据题意作图如下： 由题知，在和中， ∵， ∴． 又， ∴，① ∵， ∴，② 又，③ ∴． 同理可得，④ ∴， 故答案为：①，②，③，④． 4．（2022•重庆B卷）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h 的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴①　 　． ∵， ∴②　 　． 又∵③　 　， ∴． 同理可得：④　 　． ． 【答案】作图见解析；①，②，③，④． 【详解】证明： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 同理可得：④， ∴． 故答案为：①，②，③，④． 5．（2021•重庆A卷）如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接交于点P，猜想按角分类的类型，并证明你的结论． 【答案】（1）作图见解析；（2）见解析． 【详解】解：（1）如图，、为所作； （2）为直角三角形． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 6．（2021•重庆B卷）如图，四边形为平行四边形，连接，且．请用尺规完成基本 作图：作出的角平分线与交于点E．连接交于点F，交于点O，猜想线段和线 段的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【详解】解：如图： 猜想：， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴． ∵的角平分线与交于点F， ∴点F是的中点，即， ∴， ∴，即． 7．（2024•渝北区模拟）学习了全等三角形知识后，小明进行了如下思考，在直角三角形中，连接直角角平 分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互 相垂直，那么这两条线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空． 在中，，平分，点M为上一点，连接． （1）用直尺和圆规：过点M作，交于点D，在上截取点E，使．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，连接，探究与的数量关系． 证明：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，①　 　． 又∵，， ∴在四边形中， ． ∴． 又∵， ∴②　 　． ∴． ∴③　 　． 通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2），，． 【详解】解：（1）图形如图所示： （2）结论：． 理由：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，①． 又∵，， ∴在四边形中， ． ∴． 又∵， ∴②． ∴． ∴③． 故答案为：，，； 在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得 到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④这两条线段相等． 8．（2024•渝中区模拟）学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角 平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得 出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接，．（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是，的中点．求证：． 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴　 　①． ∵平分， ∴　 　②． ∵， ∴　 　③． ∴． 小雯进一步研究，发现角平分线上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 　 　④． 【答案】作图见解析；，，，到两腰中点的距离相等． 【详解】解：补全图形如下： 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴①． ∵平分， ∴②． ∵， ∴③． ∴． 依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点到两腰中点的距离相等④． 故答案为：，，，到两腰中点的距离相等． 9．（2024•渝中区校级一模）学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两 腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点F，连接，连接并延长交线段的延长线于点M；（只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，E为中点，F为中点． 猜想：，且． 证明：∵F是中点，∴①　 　 ∵，∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在中，E是中点，F是中点 ∴且③　 　． ∵， ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2）① ②③ ④等于两底和的一半． 【详解】解：（1）图形如图所示： （2）已知：在四边形中，，E为中点，F为中点． 猜想：，且． 证明：∵F是中点，∴①， ∵，∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在中，E是中点，F是中点 ∴且 ∵， ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④等于两底和的一半． 故答案为：① ②③ ④等于两底和的一半． 10．（2024•沙坪坝区校级三模）小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方 法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶 点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点F； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：∵，分别平分，， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，，　 　， ∴，， ∴，　 　， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴　 　， ∴平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则 　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2），，，这个四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：∵，分别平分，， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ， ∴平行四边形是矩形． 小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交， 若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则这个四边形是矩形． 故答案为：，，，这个四边形是矩形． 11．（2024•重庆二模）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等 的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他 的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一 步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填 空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴　 　． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ， ∴　 　． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 【详解】（1）解：如图，直线为所作垂段； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ， ∴． 所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 12．（2024•两江新区模拟）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点 分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 如图，正方形中，点F、E、G分别在、、上，且． （1）尺规作图：过点G作垂线交于点H．（只保留作图痕迹） （2）证明 ．将下面的过程补充完整． 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴①　 　， ∵， ∴， ∵， ∴②　 　， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴③　 　， ∴（④　 　）， ∴． 【答案】（1）作图见解析；（2）①；②；③；④． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明 ．将下面的过程补充完整． 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴②， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴③， ∴（④）， ∴． 故答案为：①；②；③；④． 13．（2024•九龙坡区模拟）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点 向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得 出结论．请根据她的思路完成作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，点P在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点E，于点F． 求证：． 证明：如图，连接． ∵，，， ∴，，． ∵， ∴①　 　， 即． ∵②　 　， ∴， ∴③　 　． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④　 　． 