第4章 阶段复习提升课(一) 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

指数与指数函数 考点一　指数幂运算性质的运用 指数运算应遵循的原则 　注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的． [练1](2024·朝阳高一上学期期末)计算：＋＋80.25×＋÷. 解：原式＝－6＋＋×2＋5－＝－6＋－1＋2＋5＝. [练2] 已知10α＝2，10β＝3，求1002α＋β. 解：原式＝104α×10β＝(10α)4×(10β)＝24×3＝16. 考点二　指数函数的图象问题 1．求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)恒过定点的问题，一般思路为→→. 2．直线x＝1与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象交点的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象底数大的在上边． [练3] 对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． 答案：(－1，－1)　解析：y＝ax的图象恒过点(0，1)，y＝ax＋1－2是由y＝ax向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到，故过点(－1，－1). [练4](2024·大连高一检测)已知函数g(x)＝ax＋3－2a(a>0且a≠1)的图象不经过第二象限，则a的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，2] D．(1，2) A　解析：因为函数g(x)＝ax＋3－2a(a>0且a≠1)的图象不经过第二象限，所以解得a≥2，即a∈[2，＋∞). 考点三　比较大小问题 两个幂值大小比较的一般方法 　(1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性． (2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小． [练5] 比较下列各组数的大小． (1)()0.1和()0.2； (2)()和()－； (3)0.8－2和()－； (4)a和a(a>0，且a≠1). 解：(1)设函数y＝() x， ∵0<<1，∴y＝()x在(－∞，＋∞)上是减函数， 又0.1<0.2，故()0.1>()0.2. (2)()＝()－，由y＝()x的单调递增性可得， ()－>()－，即()>()－. (3)方法一　因为0.8－2＝()－2，而()－＝()， 由y＝()x在(－∞，＋∞)上是减函数， 可知0.8－2>()－. 方法二　因为0.8－2＝()－2>1，()－＝()<1， 所以0.8－2>()－. (4)当a>1时，y＝ax在R上为增函数，又<，所以a<a； 当0<a<1时，y＝ax在R上为减函数，又<，所以a>a. 考点四　指数函数型单调性问题 1．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的单调性的特点 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 2．一般地，在复合函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调递增(减)，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))或在区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上的单调性见下表． u＝g(x) 增 增 减 减 y＝f(u) 增 减 增 减 y＝f(g(x)) 增 减 减 增 由此可得，复合函数单调性的规律是同增异减． [练6](2024·黄石高一期中)已知函数f(x)＝()x2－4x＋3. (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈[1，4]，求f(x)的值域． 解：(1)y＝x2－4x＋3的开口向上，对称轴为x＝2，y＝()x在R上单调递减． 根据复合函数单调性同增异减可知，f(x)增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞). (2)f(1)＝1，f(2)＝3，f(4)＝， 由(1)知f(x)增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)， 所以f(x)在区间[1，4]上的值域为. 考点五　指数函数性质的综合 指数函数性质综合问题的求解策略 　(1)若奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0. (2)研究函数的单调性、奇偶性要树立定义域优先的原则． (3)解答此类问题时可依据所学的定理、定义逐一求解，从而达到各个击破的目的． [练7](2024·茂名高一上学期期末)已知函数f(x)＝2x. (1)当x∈[0，8]时，不等式f(x＋1)≥f[(x＋a)2]恒成立，求a的取值范围； (2)试求函数G(x)＝f(x＋1)＋af(2x)(a∈R)在x∈(－∞，0]上的最大值H(a). 解：(1)函数f(x)＝2x在定义域R上单调递增， 不等式f(x＋1)≥f[(x＋a)2]⇔x＋1≥(x＋a)2⇔x2＋(2a－1)x＋a2－1≤0， 依题意，∀x∈[0，8]，g(x)＝x2＋(2a－1)x＋a2－1≤0恒成立， 由于g(x)图象开口向上， 故只需无解， 所以a的取值范围是∅. (2)函数G(x)＝2x＋1＋a·22x，x∈(－∞，0]， 令t＝2x∈(0，1]，φ(t)＝at2＋2t，t∈(0，1]， 当a＝0时，函数φ(t)在(0，1]上单调递增，φ(t)max＝φ(1)＝2； 当a≠0时，φ(t)＝at2＋2t＝a2－，t∈(0，1]， 当－<0，即a>0时，图象开口向上，函数φ(t)在(0，1]上单调递增， 所以φ(t)max＝φ(1)＝a＋2； 当0<－<1，即a<－1时，图象开口向下，φ(t)max＝φ＝－； 当－≥1，即－1≤a<0时，图象开口向下，函数φ(t)在(0，1]上单调递增， φ(t)max＝φ(1)＝2＋a. 综上，H(a)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$