专题02整式与分式（4考点）【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题02 整式与分式 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1整式运算判断 （5年4考） 2024·山西卷、2023·山西卷、2021·山西卷、2020·山西卷：同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方、整式的运算、乘法公式等 代数式及其运算，是初中数学运算的基础，近年整式运算属于必考题，在复习时，除需要强化计算外，还需注重图形排列的规律性探究，掌握用代数式表示一般规律的方法。 考点2 数学思想 （5年1考） 2021·山西卷：图形直观推论、验证数学规律和公式的方法 考点3 代数式表示规律 （5年2考） 2023·山西卷、2020·山西卷：图形的排列、归纳图形的变化规律 考点4 代数式运算 （5年4考） 2023·山西卷：整式运算 2024·山西卷、2022·山西、2020·山西卷：分式运算 考点1整式运算判断 1. （2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。 【详解】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意； B：， 原选项错误，不合题意； C：，原选项错误，不合题意； D： ，原选项正确，符合题意； 故答案为：D. 2. （2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. （2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 4. （2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键． 考点2 数学思想 5. （2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 考点3 代数式表示规律 6. （2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 7. （2020·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有 个三角形（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图案有3+1=4个三角形， 第2个图案有3×2+ 1=7个三角形， 第3个图案有3×3+ 1=10个三角形， ... 第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形． 故答案为（3n+1）． 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键． 考点4 代数式运算 8. （2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 9. （2024·山西·中考真题）化简：． 【分析】先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可. 【详解】解：原式． 10. （2023·山西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键． 11. （2020·山西·中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析． 【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式． 【详解】解：任务一： ①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； 故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； ②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二： 解； ． 任务三： 解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等． 12. （2024·山西晋中·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、平方差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、平方差公式、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；     B. ，故本选项错误，不符合题意；     C. ，故本选项错误，不符合题意；         D. ，故本选项正确，符合题意．     故选D． 13. （2024·山西太原·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，异分母分式的加法等知识．根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，异分母分式的加法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，正确，故符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：B． 14. （2024·山西阳泉·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，积的乘方运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．∵，错误，不符合题意． B．∵，错误，不符合题意． C．∵，错误，不符合题意． D．，正确，符合题意． 故选：D． 15. （2024·山西晋城·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了去括号法则、同底数幂的除法、单项式的乘法、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 16. （2024·山西太原·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 17. （2024·山西长治·三模）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、单项式除以单项式及平方差公式可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 18. （2024·山西朔州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合负整数指数幂，零指数幂化简进行有理数的加法，按照有理数的除法法则计算，以及单项式除以单项式法则，幂的乘方，积的乘方化简,即可逐一判断各选项． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的加法，有理数的除法，幂的乘方，单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键． 19. （2024·山西大同·二模）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及合并同类，多项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、完全平方公式及合并同类，多项式除以单项式，进行求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，所以原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 20. （2024·山西晋城·二模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 21. （2024·山西朔州·三模）如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（   ）    A．