【答案】作图见解析；①，②；③；④这两条线段的和 等于等腰三角形一腰上的高． 【详解】证明：如图，连接． ∵，，， ∴，，． ∵， ∴①， 即． ∵②， ∴， ∴③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高． 故答案为：①，②；③；④这两条线段的和等于等腰三 角形一腰上的高． 14．（2024•渝中区校级二模）在中，，于点D，点E为线段上一点，连接 ，．用直尺和圆规，在的下方作，使得，交的延长线于点F，连 接． 小明想要研究两底角顶点B、C，底边高线上的点E，及该点关于底边的对称点F所形成的四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空： 证明：∵，， ∴　 　． 又∵，， ∴， ∴　 　． ∵， ∴　 　． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征． 请你依照题意完成下面命题： 在等腰三角形中， 　 　． 【答案】作图见解析；，，，在等腰三角形中，两底角顶点，底边高线上的任意一点，及该点关于底边的对称点所形成的四边形为菱形． 【详解】证明：如图， ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征． 请你依照题意完成下面命题： 在等腰三角形中，两底角顶点，底边高线上的任意一点，及该点关于底边的对称点所形成的四边形为菱形． 故答案为：，，，在等腰三角形中，两底角顶点，底边高线上的任意一点，及该点关于底边的对称点所形成的四边形为菱形． 15．（2024•北碚区校级三模）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直 平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作 图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点E，O，F，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①　 　， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴③　 　， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2），，，菱形． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵， ∴①， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴③， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是菱形． 故答案为：，，，菱形． 16．（2024•重庆模拟）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图， 在中，点D、E分别为、的中点，连接，过点C在的右边作，使得 ，延长交于点F，然后通过证明和平行四边形来证明三 角形中位线定理， 请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在的右侧作，延长，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：，． 证明：∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴①　 　． 在和中， ， ∴， ∴③　 　，， ∵点D为的中点， ∴， ∴④　 　， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤　 　， ∴，． 【答案】（1）作图见解析；（2），，，，． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴①． 在和中， ， ∴， ∴③，， ∵点D为的中点， ∴， ∴④， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤， ∴，． 故答案为：，，，，． 17．（2024•九龙坡区二模）学习了平行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一 组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交 点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图 与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，交于点O，平分交于点E，平分交于点F． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　． ∴． 又∵平分，平分， ∴，②　 　． ∴． 又∵③　 　，， ∴． ∴． 小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段④　 　． 【答案】作图见解析；，，，被对角线的交点平分． 【详解】证明：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，①． ∴． 又∵平分，平分， ∴，②． ∴． 又∵③，， ∴． ∴． 故答案为：，，，被对角线的交点平分． 18．（2024•北碚区校级模拟）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和填空： （1）尺规作图：过点E作，分别交边、于点G、F． （2）已知：在正方形中，点E是对角线上一点，，分别交边、于点G、F．求证：． 证明：∵四边形是正方形 ∴平分，，． ∴　 　． 在和中， ， ∴． ∴，， 又∵， ， ∴， ∵， ∴　 　． ∵，且， ∴， ∵　 　， ∴． ∴　 　． ∴． 【答案】（1）作图见解析；（2），，，． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）∵四边形是正方形 ∴平分，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， 又∵， ， ∴， ∵， ∴． ∵，且， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：，，，． 19．（2024•沙坪坝区校级一模）学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究．小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：∵，， ∴①　 　． 在与中， ， ∴， ∴③　 　， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 ④　 　． 【答案】作图见解析；，，，这个三角形是等腰三角形． 【详解】解：如图，于E，交于F ∵，， ∴①． 在与中， ， ∴， ∴③， ∴，即是等腰三角形． 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：，，，这个三角形是等腰三角形． 20．（2024•大渡口区模拟）如图，在中，平分交于点E，连接，完成下列作图和填空． （1）利用尺规作平分交于点F，连接（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴①　 　． ∴． 在和中， ， ∴． ∴③　 　． ∴四边形为平行四边形． ∴④　 　． 【答案】（1）作图见解析；①；（2）②；③；④． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴①． ∴． 在和中， ， ∴． ∴③． ∴四边形为平行四边形． ∴④． 故答案为：①；②；③；④． ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 尺规作图与基础几何证明（原卷版） 1．（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的 一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是 菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点．用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，点E，F分别在，上，EF经过对角线的中点O，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①　 　，． ∵点O是的中点， ∴②　 　． ∴． ∴③　 　． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　 　． 2．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的 垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过 证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴　 　． ∵垂直平分， ∴　 　． 又　 　， ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 　 　． 3．（2022•重庆A卷）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，E是边上的一 点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其 转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的 作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为F（只保留作图痕迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴　 　① ∵， ∴　 　② 又 　 　③ ∴． 同理可得 　 　④ ∴． 4．（2022•重庆B卷）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h 的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴①　 　． ∵， ∴②　 　． 又∵③　 　， ∴． 同理可得：④　 　． ． 5．（2021•重庆A卷）如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接交于点P，猜想按角分类的类型，并证明你的结论． 6．（2021•重庆B卷）如图，四边形为平行四边形，连接，且．请用尺规完成基本 作图：作出的角平分线与交于点E．连接交于点F，交于点O，猜想线段和线 段的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 7．