阶段质量检测(四) 指数函数与对数函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(四) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝＋ln (3－x)的定义域为(　　) A．[0，＋∞) B．(3，＋∞) C．[0，3) D．[0，3] C　解析：由题意得解得0≤x<3， 故其定义域为x∈[0，3). 2．已知函数f(x)＝且a∈R，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，0) D．[－1，0) D　解析：由3x－1＝0可得x＝>0，若函数f(x)在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为当x≤0时，ex∈(0，1]；又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0<－a≤1，即－1≤a<0. 3．方程ln x＝4－2x的根所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B　解析：令f(x)＝ln x＋2x－4，显然f(x)＝ln x＋2x－4单调递增，又因为f(1)＝2－4＝－2<0，f(2)＝ln 2＋4－4＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)＜0，由零点存在性定理可知f(x)＝ln x＋2x－4的零点所在区间为(1，2)，所以ln x＝4－2x的根所在区间为(1，2).故选B. 4．已知函数f(x)＝，则f(x)的(　　) A．图象关于原点对称，且在[0，＋∞)上是增函数 B．图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数 C．图象关于原点对称，且在[0，＋∞)上是减函数 D．图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是减函数 A　解析：∵f(x)＝＝2x－2－x定义域为R，f(－x)＝2－x－2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称．当x≥0时，y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，∴f(x)为增函数．故选A. 5．若a＝log60.6，b＝1.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c B　解析：∵a＝log60.6<log61＝0，b＝1.10.6>1.10＝1，0＝log0.51<c＝log0.50.6<log0.50.5＝1，故b>c>a.故选B. 6．(2024·济南高一期中)已知0＜a＜1，则函数y＝a－x与函数y＝logax的图象在同一坐标系中的图象可以是(　　) B　解析：当0＜a＜1时，＞1，则y＝a－x＝()x在R上单调递增， y＝logax在定义域(0，＋∞)上单调递减，∴对应的函数图象为B. 7．若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，4] B．(0，4] C．(－4，4] D．[4，＋∞) C　解析：设g(x)＝ x2－ax＋3a，根据对数函数及复合函数单调性可知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0，所以所以－4<a≤4.故选C. 8．(2024·温州高一检测)已知函数f(x)＝x2－ax＋a有两个大于1的零点x1，x2，则x＋x可以取到的值是(　　) A．1 B．5 C．8 D．10 D　解析：由已知函数f(x)＝x2－ax＋a有两个大于1的零点x1，x2， 即x2－ax＋a＝0有两个大于1的不等实数根x1，x2， 得解得a>4. 又x1＋x2＝a，x1x2＝a， 故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＝(a－1)2－1， 由于y＝(x－1)2－1在(4，＋∞)上单调递增， 故(x－1)2－1>(4－1)2－1＝8，即x＋x＝(a－1)2－1>8， 故结合选项可知x＋x可以取到的值是10. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x) B．＝y(y<0) C．x－＝(x≠0) D．＝x(x>0) CD　解析：对于选项A，因为－＝－(x)，故A错误；对于选项B，＝－y(y<0)，故B错误；对于选项C，x－＝(x≠0)，故C正确；对于选项D，＝x2××＝x(x>0)，故D正确，故选CD. 10．下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex＋1－2 ACD　解析：ACD选项，在定义域内都是连续且单调递增，能用二分法求函数零点，B选项，f(x)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．故选ACD. 11．(2024·柳州高一检测)若a＞b＞1，0＜m＜1，则(　　) A．am＜bm B．ma＜mb C．logma＜logmb D．logam＜logbm BC　解析：对于A，∵幂函数y＝xm(0＜m＜1)在(0，＋∞)上单调递增，∴根据a＞b＞1可知am＞bm，故A项错误；对于B，∵指数函数y＝mx(0＜m＜1)在R上单调递减，∴根据a＞b＞1可知ma＜mb，故B项正确；对于C，∵对数函数y＝logmx(0＜m＜1)在(0，＋∞)上单调递减，∴根据a＞b＞1可知logma＜logmb，故C项正确；对于D，由C可知logma＜logmb＜0，∴＞，即logam＞logbm，故D项错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．函数y＝log(2x－1)(2－x)的定义域为________． 答案：(，1)∪(1，2)　解析：要使函数 y＝log(2x－1)(2－x)有意义，则 解得<x<1或1<x<2，所以函数f(x)的定义域为(，1)∪(1，2). 13．若a>0且a≠1，则函数y＝ax＋1＋2的图象恒过的定点坐标是________． 答案：(－1，3)　解析：由x＋1＝0，可得x＝－1，此时y＝a0＋2＝3，故函数y＝ax＋1＋2的图象恒过的定点坐标是(－1，3). 14．(2024·滨海新区高一期末)2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v＝v0·ln ，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比．已知甲型火箭喷流相对速度为2 000 m/s. (1)当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为_____m/s； (2)若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为________． (所有结果保留整数，参考数据：ln 3≈1.1，2.718<e<2.719) 答案：(1)4 400　(2)22　解析：(1)由题设，甲型火箭的最大速度为v＝2 000×ln 9＝4 000ln 3≈4400 m/s. (2)由题意，v0＝2 000×＝3 000(m/s)，原甲型火箭的最大速度为v＝2 000ln ， 材料更新和技术改进后，甲型火箭的最大速度为v′＝3 000ln ， 所以3 000ln ≥2 000ln ＋1 000，即ln ≥1＋3ln 2，可得≥e1＋3ln 2＝8e≈22. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求·y的值． 解：∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1， ∴log4x＝3，∴x＝43＝64.同理得y＝16， ∴·y＝×16＝8×23＝64. 16．(15分)环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1). (1)若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？ 解：(1)因为a＝，所以f(x)＝|log25(x＋1)－|＋2≥2.当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，得x＋1＝25＝5，即x＝4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低． (2)设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]， 则g(t)＝ 显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数， 则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}，因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，则有解得a≤，又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在(0，]内． 17．(15分)(2024·贺州高一期末)已知函数f(x)＝log2. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)当x∈(3，＋∞)时，f(x)＋log2(x＋1)＞m恒成立．求实数m的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝log2，得＞0， 即(x－1)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞1， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． 又f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (2)f(x)＋log2(x＋1)＞m恒成立，则log2＋log2(x＋1)＞m， 即log2(x－1)＞m在(3，＋∞)恒成立， 令g(x)＝log2(x－1)， 因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增， 当x＝3时，g(3)＝log2(3－1)＝1， 所以x∈(3，＋∞)时，g(x)∈(1，＋∞)， 则实数m的取值范围是(－∞，1]. 18．(17分)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上最大值和最小值的和为12，令f(x)＝. (1)求实数a的值； (2)探究f(x)＋f(1－x)是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：f(1－x)＋2f2(x)<1. 解：(1)因为函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上为单调函数，所以a＋a2＝12，解得a＝3或a＝－4. 因为a>0且a≠1，所以a＝3. (2)由(1)得f(x)＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1. (3)由(2)得1－f(x)＝f(1－x)，且f(x)>0， 所以2f2(x)<1－f(1－x)＝f(x)， 所以f(x)<，所以<，整理得3x<，解得x<， 所以原不等式的解集为(－∞，). 19．(17分)(2024·重庆高一检测)已知函数f(x)＝()ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝()－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y＝()x在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝()g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有解得a＝1，即f(x)有最大值3时，a的值为1. (3)由指数函数的性质知，要使y＝()g(x)的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)， 故a的值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$