统计思想 B．分类思想 C．函数思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：D． 22. （2024·山西吕梁·一模）青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（   ） A．方程思想 B．分类讨论思想 C．模型思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．这种探究问题的方法体现了数形结合思想． 【详解】将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想． 23. （2024·山西临汾·一模）在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．统计思想 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的推导以及数学思想，根据图形中的等量关系推导出平方差公式，属于数形结合思想．结合图象可以知道前后两个图形的面积相等，即两种不同的面积表示方式，根据面积相等即可推导出平方差公式，属于数形结合的数学思想． 【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出平方差公式，属于数形结合思想． 故选：A． 24. （2024·山西忻州·三模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减．根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可． 【详解】解：， 故选：B． 25. （2024·山西吕梁·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加法，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握分式的加法，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后计算分式的加法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 26. （2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 张先生实际支付的费用是：元， 故答案为：． 27. （2024·山西晋中·一模）如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握平方差公式是解题关键．用矩形的面积减去小正方形的面积列式，再化简即可． 【详解】解：这个舞台的面积为， 故答案为：． 28. （2024·山西大同·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十一烷的化学式为， 故答案为：． 29. （2024·山西晋中·一模）如图是小明用火柴棒摆的“金鱼”图案，第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒……依此规律，第n个图案用 根火柴棒（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律以及列代数式表达式，先本每个图形的火柴棒的数量研究其规律，再总结出第n个图案用根火柴棒，即可作答． 【详解】解：∵第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒…… ∴第1个图案：， 第2个图案， 第3个图案， …… ∴第n个图案用根火柴棒 故答案为： 30. （2024·山西临汾·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的基本图形组成．第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆……按此规律，第n个图案中圆的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】 本题主要考查了图形规律探索题，根据图形中圆的个数变化总结出规律并用代数式表示即可． 【详解】解：第1个图案中有个圆， 第2个图案中有个圆， 第3个图案中有个圆， 第4个图案中有个圆， ．．． 第n个图案中圆的个数为：个圆， 故答案为：． 31. （2024·山西太原·三模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形组成，第（1）个图案有3个正方形，第（2）个图案有8个正方形，第（3）个图案有14个正方形，…依此规律，第个图案有 个正方形（用含n的代数式表示）．    【答案】 【分析】由题意知，正方形的个数为所有的正方形的总和，据此可得第个图形中正方形的个数．本题主要考查图形的变化规律． 【详解】解：第1个图形中正方形的个数为个，3小正方形， 第2个图形中正方形的个数为个，6个小正方形，2个大正方形 即； 第3个图形中正方形的个数为14个，9个小正方形，4个中正方形，1个大正方形 即； 第4个图形中正方形的个数为18个，12个小正方形，6个中正方形，2个大正方形 即； 以此类推 第个图形中正方形的个数， 故答案为：． 32. （2024·山西大同·三模）观察下列等式： ， ， ， ， 照此规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，较强的类比归纳能力是解题的关键．根据已有等式类比归纳出第n个等式即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤， …… 第n个等式为：． 故答案为：． 33. （2024·山西大同·三模）如图所示，用棋子摆成英文字母“”字样，按这样的规律摆下去，摆成第n个“”字需要 个棋子．（用含n的式子表示）    【答案】/ 【分析】本题考查图形变化的规律，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可能根据所给图形发现所需棋子的个数依次增加4是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 摆成第1个“”字需要的棋子个数为： 摆成第2个“”字需要的棋子个数为： 摆成第3个“”字需要的棋子个数为： ， 所以摆成第n个“”字需要的棋子个数为：个， 故答案为： 34. （2024·山西晋城·三模）将某工厂5台A型机器一天生产的产品装入同样规格的包装箱内，装满8箱后还剩余4个产品．若每台A型机器一天可生产x个产品，则每个包装箱可装 个产品（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键．先求出5台型机器一天可生产个产品，再根据装满8箱后还剩余4个产品列出代数式即可得． 【详解】解：由题意可知，5台型机器一天可生产个产品， 因为个产品装满8箱后还剩余4个产品， 所以每个包装箱可装的产品个数为个， 故答案为：． 35. （2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 根小木棒．（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键； 根据图案找出规律即可． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， ∴第个图案中有个； 故答案为：． 36. （2024·山西朔州·三模）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由4个小正六边形组成，第2个图形由6个小正六边形组成，…，按此规律，则第n个图形需要 根火柴棍（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查图形的变化规律，熟练掌握整式的运算是解题的关键． 