（2024•渝北区模拟）学习了全等三角形知识后，小明进行了如下思考，在直角三角形中，连接直角角平 分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互 相垂直，那么这两条线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空． 在中，，平分，点M为上一点，连接． （1）用直尺和圆规：过点M作，交于点D，在上截取点E，使．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，连接，探究与的数量关系． 证明：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，①　 　． 又∵，， ∴在四边形中， ． ∴． 又∵， ∴②　 　． ∴． ∴③　 　． 通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④　 　． 8．（2024•渝中区模拟）学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角 平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得 出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接，．（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是，的中点．求证：． 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴　 　①． ∵平分， ∴　 　②． ∵， ∴　 　③． ∴． 小雯进一步研究，发现角平分线上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 　 　④． 9．（2024•渝中区校级一模）学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两 腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点F，连接，连接并延长交线段的延长线于点M；（只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，E为中点，F为中点． 猜想：，且． 证明：∵F是中点，∴①　 　 ∵，∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在中，E是中点，F是中点 ∴且③　 　． ∵， ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④　 　． 10．（2024•沙坪坝区校级三模）小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方 法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶 点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点F； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：∵，分别平分，， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，，　 　， ∴，， ∴，　 　， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴　 　， ∴平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则 　 　． 11．（2024•重庆二模）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等 的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他 的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一 步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填 空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴　 　． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ， ∴　 　． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　 　． 12．（2024•两江新区模拟）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点 分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 如图，正方形中，点F、E、G分别在、、上，且． （1）尺规作图：过点G作垂线交于点H．（只保留作图痕迹） （2）证明 ．将下面的过程补充完整． 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴①　 　， ∵， ∴， ∵， ∴②　 　， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴③　 　， ∴（④　 　）， ∴． 13．（2024•九龙坡区模拟）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点 向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得 出结论．请根据她的思路完成作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，点P在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点E，于点F． 求证：． 证明：如图，连接． ∵，，， ∴，，． ∵， ∴①　 　， 即． ∵②　 　， ∴， ∴③　 　． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④　 　． 14．（2024•渝中区校级二模）在中，，于点D，点E为线段上一点，连接 ，．用直尺和圆规，在的下方作，使得，交的延长线于点F，连 接． 小明想要研究两底角顶点B、C，底边高线上的点E，及该点关于底边的对称点F所形成的四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空： 证明：∵，， ∴　 　． 又∵，， ∴， ∴　 　． ∵， ∴　 　． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征． 请你依照题意完成下面命题： 在等腰三角形中， 　 　． 15．（2024•北碚区校级三模）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直 平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作 图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点E，O，F，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①　 　， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴③　 　， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 　 　． 16．（2024•重庆模拟）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图， 在中，点D、E分别为、的中点，连接，过点C在的右边作，使得 ，延长交于点F，然后通过证明和平行四边形来证明三 角形中位线定理， 请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在的右侧作，延长，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：，． 证明：∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴①　 　． 在和中， ， ∴， ∴③　 　，， ∵点D为的中点， ∴， ∴④　 　， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤　 　， ∴，． 17．（2024•九龙坡区二模）学习了平行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一 组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交 点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图 与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，交于点O，平分交于点E，平分交于点F． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　． ∴． 又∵平分，平分， ∴，②　 　． ∴． 又∵③　 　，， ∴． ∴． 小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段④　 　． 18．（2024•北碚区校级模拟）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和填空： （1）尺规作图：过点E作，分别交边、于点G、F． （2）已知：在正方形中，点E是对角线上一点，，分别交边、于点G、F．求证：． 证明：∵四边形是正方形 ∴平分，，． ∴　 　． 在和中， ， ∴． ∴，， 又∵， ， ∴， ∵， ∴　 　． ∵，且， ∴， ∵　 　， ∴． ∴　 　． ∴． 19．（2024•沙坪坝区校级一模）学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究．小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：∵，， ∴①　 　． 在与中， ， ∴， ∴③　 　， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 ④　 　． 20．（2024•大渡口区模拟）如图，在中，平分交于点E，连接，完成下列作图和填空． （1）利用尺规作平分交于点F，连接（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴①　 　． ∴． 在和中， ， ∴． ∴③　 　． ∴四边形为平行四边形． ∴④　 　． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$