（典型应用题专项讲义）专题9 牛吃草问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题9-牛吃草问题 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．因此解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长出的草的数量． 2、解答流程。 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 3、基本公式。 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： （1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）； （2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 【典例一】某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按一定的速度流入水库．为了防洪，需调节泄水速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，经30个小时水位降至安全线；若同时打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求用2.5小时使水位降至安全线下，问至少要同时打开　　个闸门． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪1份，先求上游的河水的增加速度为：（份；再求安全线以上的原有的水量为：（份；至少要同时打开个闸门个数为：个，为了确保在2.5个小时内使水位降至安全线以下，需要用“进一法”求出得数． 【解答】解：设每个泄洪闸每小时泄洪1份， （份 （份 （个； 答：要求在2.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开7个． 故选：． 【点评】点评：本题是牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时的泄洪量）和草地原有的份数（本题相当于安全线以上的原有的水量）． 【典例二】一个蓄水池，每分钟流入4立方水，如果打开5个水龙头，2.5小时就可把水池里的水放完，如果打开8个水龙头，1.5小时就可把水池里的水放完．现在打开13个水龙头，问　 　小时可把水池的水放完． 【分析】平均每个水龙头每小时放水1份，5个水龙头2.5小时放水12.5份，8个水龙头1.5小时放水12份，每小时流入水份，2.5小时流入水份，原来有水份，13个水龙头需要时间小时． 【解答】解：设平均每个水龙头每小时放水1份， ， ， ， ； ， ， ， （小时）； 答：现在打开13个水龙头，0.9小时可把水池的水放完． 【点评】对于这类题目，题里已知条件较多，看上去比较复杂，一定要理清题里数量间的关系，找到解决问题的突破口，在这里每小时放水1份，找到每小时流入水的份数，就是关键点，下面的问题就好算了． 【典例三】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为份，每天每公顷新长草量为份，根据“4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：，①；再根据“7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：，②，然后解①②两个方程得，；那么可以求出40公顷可供60头牛吃：天；据此解答． 【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为份，每天每亩新长草量为份， ，① ，② 把方程①②联立，解得：，； 那么： ， （天； 答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草． 【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数吃草较多的天数牛头数吃草较少的天数）（吃的较多的天数吃的较少的天数）草地每天新长草的量；牛的头数吃草天数每天新长量吃草天数草地原有的草量． 一．选择题（共3小题） 1．一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃　　天． A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据题意，设每头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供30头羊吃的天数． 【解答】解：设每头羊每天吃“1”份草， 每天新生草量为： ， ， ， （份； 原有草量为： （份， 30头羊吃的天数： ， ， （天； 答：这片牧草可供30头羊吃4天， 故选：． 【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头羊每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决． 2．有20个玩具被丢在地板上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板上放到玩具盒里，但30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，那么小红和她妈妈需要　　秒才能把20个玩具都放到玩具盒中． A．510 B．540 C．570 D．600 【分析】由于30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，相当于妈妈每个30秒只放到筐里个玩具，由于第一次小红不再从玩具盒拿出两个玩具，所以前个玩具，需要个30秒，然后再加上最后一个30秒即可． 【解答】解： （秒 答：小红和她妈妈需要540秒才能把20个玩具都放到玩具盒中． 故选：。 【点评】本题类似于牛吃草问题，关键是求出前个玩具需要的时间． 3．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按一定的速度流入水库．为了防洪，需调节泄水速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，经30个小时水位降至安全线；若同时打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求用2.5小时使水位降至安全线下，问至少要同时打开　　个闸门． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪1份，先求上游的河水的增加速度为：（份；再求安全线以上的原有的水量为：（份；至少要同时打开个闸门个数为：个，为了确保在2.5个小时内使水位降至安全线以下，需要用“进一法”求出得数． 【解答】解：设每个泄洪闸每小时泄洪1份， （份 （份 （个； 答：要求在2.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开7个． 故选：． 【点评】点评：本题是牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时的泄洪量）和草地原有的份数（本题相当于安全线以上的原有的水量）． 二．填空题（共7小题） 4．画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众到达起，每分钟来的观众数量一样多，如果开设3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开设5个入场口，则9点5分就不再有人排队，那么第一个观众到达的时间是 　8点15分　。 【分析】9点开门，开3个入场口，9点9分就不再有人排队，开5个入场口，9点5分就没有人排队，由此可得来人的速度为，开门之前来人为，第一个观众来的时间距开门时间：分，再用9时减去45分即可求出答案。 【解答】解： （分 9时分时15分 答：第一个观众到达的时间是8点15分。 故答案为：8点15分。 【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题。 5．乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时：如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机 　8　个小时。 【分析】”手机只要是开着，无论是否通话都要耗电“。所以设手机每小时耗电1份，电池存电量为份，纯通话1小时的耗电量为份，当然这段时间，即1小时手机耗电1份；故9小时里面就包括了通话1小时手机耗电的那1份了。综上可知：她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她已经用了60分钟来通话，电池还储存的电量为份，这样便可求出手机还能维持的时间为小时。 【解答】解：设手机每小时耗电为1份，则 （份 （份 （份 （小时） 答：该手机还能再持续待机8个小时。 故答案为：8。 【点评】此题解答的关键就是要明白：1：通话时的耗电量由2部分组成；小时的耗电量中包括了通话1小时的耗电量。 6．一块牧场长满了牧草，每天草都在匀速生长．这块牧场上的草可供10头牛吃20天，也可供15头牛吃10天．那么，这块牧场上的草可供25头牛吃　5　天。 【分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“牧场上的草可供10头牛吃20天，也可供15头牛吃10天．”，求出草的生长速度为：份，原有草的份数为：份，每天生长的5份的草，可供5头牛吃，剩下的头牛，就可吃原有的100份的草，可以吃：（天，问题得解． 【解答】解：设每头牛每天吃一份的草， 草的生长速度为： ， ， 份； 原有草的份数为： ， ， 份； 牧场上的草可供25头牛吃的天数为： ， ， （天； 答：这块牧场上的草可供25头牛吃5天． 故答案为：5． 【点评】本题是一道典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数． 7．一片草地，可供16只羊吃30天，或可供20只羊吃18天，那么可供15只羊吃　36　天，要想使这片草地能供羊吃的时间尽可能地长，最多应该放养　 　只羊． 【分析】设每只羊每天吃草1份，根据“可供16只羊吃30天，或可供20只羊吃18天，”，可以先求出草的生长速度，列式为：（份；再求出草地原有的份数，列式为：（份；然后拿出10只羊吃每天生长的10份的草，剩下的5只吃草地原有的180份，那么需要的时间为：天；要想使这片草地能供羊吃的时间尽可能地长，养只能吃每天生长的10份的草，即最多应该放养10只羊． 【解答】解：设每只羊每天吃草1份， ， ， （份； ， ， （份； ， ， （天； 要想使这片草地能供羊吃的时间尽可能地长，养只能吃每天生长的10份的草，即最多应该放养10只羊． 答：可供15只羊吃36天，要想使这片草地能供羊吃的时间尽可能地长，最多应该放养10只羊． 故答案为：36，10． 【点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和草地原有的份数． 8．某火车站的检票口在开始检票前已有945名旅客排队等待检票，此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站．如果开放4个检票口，15分钟放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客．照此检票的速度．现要想在5分钟内放完所有旅客．需要开放　11　个检票口． 【分析】设1个检票口1分钟检票的人数为1份，先求出每分钟新来的旅客份数，再求出检票开始前排队的原来人数用份表示，最后即可求出在5分钟内全部进馆的旅客人数份数，再除以5就是需要打开检票口的个数． 【解答】解：由分析得出： 设每个检票口每分钟检票的人数为1份， 则新增：（份 原有：（份 5分钟新来的人的份数为：（份 现在人数一共有：（份 （个． 答：需要设立11个检票口． 故答案为：11． 【点评】解答此题的关键是，设出1个检票口1分钟检票的人数，最后求出最后人数的总份数，问题即可解决． 9．一片青草，每天生长的速度相同，现在这片青草可供10头牛和60只羊一起吃8天；或者8头牛32只羊吃20天．已知一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么可供80只羊吃　12　天． 【分析】根据“一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，”那么10头牛的吃草量就等于只羊的吃草量；8头牛的吃草量就等于头牛的吃草量； 设每只羊每天吃草1份，根据“只羊吃8天，或供只羊吃20天”可以求出草每天生长的份数：（份；再根据“只羊吃8天”可以求出草地原有的草的份数：（份；由于草每天生长40份，可供80只中的40只羊吃，剩下40只吃草地原有的480份草，可以吃（天；问题得解． 