第1章 微专题一 集合中的新定义问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

微专题一　集合中的新定义问题 [对应学生用书P13] 集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答． 一、新定义集合的概念 [例1] 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N“相交”，则a＝________． 答案：1　解析：M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1. 当a＝4时，M＝，此时M⊆N，不符合题意，应舍去；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意． 二、新定义集合的运算 [例2] 设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是(　　) A.7 B．10 C.25 D．52 B　解析：因为A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}．由x∈A∩B，可知x可取0，1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0，1，2，3. 元素(x，y)的所有结果如下表所示： x y －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) 1 (1，－1) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) 所以A·B中的元素共有10个． 三、新定义集合的性质 [例3](2024·辽东高一联考)当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0，1，3}的孤星集为M′，集合N＝{0，3，4}的孤星集为N′，则M′∩N′＝(　　) A.{0，1，3，4} B．∅ C.{1，3} D．{0，3} B　解析：由条件及孤星集的定义知，对集合M中的元素， 0∈M，0－1＝－1∉M，0＋1＝1∈M，所以0不是“孤立元素”， 1∈M，1－1＝0∈M，1＋1＝2∉M，所以1不是“孤立元素”， 3∈M，3－1＝2∉M，3＋1＝4∉M，所以3是“孤立元素”， 则M′＝{3}． 对集合N中的元素， 0∈N，0－1＝－1∉N，0＋1＝1∉N，所以0是“孤立元素”， 3∈N，3－1＝2∉N，3＋1＝4∈N，所以3不是“孤立元素”， 4∈N，4－1＝3∈N，4＋1＝5∉N，所以4不是“孤立元素”， 则N′＝{0}，则M′∩N′＝∅. 学科网（北京）股份有限公司 $$