第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第21章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．若m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 5．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 6．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 7．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 9．一元二次方程（a，b，c为常数，且）的两个根分别为则下列命题判断正确的是（　　） ①若，则也是方程的一个根． ②若x2也为方程和方程的一个根，则一定为零． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 10．已知多项式，其中x为任意实数，则下列结论中正确的有（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解； ④若分式的值为整数，则整数x的值有4个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 12．关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ． 13．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ． 16．中，，，是延长线上的一动点，M、N分别是的中点，则的最大值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17（8分）．解方程： (1)； (2)． 18（8分）．已知关于的方程． (1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． (2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值． 19（8分）．关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 20（8分）．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 21（8分）．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 22（10分）．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 23（10分）．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 24（12分）．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 25（14分）．材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的根完全由它的系数决定，当时有两根：，于是，两根之和为，两根之积为． 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，利用韦达定理可以快速求出两个方程的关系． 材料二：已知一元二次方程的两个根满足，且a、b、c分别是△ABC的的对边，若，求的度数 解题过程如下：， ． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵ ， ∴． 如图，过点B作，则． ∵， ∴， ∴． (1)在上题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么对应条件中的的值是多少？请说明理由； (2)已知一元二次方程的两根满足，且a、b、c分别是的的对边，若，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意； B、，若，不是一元二次方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．若m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ， 故选：C． 4．为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 5．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据一元二次方程的解法--配方法的过程，移项、配方(等式左右两边加上一次项系数一半的平方)、再结合完全平方公式将式子合并起来，即可解题． 【详解】解： ． 故选：B． 6．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 7．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 8．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得，小正方形边长为，故得的正数解为， 即，， 故选：C． 9．一元二次方程（a，b，c为常数，且）的两个根分别为则下列命题判断正确的是（　　） ①若，则也是方程的一个根． ②若x2也为方程和方程的一个根，则一定为零． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，配方法方应用，先利用方程的解的含义可判断①，把代入，和方程，三个方程再相加，结合配方法可判断②． 【详解】解：①把代入， 得， 得， 故也是方程的一个根．符合题意； ②把代入，和方程， 三个方程再相加， 得， ∴， ∵， ∴．故②符合题意； 故选：D． 10．已知多项式，其中x为任意实数，则下列结论中正确的有（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解； ④若分式的值为整数，则整数x的值有4个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式的值，熟练掌握，正确运用所学知识是解题的关键．解方程求得方程的解即可判断①；由得到，变形得到，直接代入即可判断②；解得方程的解即可判断③．由，即可确定整数x的值有3个，即可判断④． 【详解】若， 化简得， 解得， 故①错误； 则， 设， ， 故②正确； 若，则或． 当时，， 则此方程有两个不相等的实数解； 当时，， 则此方程有两个不相等的实数解， ∴原方程共有4个不相等的实数解，故③正确； ． ∵分式的值为整数， ， 解得． 当时，分母为0，舍去， ∴整数x的值有3个，故④错误． 综上，正确的结论有2个 故选：B 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时， ，是解题的关键． 直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ． 故答案为：． 12．关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 根据关于x的方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． 所以a的取值范围是． 故答案为：． 13．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 14．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及一元二次方程的求解，掌握同类二次根式的定义以及一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出等式，移项化简，再根据十字相乘法解得的两个值，再将的两个值代入与检验是否是最简二次根式与同类二次根式即可． 【详解】由题意得： 或 解得：，． 当时， ， ． 当时，与不是最简二次根式， （不合题意，舍去） 当时， ， ， 当时，与是最简二次根式， ． 16．中，，，是延长线上的一动点，M、N分别是的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式，设，，取的中点，连接，交于点E，则四边形是矩形，然后利用勾股定理得到和的长，然后设，则可得到，根据方程根的情况得到，解得，即可得到的最大值，然后计算即可． 【详解】解：设，，取的中点，连接，交于点E， ∵M、N分别是的中点， ∴，，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， 设，则， 整理得， 当时，，方程有根； 当时，方程有两个实数根， ∴， 即， 则或， 解得：且， ∴ ∴的最大值为， 即最大值为． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17（8分）．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）左边先进行因式分解，然后令每个因式为0即可． 【详解】（1）解： 或 或； （2） 或 或． 18（8分）．已知关于的方程． (1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． (2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)满足条件的正整数有1和2． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式． （1）利用一元二次方程根的判别式求得，从而即可得证； （2）利用求根公式求得，，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程的解都是正整数， ∴， 解得， ∴满足条件的正整数有1和2． 19（8分）．关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数k，使得和互为相反数，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，跟的判别式，解一元二次方程： （1）根据跟的判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， 解得， 又∵， ∴不存在实数k，使得和互为相反数． 20（8分）．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 【答案】(1)中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元，根据“购买的中果数量是大果数量的倍”，列方程即可求解； （2）先分别表示出网购中果、大果的数量和单价，再根据“这次购买车厘子的金额比上一次共多了元”，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 中果车厘子单价：（元）， 答：中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元； （2）水果店购买大果的数量：（斤）， 水果店购买中果的数量：（斤）， 网购中果的单价为：（元）， 网购大果的单价为：， 网购中果的数量：（斤）， 网购大果的数量：（斤）， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 21（8分）．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； （2）解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 22（10分）．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】(1)6，（或，6） (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【详解】（1）解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． （2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． （3）解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． 23（10分）．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 24（12分）．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 【答案】(1) (2)10 (3)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． （3）解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作，    ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 25（14分）．材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的根完全由它的系数决定，当时有两根：，于是，两根之和为，两根之积为． 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，利用韦达定理可以快速求出两个方程的关系． 材料二：已知一元二次方程的两个根满足，且a、b、c分别是△ABC的的对边，若，求的度数 解题过程如下：， ． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵ ， ∴． 如图，过点B作，则． ∵， ∴， ∴． (1)在上题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么对应条件中的的值是多少？请说明理由； (2)已知一元二次方程的两根满足，且a、b、c分别是的的对边，若，求n的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得出，从而可求出，，进而可由求解； （2）过点C作于点D．由等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．进而可求出，，最后再代入等式中，利用公式法解出n的值即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴； （2）如图，过点C作于点D． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴． ∴n的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，数据处理较大，较难．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$