【解答】解：设每只羊每天吃草1份，把牛的头数转化为羊的只数为： （只，（只； 草每天生长的份数： ， ， ， （份； 草地原有的草的份数： （份； 80只羊所吃天数为： ， ， （天； 答：那么可供80只羊吃12天． 【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件“10头牛和60只羊一起吃8天；或者8头牛32只羊吃20天”求出；本题需要注意把牛的头数转化为羊的只数便于解答． 10．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完、请问： （1）要使得草永远吃不完，最多可以放养 　12　头牛； （2）如果放养36头牛，　　天可以把草吃完． 【分析】假设每头牛每天吃的草为1份，根据24头牛6天可吃完；21头牛8天可吃完时，两种情况下牛的吃草量，再根据每天草的生长量多吃的草的量多吃的天数，求出每天草的生长量，然后再求出原来草的总量； （1）要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．最后根据至多放的牛的头数每天草的生长量每头牛每天吃的草（也就是解答； （2）如果放养36只牛，那么每天减少36份草，草每天生长的够12头牛吃，剩下的头牛吃原来的草的总量，这样可以吃的天数为：（天． 【解答】解：假设每头牛每天吃的草为1份； 每天草的生长量： （份 原来草的总量： （份 （1）（头 答：要使草永远吃不完，至多放12头牛． （2） （天 答：如果放养36头牛，3天可以把草吃完． 故答案为：12，3． 【点评】首先要明确：要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．只要根据两种情况下求出草每天的生长量即可解答． 三．解答题（共10小题） 11．片草地如果9头牛吃．12天吃完所有的草，如果8头牛吃，16天吃完所有的草．现在开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再6天吃完所有草．问增加了多少头牛？ 【分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“12天吃完所有的草，如果8头牛吃，16天吃完所有的草．”，草的生长速度为：份，原有草的份数为：份，4头牛前6天一共吃了：份，还剩下份，后六天一共吃的草的份数为：份，6天吃完所有草需要牛的头数是：头，增加了头牛． 【解答】解：设每头牛每天吃一份的草， 草的生长速度为： ， ， 份， 原有草的份数为： ， ， 份， 4头牛前6一共吃了：份， 还剩下：份， 后六天一共吃的草的份数为：份， 增加牛的头数是：（头． 答：增加了10头牛． 【点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数． 12．近期发现非洲某地区有一部分已感染某种病菌，而且这种病菌按照一定的速度匀速传播．现在联合国准备派出部分专家进行防治．如果派出60名专家，需要20天能彻底控制这种病菌；如果派出65名专家，需要18天能彻底控制这种病菌．如果要在10天内控制住这种病菌，至少需要派出多少名专家？ 【分析】设每名专家每天控制1份病菌传播，病菌每天的传播速度为：（份；原有病菌的份数为：（份；如果要在10天内控制住这种病菌，至少需要派出：（人． 【解答】解：， ， （份； ， （份； ， ， （人； 答：如果要在10天内控制住这种病菌，至少需要派出105名专家． 【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度（本题相当于病菌每天的传播速度），和原有草的总份数（本题相当于原有病菌的份数）． 13．由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？ 【分析】解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量．其解法和解决牛吃草问题类似． 设每个打字员1天打字量为1份，则5名打字员24天打了份，9名打字员12天打了份；那么天增加份，可以求出每天增加材料是份；进而可以求出原来的材料有：份；工作8天这时的材料是：份，又由于“每大新增的需要打印的材料少了一半，”所以后天新增的需要打印的材料为：份，那么40天实际材料总量是：份，继而可以求出公司聘任的人数：人，这样问题得解． 【解答】解：设每个打字员1天打字量为1份，则5名打字员24天打了：（份， 9名打字员12天打了：（份； 材料每天增加的份数：， ， （份； 原来的材料有：（份； 40天实际材料总量是： ， ， （份； 公司聘任的人数：（人． 答：公司聘任了3名打字员． 【点评】本例把聘任制问题迁移到了牛吃草问题中，利用题中的两种假设求出材料每天增加的份数和原来的材料的份数；然后再求出40天实际材料总量为本题解答的关键；这种简便新颖的解法我们需要在以后的这种类型题中灵活运用． 14．某地有一块草场，假设每天草场的草都在均匀生长，这片草场经过测算可供9只羊吃20天，或可供15只羊吃10天，如果供18头羊吃，可吃几天？ 【分析】根据题意，设每只头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供18只羊吃的天数． 【解答】解：设每只羊每天吃“1”份草， 每天新生草量为： ， ， ， （份； 原有草量为： （份， 18只羊吃的天数： ， ， （天； 答：这片牧草可供18只羊吃8天， 【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每只羊每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决． 15．牛顿问题 英国伟大的科学家牛顿曾经写过一本数学书．书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”． “牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽．如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的．”你也算一算吧！ 【分析】这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：牧场原有的草和6天新长的草，即27头牛6天所吃的牧草：，再求出牧场原有的草和9天新长的草，即23头牛9天所吃的牧草：；1天新长的草为：；牧场上原有的草为：；每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草，即为所求． 