由第一个图形有22条线段，第二个图形有，后一个图比前一个图多11条线段，由此找到规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有22条线段， 第二个图形有， 第三个图形有， 后一个图比前一个图多11条线段， ∴第个图形有：， 故答案为：． 37. （2024·山西忻州·二模）数学美的表现形式是多种多样的，如图是由一些火柴搭成的“美”字的图案．图①中用了根火柴，图②中用了根火柴，图③中用了根火柴，…，按照此规律，图中用了 根火柴（用含的代数式表示）．    【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据题目中的图形，可以发现火柴根数的变化规律，从而可以得到摆第个图案用多少根火柴棒． 【详解】解：∵图①中火柴数量为， 图②中火柴数量为， 图③中火柴数量为， …… ∴摆第个图案需要火柴棒根． 故答案为：． 38. （2024·山西阳泉·一模）如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，第1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，…按此规律摆下去，第n个图案中有 个平行四边形．    【答案】 【分析】本题考查了图形规律，根据第1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，得出第n个图案中有个平行四边形，即可作答． 【详解】解：依题意， 第1个图案中有个平行四边形， 第2个图案中有个平行四边形， 第3个图案中有个平行四边形， …… 则第n个图案中有个平行四边形， 故答案为： 39. （2024·山西阳泉·三模）分解因式：． 【答案】 【分析】先化．简，再利用平方差公式分解 【详解】解： ． 40. （2024·山西忻州·三模）化简：． 【答案】 【分析】根据异分母的通分，提公因式、平方差公式因式分解的整式的运算法则即可求解． 【详解】原式= ． 41. （2024·山西朔州·二模）化简：． 【答案】 【分析】先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 42. （2024·山西吕梁·一模）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的多项式乘以单项式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式即可求解； 本题考查了解不等式和整式的运算，解题的关键是熟练掌握不等式的解法及熟知相关计算法则． 【详解】解：原式， ， ． 43. （2024·山西大同·二模）化简：． 【答案】 【分析】根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式 44. （2024·山西太原·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】根据分式的乘除法，完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 45. （2024·山西晋城·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先运用分式的运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 46. （2024·山西运城·三模）先化简再求值：，其中． 【答案】；2024 【分析】先运用平方差公式以及完全平方公式化解，然后再整体代入求解即可． 【详解】解： 原式 ∵， 原式 47. （2024·山西太原·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则计算，再代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 48. （2024·山西太原·三模）已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 【答案】①和③，化简结果为，多项式A的值为23 【分析】由解题步骤可知①一次项系数应为4，③去括号时未变号；根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将整体代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：①应为，③应为． 故答案为：①和③； ． 当时，原式． 49. （2024·山西晋城·三模）下面是小宇同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式……………第一步 ………………………第二步 …………………第三步 ………………第四步 ． …………………………第五步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分． ②第______步开始出现错误． 任务二：请直接写出原题目分式运算后的正确结果． 【答案】任务一：①三；②四；任务二： 【分析】任务一：①通分在第三步；②第四步开始出现错误；任务二：先分式除法换作乘法，分解因式约分，再通分相减，化简即得． 【详解】任务一： ①第三步进行通分； ②第四步开始出现错误； 故答案为：①三；②四； 任务二： 原式 ． 50. （2024·山西晋城·三模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 公元1202年，意大利数学家斐波那契在所著的《算法之术》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔子（雌雄各一只）一个月后就能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子，每产一对兔子必为一雄一雌，并且此后每个月都生一对小兔子，一年内没有发生死亡．问一对刚出生的兔子（雌雄各一只），一年内能繁殖多少对兔子？ 第一个月是一对未成熟的兔子，第二个月是一对成熟的兔子，第三个月是两对兔子，第四个月是三对兔子，第五个月是五对兔子，如此不断繁殖……于是便得到数列①：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即斐波那契数列． 若将该数列每个数平方后得到数列②：1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，7921，…… 若将数列②中相邻的两个数相加：，，，，……得到的数仍旧是斐波那契数列中的数． 任务： (1)根据材料中的数列①和数列②，我们得到：；；，类比前三个算式，请写出下一个算式_________． (2)如图，表示算式“”，请你用同样的画法画出表示（1）中你写出算式的图形并标记相应的数字． 1 1 3 2 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用及数字类规律探索， （1）根据前三个式子的规律直接写出第四个算式即可； （2）根据图示直接画图表示即可． 【详解】（1）解：根据材料中的数列①和数列②，我们得到： ； ； ， 类比前三个算式， ； （2）， 下图表示（1）中算式： 1 1 3 8 2 5 51. （2024·山西阳泉·一模）阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示： 如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 【答案】(1)B (2)，见解析 (3)11 【分析】（1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为，即可求解， 本题考查了多项式的除法，解题的关键是：掌握多项式除多项式的运算规则． 【详解】（1）解：根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：， （3）解： ∵余式为，， ∴商式的最后一项为，，解得：， 故答案为：． 52. （2024·山西吕梁·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 妙用平方差公式解决问题 学完平方差公式后，王老师展示了以下例题： 例计算：． 