第2章 微专题二 一元二次不等式中的恒成立、能成立问题（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 微专题二　一元二次不等式中的恒成立、能成立问题 第二章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 C 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 D 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 一、在R上的恒成立问题 [例1] 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 [练1](2024·广州白云中学期中)若∀x∈R，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤ B．－<a≤ C．a≥ D．a<0或a≥ 当a＝0时，不等式化为－3x≥0，不恒成立，不合题意； 当a<0时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当a>0时，要使ax2－3x＋a≥0，对∀x∈R恒成立，则解得a≥， 综上可得实数a的取值范围是a≥. 二、在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数y＝mx2－mx－1，若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤0 B．0≤m< C．m<0或0<m< D．m< 由y<－m＋4，得m(x2－x＋1)<5， ∵1≤x≤3，∴1≤x2－x＋1≤7， ∴m(x2－x＋1)<5转化为m<， 又当x＝3时，取得最小值，∴m<， ∴实数m的取值范围是m<，故选D. 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 若ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). 三、不等式能成立或有解问题 [例3] 若存在实数2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|m＞13} B．{m|m＞5} C．{m|m＞4} D．{m|m＜13} m>x2－2x＋5，设y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，2≤x≤4，当x＝2时，ymin＝5，若∃2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>ymin，∴m>5. 故选B. 一元二次不等式能成立问题的求解策略 解不等式能成立问题一般是转化为代数式的最值，即m＞ax2＋bx＋c能成立⇒m＞(ax2＋bx＋c)min；m≤ax2＋bx＋c能成立⇒m≤(ax2＋bx＋c)max. [练2](2024·武汉四中高一(上)月考)已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在0＜x≤2时有解，求实数m的取值范围． mx2－6x＋3m<0变形为m<＝， 故m<在0＜x≤2时有解， 因为0＜x≤2，所以x＋≥2， 则≤＝， 当且仅当x＝，即x＝时，等号成立， 所以m<. $$