课时梯级训练(31) 指数与指数函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(31)　指数与指数函数 1．化简·的结果是(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：由题意可知a≤0，则·＝(－a)·a＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－＝－. 2．(2024·张家口高一期末)函数y＝x(ex－e－x)的图象大致为(　　) D　解析：f(－x)＝－x(e－x－ex)＝f(x)，故f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．观察可知函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，增长方式上应与指数函数相似． 3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9，81] B．[3，9] C．[1，9] D．[1，＋∞) C　解析：由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1，9]. 4．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式中正确的是(　　) A．x－y>0 B．x＋y<0 C．x－y<0 D．x＋y>0 B　解析：将不等式变形为2－x－3x>2y－3－y，令F(x)＝2－x－3x，则F(x)为减函数，又F(x)>F(－y)，∴x<－y，∴x＋y<0. 5．函数y＝ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a等于(　　) A． B．2 C．4 D． B　解析：当0<a<1时，显然不合题意，故由已知得a>1，当x＝0时，ymin＝a0＝1，当x＝1时，ymax＝a1＝a，又1＋a＝3，∴a＝2. 6．(2024·辽宁名校联盟高一联合考试)若函数f(x)＝x2－2x在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为________. 答案：[－3，0](答案不唯一)　解析：由函数f(x)＝x2－2x， 令g(x)＝x2－2x，可得函数g(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 又由函数f(x)＝x在定义域R上为减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)在(－∞，1]上单调递增， 故答案可为[－3，0](答案不唯一). 7．(2024·齐齐哈尔高一期末)函数f(x)＝4ax－3＋5(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，点P又在幂函数g(x)的图象上，则g(－2)＝________． 答案：4　解析：由x－3＝0，得x＝3，所以定点P的坐标为(3，9). 设g(x)＝xα，又g(3)＝3α＝9，得α＝2， 所以g(x)＝x2， 所以g(－2)＝(－2)2＝4. 8．(2024·来宾高一检测期中)已知函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x－3)>f(1)的解集为________________________________________________________________________． 答案：(2，＋∞)　解析：∵y＝ex在R上单调递增，y＝e－x在R上单调递减， ∴f(x)＝ex－e－x在R上单调递增， 则由f(2x－3)>f(1)，得2x－3>1，解得x>2，即不等式的解集为(2，＋∞). 9．设函数f(x)＝()10－ax，a是不为零的常数． (1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围； (2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值． 解：(1)由f(3)＝得a＝3，不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，∴x≥4，故x的取值范围是[4，＋∞). (2)当a＞0时，f(x)＝2ax－10在x∈[－1，2]上单调递增，则22a－10＝16，所以a＝7； 当a＜0时，f(x)＝2ax－10在x∈[－1，2]上单调递减，则2－a－10＝16，所以a＝－14. 综上，a＝－14或a＝7. 10．已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0，3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3). 令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8). 当t∈[1，2]时，h(t)单调递减；当t∈(2，8]时，h(t)单调递减． 所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26. (2)因为f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，所以a≤f(x)min恒成立．由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10. 故a的取值范围为(－∞，－10]. 学科网（北京）股份有限公司 $$