观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算， 为使等式恒成立，需将式子整体再乘2． 解：原式 ． 以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程， 任务： (1)请仿照上述方法计算：； (2)请认真观察，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）将2转化成后，利用平方差公式和题中的规律计算即可得到结果； （2）首先根据平方差公式计算，然后计算括号内，然后计算有理数的乘法求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 53. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． 奇妙的“条件等式” 我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式． 下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？ 探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得 将等式左边分解因式，得， 移项，得． 将左边继续分解因式，得， 因为，所以等式成立的条件应为． 运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如： ，，… 推广：… 任务： (1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整； ：_______；：_______； (2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式： ． (3)小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立． 【答案】(1)，； (2)，； (3)证明见解析． 【分析】（）利用因式分解即可求解； （）根据（）中的即可求解； （）本题考查了因式分解和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）根据， ， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）由（）得：， 则，解得：， 故答案为：，； （3）证明：等式左边， ， ， ， 等式右边， ， ， ， 左边右边，等式成立． 54. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 【答案】（1）①，②有两个相等的实数根，③一；（2）：或6；（3）：用配方法求二次函数的顶点坐标 【分析】本题考查完全平方公式，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据给定的等式得出规律求①，根的判别式求②，抛物线与轴的交点个数求③； （2）根据规律列出一元二次方程，求解即可； （3）配方法求二次函数的顶点坐标． 【详解】解：（1）多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为， ∴， ∴可以看成一元二次方程根的情况为有两个相等的实数根，也可以看成抛物线与轴有一个交点； 故答案为：①，②有两个相等的实数根，③一； （2）由题意，可得：， 解得：或； （3）例如：用配方法求二次函数的顶点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式与分式 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1整式运算判断 （5年4考） 2024·山西卷、2023·山西卷、2021·山西卷、2020·山西卷：同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方、整式的运算、乘法公式等 代数式及其运算，是初中数学运算的基础，近年整式运算属于必考题，在复习时，除需要强化计算外，还需注重图形排列的规律性探究，掌握用代数式表示一般规律的方法。 考点2 数学思想 （5年1考） 2021·山西卷：图形直观推论、验证数学规律和公式的方法 考点3 代数式表示规律 （5年2考） 2023·山西卷、2020·山西卷：图形的排列、归纳图形的变化规律 考点4 代数式运算 （5年4考） 2023·山西卷：整式运算 2024·山西卷、2022·山西、2020·山西卷：分式运算 考点1整式运算判断 1. （2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2. （2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2 数学思想 5. （2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 考点3 代数式表示规律 6. （2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    7. （2020·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有 个三角形（用含的代数式表示）． 考点4 代数式运算 8. （2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9. （2024·山西·中考真题）化简：． 10. （2023·山西·中考真题）计算：． 11. （2020·山西·中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 12. （2024·山西晋中·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13. （2024·山西太原·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 14. （2024·山西阳泉·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 15. （2024·山西晋城·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 16. （2024·山西太原·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 17. （2024·山西长治·三模）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 18. （2024·山西朔州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 19. （2024·山西大同·二模）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 20. （2024·山西晋城·二模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 21. （2024·山西朔州·三模）如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（   ）    A．统计思想 B．分类思想 C．函数思想 D．数形结合思想 22. （2024·山西吕梁·一模）青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（   ） A．方程思想 B．分类讨论思想 C．模型思想 D．数形结合思想 23. （2024·山西临汾·一模）在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．