阶段质量检测(二) 一元二次函数、方程和不等式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q A　解析：∵P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. 2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{ x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝(　　) A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜5} C．{x|2＜x＜4} D．{x|4＜x＜5} B　解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝{x|1＜x＜5}. 3．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　解析：由已知得mx2＋8mx＋28＝0的两个根为－7，－1，则－7×(－1)＝，解得m＝4. 4．已知a，b，c∈R且a>b>c，则下列说法中正确的是(　　) A．ac>bc B．a2>b2 C．< D．< D　解析：由题意可知a>b>c，但c的正负不确定，不一定有ac>bc，故A项错误； 若a＝－2，b＝－3，则a2<b2，故B项错误； 若a＝1，b＝－1，则>，故C项错误； 由于a>b>c，则a－c>b－c>0， 则<，故D项正确． 5．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A．{x|x<－1或x>3} B．{x|－1<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3} A　解析：不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，故a>0，＝1，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0，即a(x＋)·(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)>0，故解集是{x|x<－1或x>3}． 6．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8. 7．若x，y满足(x－y－1)(y－x－1)＝xy，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥2 C．x2＋y2≥1 D．x2＋y2≤2 D　解析：因为(x－y－1)(y－x－1)＝xy，所以x2＋y2＝1＋xy，所以(x＋y)2＝1＋3xy， 因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≥4xy，所以(x＋y)2≤1＋(x＋y)2， 即(x＋y)2≤1，故－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时等号成立， 又x2＋y2≥2xy，所以x2＋y2≤1＋(x2＋y2)，故x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时，等号成立．故选D. 8．计划用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通运输部门的规定车厢宽度为2 m，则车厢的最大容积是(　　) A．(38－3)m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 B　解析：设车厢长为x m，高为h m，容积为V m3，则V＝2xh＝32－(2x＋4h)≤32－4，因为2x＋4h＋2xh＝32≥4＋2xh，所以－4≤≤2，所以xh≤8，2xh≤16，当且仅当x＝2h时等号成立，所以Vmax＝16 m3. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知6<a<60，15<b<18，则下列正确的是(　　) A．<<4 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 AC　解析：由于6<a<60，15<b<18，所以>>，故<<4，故选项A正确；因为30<2b<36，所以36<a＋2b<96，故选项B错误；因为－15>－b>－18，所以－12<a－b<45，故选项C正确；＋1<<4＋1，即<<5，故选项D错误．故选AC. 10．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m可能的取值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 BCD　解析：因为mx2＋2mx－4<2x2＋4x，所以(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0. 当m＝2时，4>0，x∈R，满足题意；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2. 此时x∈R，满足题意. 综上所述，－2<m≤2. 11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A．≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C．≥(a＞0，b＞0) D．≥(a≥0，b＞0) AC　解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，由于OD≥CD，所以≥(a＞0，b＞0).由于CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于CD≥DE，整理得≥＝(a＞0，b＞0).故选AC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．(2024·来宾高一检测)若正数a，b，c满足c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则a＋2b＋c的最小值为________． 答案：2　解析：由c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8得(c＋4b)(2a＋c)＝8， a＋2b＋c＝(2a＋4b＋2c)＝[(2a＋c)＋(c＋4b)]≥＝2， 当且仅当c＋4b＝2a＋c＝2时等号成立，所以a＋2b＋c的最小值为2. 13．(2024·临沂高一检测)甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(5x＋1－)元．要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是___________________________________________________________， 最大值是________． 答案：3　10　解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100(5x＋1－)≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3，最大值是10. 14．已知命题p：“∀1≤x≤4，ax≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是________． 答案：4　解析：由题意，∀1≤x≤4，a≤2(x＋)恒成立，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以a的最大值是4. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小． 解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy. 因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p， 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立， 因此(px＋qy)2≤px2＋qy2. 16．(15分)(2024·烟台高一月考)已知关于x的不等式ax2－x＋1－a＜0. (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 解：(1)当a＝2时，不等式2x2－x－1＜0可化为(2x＋1)(x－1)＜0， ∴不等式的解集为. (2)不等式ax2－x＋1－a＜0可化为(x－1)(ax＋a－1)＜0， 当a＞0时，(x－1)(x＋1－)<0，(x－1)(x＋1－)＝0的根为x1＝1，x2＝－1， ①当0<a<时，1<－1，∴不等式解集为， ②当a＝时，1＝－1，不等式解集为∅， ③当a>时，1>－1， ∴不等式解集为. 综上，当0<a<时，不等式解集为{x|1<x<－1}；当a＝时，不等式解集为∅；当a>时，不等式解集为. 17．(15分)某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？ 解：(1)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x≤1 260，化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， ∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围为[40，90]. (2)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240， 当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶． 18．(17分)(2024·深圳高一检测)设函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a，b∈R)，当x＝1时，y＝4. (1)若a>0，b>0，求＋的最小值； (2)若ax2＋(b－2)x＋3<2在R上能成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，可得4＝a＋(b－2)＋3，即a＋b＝3，所以＋＝(＋)×＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝，即a＝1，b＝2时取等号，所以＋的最小值为3. (2)由题意可知ax2＋(b－2)x＋3<2⇒ax2＋(b－2)x＋1<0能成立， 由(1)知，b＝3－a，所以ax2＋(1－a)x＋1<0能成立． 当a＝0时，x＋1<0⇒x<－1，符合题意； 当a<0时，ax2＋(b－2)x＋1<0一定有解，符合题意； 当a>0时，只需Δ＝(1－a)2－4a>0，得a>3＋2. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤0或a＞3＋2}． 19．(17分)已知实数x>0，y>0，且2xy＝x＋y＋a(x2＋y2)(a∈R). (1)当a＝0时，求2x＋4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值； (2)当a＝时，求x＋y的最小值，并指出取最小值时x，y的值． 解：(1)当a＝0时，2xy＝x＋y， 因为x>0，y>0，所以＋＝1， 故2x＋4y＝(2x＋4y)(＋)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． (2)当a＝时，2xy＝x＋y＋(x2＋y2)， 变形为4xy＝2(x＋y)＋(x2＋y2)，即6xy＝2(x＋y)＋(x2＋y2＋2xy)， 6xy＝2(x＋y)＋(x＋y)2，其中6xy≤， 故2(x＋y)＋(x＋y)2≤， 因为x>0，y>0，解得x＋y≥4， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立， 所以x＋y的最小值为4，此时x＝y＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$