【解答】解：（1）27头牛6天所吃的牧草为：，（这162包括牧场原有的草和6天新长的草． （2）23头牛9天所吃的牧草为： （这207包括牧场原有的草和9天新长的草． （3）1天新长的草为： （4）牧场上原有的草为： （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草： （天 答：养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽． 【点评】由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的． 16．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果给4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？ 【分析】设一人1天的饮酒量为1份，每天漏酒的量为：（份，据此即可求出这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天． 【解答】解：设一人1天的饮酒量为1份， 每天漏酒的量为： （份， （人 答：这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天． 【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出桶中酒漏的份数为本题解答的突破口． 17．一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共多少天可以把草吃完．假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同． 【分析】设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛8天吃：（份，15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃，（份， 那么（天共长草5份，原来有草：（份，15头牛2天吃草：（份，还剩（份．那么又来了5头牛，20头牛可吃：，计算即可． 【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛8天吃：（份， 15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃：（份， 那么（天共长草（份， 原来有草：（份， 15头牛2天吃草：（份，还剩（份． 那么又来了5头牛，20头牛可吃：（天， 一共需要（天 答：总共需要6天吃完草． 【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 18．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完，仓库里原有的存货若用1辆汽车运，则需要多少天运完？ 【分析】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运份，5辆6天能运份，相差份，这6份就是仓库在天内进仓的，每天进仓份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完． 【解答】解：假设每辆汽车每天能运走的货物为1份， 4辆9天能运份， 5辆6天能运份， 相差份， 这6份就是仓库在天内进仓的， 每天进仓份 仓库原来有： （份 一辆运原来的份数，一共要运：（天 答：需要18天运完． 【点评】本题考查了牛吃草问题，关键是得出仓库原来有的份数． 19．有一满池水，池底不断有泉水涌出，若用24部抽水机6天可以抽干池水，若用21部抽水机8天可以抽干，若要使这一池水永远抽不干，则最多只能用几部抽水机抽水？ 【分析】根据题意，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，即设每部抽水机每天的抽水量为1份，就可以分别求出24部抽水机6天的抽水量，和21部抽水机8天的抽水量；再用这两部分的抽水量的差除以所用天数的差．由此列式解答． 【解答】解：设每部抽水机每天的抽水量为1份， （份 （份 （份 要使这一池水永抽不干，就只能抽每天涌进的水量，不能抽原有的水，所以需要12部抽水机． 答：最多只能用12部抽水机抽水． 【点评】此题的解答关键是理解要使这一池水永抽不干，就只能抽每天涌进的水量，不能抽原有的水． 20．已知一片草地上的草可供10头牛吃8天，或可供12头牛吃6天，假设草每天的生长的速度是一样的．请问：为了维持可持续发展（即不能把草吃完），这片草地最多能养活多少头牛？ 【分析】要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．假设每头牛每天吃的草为1，先求出10头牛吃8天，或可供12头牛吃6天时，两种情况下牛的吃草量，再根据每天草的生长量多吃的草的量多吃的天数，求出每天草的生长量，最后根据至多放的牛的头数每天草的生长量每头牛每天吃的草（也就是解答． 【解答】解：假设每头牛每天吃的草为1， （头 答：这片草地最多能养活4头牛． 【点评】解答本题时首先要明确：要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．只要根据两种情况下求出草每天的生长量即可解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-牛吃草问题 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．因此解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长出的草的数量． 2、解答流程。 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 3、基本公式。 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： （1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）； （2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 【典例一】某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按一定的速度流入水库．