统计思想 24. （2024·山西忻州·三模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 25. （2024·山西吕梁·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 26. （2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 27. （2024·山西晋中·一模）如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 28. （2024·山西大同·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为 ． 29. （2024·山西晋中·一模）如图是小明用火柴棒摆的“金鱼”图案，第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒……依此规律，第n个图案用 根火柴棒（用含n的代数式表示）． 30. （2024·山西临汾·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的基本图形组成．第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆……按此规律，第n个图案中圆的个数为 ．（用含n的代数式表示） 31. （2024·山西太原·三模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形组成，第（1）个图案有3个正方形，第（2）个图案有8个正方形，第（3）个图案有14个正方形，…依此规律，第个图案有 个正方形（用含n的代数式表示）．    32. （2024·山西大同·三模）观察下列等式： ， ， ， ， 照此规律，第个等式为 ． 33. （2024·山西大同·三模）如图所示，用棋子摆成英文字母“”字样，按这样的规律摆下去，摆成第n个“”字需要 个棋子．（用含n的式子表示）    34. （2024·山西晋城·三模）将某工厂5台A型机器一天生产的产品装入同样规格的包装箱内，装满8箱后还剩余4个产品．若每台A型机器一天可生产x个产品，则每个包装箱可装 个产品（用含的代数式表示）． 35. （2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 根小木棒．（用含的代数式表示）    36. （2024·山西朔州·三模）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由4个小正六边形组成，第2个图形由6个小正六边形组成，…，按此规律，则第n个图形需要 根火柴棍（用含n的代数式表示）． 37. （2024·山西忻州·二模）数学美的表现形式是多种多样的，如图是由一些火柴搭成的“美”字的图案．图①中用了根火柴，图②中用了根火柴，图③中用了根火柴，…，按照此规律，图中用了 根火柴（用含的代数式表示）．    38. （2024·山西阳泉·一模）如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，第1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，…按此规律摆下去，第n个图案中有 个平行四边形．    39. （2024·山西阳泉·三模）分解因式：． 40. （2024·山西忻州·三模）化简：． 41. （2024·山西朔州·二模）化简：． 42. （2024·山西吕梁·一模）化简：． 43. （2024·山西大同·二模）化简：． 44. （2024·山西太原·二模）先化简，再求值：，其中． 45. （2024·山西晋城·三模）先化简，再求值：，其中，． 46. （2024·山西运城·三模）先化简再求值：，其中． 47. （2024·山西太原·三模）先化简，再求值：，其中． 48. （2024·山西太原·三模）已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 49. （2024·山西晋城·三模）下面是小宇同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式……………第一步 ………………………第二步 …………………第三步 ………………第四步 ． …………………………第五步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分． ②第______步开始出现错误． 任务二：请直接写出原题目分式运算后的正确结果． 50. （2024·山西晋城·三模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 公元1202年，意大利数学家斐波那契在所著的《算法之术》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔子（雌雄各一只）一个月后就能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子，每产一对兔子必为一雄一雌，并且此后每个月都生一对小兔子，一年内没有发生死亡．问一对刚出生的兔子（雌雄各一只），一年内能繁殖多少对兔子？ 第一个月是一对未成熟的兔子，第二个月是一对成熟的兔子，第三个月是两对兔子，第四个月是三对兔子，第五个月是五对兔子，如此不断繁殖……于是便得到数列①：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即斐波那契数列． 若将该数列每个数平方后得到数列②：1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，7921，…… 若将数列②中相邻的两个数相加：，，，，……得到的数仍旧是斐波那契数列中的数． 任务： (1)根据材料中的数列①和数列②，我们得到：；；，类比前三个算式，请写出下一个算式_________． (2)如图，表示算式“”，请你用同样的画法画出表示（1）中你写出算式的图形并标记相应的数字． 1 1 3 2 51. （2024·山西阳泉·一模）阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示： 如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 52. （2024·山西吕梁·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 妙用平方差公式解决问题 学完平方差公式后，王老师展示了以下例题： 例计算：． 观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算， 为使等式恒成立，需将式子整体再乘2． 解：原式 ． 以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程， 任务： (1)请仿照上述方法计算：； (2)请认真观察，计算：． 53. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． 奇妙的“条件等式” 我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式． 下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？ 探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得 将等式左边分解因式，得， 移项，得． 将左边继续分解因式，得， 因为，所以等式成立的条件应为． 运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如： ，，… 推广：… 任务： (1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整； ：_______；：_______； (2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式： ． (3) 小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立． 54. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$