阶段质量检测(一) 集合与常用逻辑用语（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列关系中正确的是(　　) A．{0}＝∅ B．∅⊆{0} C．{0，1}⊆{(0，1)} D．{(a，b)}＝{(b，a)} B　解析：对于A，{0}是单元素集合，元素为0，而∅是空集，二者不相等，故A错误；对于B，空集为任何一个集合的子集，故∅⊆{0}正确；对于C，{0，1} 的元素为0，1，而{(0，1)}的元素为点(0，1)，二者没有包含关系，故错误；对于D，当a≠b时，(a，b)与(b，a)表示不同的点，故{(a，b)}＝{(b，a)} 在a≠b时不成立，故错误．故选B. 2．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．实数都可以写成小数形式 B．凸多边形的外角和等于360° C．存在一个实数，它的相反数是它本身 D．至少存在一个无理数x，使x2－x＝0成立 C　解析：A，B都是全称量词命题，D只有x＝0或1时成立，为假命题． 3．命题：∀n∈Z，n2>n－1的否定是(　　) A．∀n∉Z，n2>n－1 B．∃n∉Z，n2>n－1 C．∀n∈Z，n2≤n－1 D．∃n∈Z，n2≤n－1 D　解析：由全称量词命题与存在量词命题的否定，可知原命题的否定为“∃n∈Z，n2≤n－1”．故选D. 4．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x>2}，则下图中阴影部分所表示的集合为(　　) A．{0，1} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} C　解析：根据题意，易知图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A＝{1，2}. 故选C. 5．设x∈R，则“x＝2”是“x2－x－2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由x＝2一定可得出x2－x－2＝0； 反过来，方程x2－x－2＝0的解是x＝2或x＝－1. 所以“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件． 6．(2024·长春高一期中)下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是(　　) A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．∃x∈N，x2＝0 D．∀x∈Z，x2>0 A　解析：对于A，“有的”是存在量词，梯形的对角线不可能互相平分，原命题为假命题， 该命题的否定为真命题，故A符合题意； 对于B，原命题是省略了全称量词的全称量词命题，原命题为真命题，其否定为假命题，B不符合题意； 对于C，原命题是存在量词命题，但它是一个真命题，其否定为假命题，C不符合题意； 对于D，原命题是全称量词命题，取x＝0，则x2＝0，原命题为假命题，其否定为真命题，D不符合题意． 7．如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是(　　) A．＜a＜ B．≤a≤ C．a＞或a＜ D．a≥或a≤ B　解析：由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1.由题意知(等号不能同时成立)，即≤a≤. 8．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是(　　) A．m∈ B．m≠0 C．m∈ D．m∈ D　解析：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，若m＝0，则B＝∅，BA；若m＝－，则B＝{2}是A的真子集；若m＝，则B＝{－3}A，∴BA的一个充分不必要条件是m∈. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2024·成都石室中学高一期中)下列说法正确的是(　　) A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合{a，b，c，d}共有16个子集 C．集合{x|x＝4n＋2，n∈Z}＝{x|x＝4n－2，n∈Z} D．集合{x|x＝1＋a2，a∈N*}＝{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*} BC　解析：A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合{a，b，c，d}中有四个元素，所以它的子集个数为24＝16，所以本选项说法正确； C：因为{x|x＝4n－2，n∈Z}＝{x|x＝4(n－1)＋2，n∈Z}， 所以{x|x＝4n＋2，n∈Z}与{x|x＝4n－2，n∈Z}均表示4的倍数与2的和所组成的集合， 所以{x|x＝4n＋2，n∈Z}＝{x|x＝4n－2，n∈Z}，因此本选项说法正确； D：对于{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*}，当a＝1时，x＝a2－2a＋2＝1， 即1∈{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*}，但1∉{x|x＝1＋a2，a∈N*}， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确． 10．下列命题为真命题的是(　　) A．∃x∈Z，1<3x<5 B．∃x∈Z，3x＋1＝0 C．∃x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋1>0 ACD　解析：当x＝1时，1<3x<5，A项中的命题是真命题；不存在x∈Z使3x＋1＝0，B项中的命题是假命题；当x＝±1时，x2－1＝0，C项中的命题是真命题；由x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0知∀x∈R，x2＋x＋1>0是真命题，即D项中的命题是真命题． 11．已知“m－1<x<2m＋5”是“2<x<3”成立的必要不充分条件，则符合条件的实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．4 D．5 AB　解析：“m－1<x<2m＋5”是“2<x<3”成立的必要不充分条件，故(等号不同时成立)，解得－1≤m≤3. 故选AB. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}．若A⊆B，则a的取值范围是________． 答案：{a|a>2}　解析：因为集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}．又因为A⊆B，所以a>2. 13．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则∁UA＝________，(∁UA)∩B＝________． 答案：{4，6，7，9，10}　{7，9} 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即∁UA＝{4，6，7，9，10}，(∁UA)∩B＝{7，9}． 14．命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________________． 答案：存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0　解析：已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”，再否定结论，即命题的否定是“存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0”． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(2024·淄博临淄中学高一检测)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|4<x<10}． (1)求A∪B； (2)A∩(∁RB)； (3)(∁RA)∪(∁RB). 解：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|4<x<10}，所以A∪B＝{x|3≤x<10}． (2)因为∁RB＝{x|x≤4或x≥10}， 所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤4}． (3)因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≤4或x≥7}． 16．(15分)已知p：∀x∈R，mx2＋1＞0，q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0. (1)写出命题p的否定¬q；命题q的否定¬q； (2)若¬p和¬q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解：(1)¬p：∃x∈R，mx2＋1≤0；¬q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0. (2)由题意知，¬p为真命题或¬q为真命题， 当¬p为真命题时，m＜0， 当¬q为真命题时，Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2， 因此，当¬p为真命题或¬q为真命题时，m＜0或－2＜m＜2， 即m＜2. 17．(15分)(2024·山东潍坊高一检测)已知命题p：A＝{x|2<x<4}，命题q：B＝{x|m－2<x<m＋1}． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)由p为假命题，得x≤2或x≥4， 故x的取值范围为{x|x≤2或x≥4}． (2)p：A＝{x|2<x<4}，q：B＝{x|m－2<x<m＋1}， 若p是q的充分条件，则A⊆B， 可得解得3≤m≤4， ∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． 18．(17分)求证：关于x的方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0＜m＜. 证明：①充分性：因为0＜m＜， 所以方程mx2－2x＋2＝0的判别式Δ＝4－4×m×2＞0，且两根之积＞0， 所以方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根． ②必要性：若方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根， 设两根为x1，x2，则有解得0＜m＜. 结合①②可知，方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0＜m＜，命题得证． 19．(17分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩∁RB＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}． (1)当a＝2时，求A∪B； (2)若__________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}， 则A∪B＝{x|－1≤x≤3}． (2)若选①，A∪B＝B，则A⊆B， 因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅， 又B＝{x|－1≤x≤3}， 所以解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 若选②，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 所以或解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 若选③，A∩∁RB＝∅，因为B＝{x|－1≤x≤3}， 所以∁RB＝{x|x<－1或x>3}， 又A＝{x|a－1≤x≤a＋1}， 则解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$