为了防洪，需调节泄水速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，经30个小时水位降至安全线；若同时打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求用2.5小时使水位降至安全线下，问至少要同时打开　　个闸门． A．7 B．8 C．9 D．10 【典例二】一个蓄水池，每分钟流入4立方水，如果打开5个水龙头，2.5小时就可把水池里的水放完，如果打开8个水龙头，1.5小时就可把水池里的水放完．现在打开13个水龙头，问　 　小时可把水池的水放完． 【典例三】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 一．选择题（共3小题） 1．一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃　　天． A．6 B．5 C．4 D．3 2．有20个玩具被丢在地板上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板上放到玩具盒里，但30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，那么小红和她妈妈需要　　秒才能把20个玩具都放到玩具盒中． A．510 B．540 C．570 D．600 3．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按一定的速度流入水库．为了防洪，需调节泄水速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，经30个小时水位降至安全线；若同时打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求用2.5小时使水位降至安全线下，问至少要同时打开　　个闸门． A．7 B．8 C．9 D．10 二．填空题（共7小题） 4．画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众到达起，每分钟来的观众数量一样多，如果开设3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开设5个入场口，则9点5分就不再有人排队，那么第一个观众到达的时间是 　　。 5．乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时：如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机 　　个小时。 6．一块牧场长满了牧草，每天草都在匀速生长．这块牧场上的草可供10头牛吃20天，也可供15头牛吃10天．那么，这块牧场上的草可供25头牛吃　　天。 7．一片草地，可供16只羊吃30天，或可供20只羊吃18天，那么可供15只羊吃　 　天，要想使这片草地能供羊吃的时间尽可能地长，最多应该放养　 　只羊． 8．某火车站的检票口在开始检票前已有945名旅客排队等待检票，此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站．如果开放4个检票口，15分钟放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客．照此检票的速度．现要想在5分钟内放完所有旅客．需要开放　 　个检票口． 9．一片青草，每天生长的速度相同，现在这片青草可供10头牛和60只羊一起吃8天；或者8头牛32只羊吃20天．已知一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么可供80只羊吃　 　天． 10．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完、请问： （1）要使得草永远吃不完，最多可以放养 　　头牛； （2）如果放养36头牛，　　天可以把草吃完． 三．解答题（共10小题） 11．片草地如果9头牛吃．12天吃完所有的草，如果8头牛吃，16天吃完所有的草．现在开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再6天吃完所有草．问增加了多少头牛？ 12．近期发现非洲某地区有一部分已感染某种病菌，而且这种病菌按照一定的速度匀速传播．现在联合国准备派出部分专家进行防治．如果派出60名专家，需要20天能彻底控制这种病菌；如果派出65名专家，需要18天能彻底控制这种病菌．如果要在10天内控制住这种病菌，至少需要派出多少名专家？ 13．由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？ 14．某地有一块草场，假设每天草场的草都在均匀生长，这片草场经过测算可供9只羊吃20天，或可供15只羊吃10天，如果供18头羊吃，可吃几天？ 15．牛顿问题 英国伟大的科学家牛顿曾经写过一本数学书．书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”． “牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽．如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的．”你也算一算吧！ 16．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果给4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？ 17．一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共多少天可以把草吃完．假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同． 18．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完，仓库里原有的存货若用1辆汽车运，则需要多少天运完？ 19．有一满池水，池底不断有泉水涌出，若用24部抽水机6天可以抽干池水，若用21部抽水机8天可以抽干，若要使这一池水永远抽不干，则最多只能用几部抽水机抽水？ 20．已知一片草地上的草可供10头牛吃8天，或可供12头牛吃6天，假设草每天的生长的速度是一样的．请问：为了维持可持续发展（即不能把草吃完），这片草地最多能养活多少头牛？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$