第2章 阶段复习提升课 一元二次函数、方程和不等式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 阶段复习提升课 一元二次函数、方程和不等式 第二章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 考点一　不等式及其性质 不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． [练1] 已知a，b满足等式x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x，y满足的大小关系是(　　) A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ D 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ D 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ D 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 因为x－y＝a2＋b2＋20－4(2b－a)＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，所以x≥y. [练2](2024·上海松江区期末)英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是(　　) A．若a2<b2，则a<b B．若a<b，则ac<bc C．若a<b，c<d，则ac<bd D．若a<b，c<d，则a＋c<b＋d 对A：因为a2<b2，可能b<a<0，故错误； 对B：当c<0时，若a<b，则ac>bc，故错误； 对C：当a<b<0，c<d<0时，则ac>bd，故错误； 对D：若a<b，c<d，则a＋c<b＋d，故正确． [练3] 若角α，β满足－＜α＜，－＜β＜，则2α＋β的取值范围是(　　) A．－π<2α＋β<0 B．－π<2α＋β<π C．－<2α＋β< D．－<2α＋β< ∵角α，β满足－＜α＜，－＜β＜， ∴－π＜2α＜π，∴－＜2α＋β＜，故选D. 考点二　基本不等式及应用 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． [练4] 已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. [练5] 若x>0，则函数y＝x＋－的最小值是________． 0 y＝x＋－＝x＋＋－2≥0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，故函数y＝x＋－的最小值是0. 考点三　一元二次不等式的解法 1．解不含参数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，不能分解因式的利用三个二次的关系，从而得到不等式的解集． 2．解含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． [练6](2024·成都武侯高级中学期中)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，那么ax2－bx＋c>0的解集为(　　) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 因为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}， 所以ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－2，x2＝3， 且a<0， 由得代入ax2－bx＋c＞0得 ax2＋ax－6a>0，即x2＋x－6<0，解得－3<x<2， 故选D. [练7](2024·青岛高一检测)解下列关于x的不等式2ax2－(a＋2)x＋1>0. 当a<0时，原不等式为－2ax2＋(a＋2)x－1＝(2x－1)(－ax＋1)<0，解集为； 当a＝0时，原不等式为－2x＋1>0，解集为； 当a>0时，原不等式为2ax2－(a＋2)x＋1＝(2x－1)(ax－1)>0， 若>，即0<a<2时，解集为{x|x<或x>}； 若＝，即a＝2时，解集为； 若<，即a>2时，解集为； 综上，当a<0时，解集为； 当a＝0时，解集为； 当0<a<2时，解集为； 当a＝2时，解集为； 当a>2时，解集为. 考点四　一元二次不等式恒成立问题 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 对于含参数的不等式恒成立问题要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合； (2)分离参数法； (3)转化为最大(小)值问题． [练8] 函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当－2≤x≤2时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围． (1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}． (2)对于任意－2≤x≤2，y≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意－2≤x≤2恒成立．令y1＝x2＋ax＋3－a，当x＝－2时，y1＝7－3a；当x＝2时，y1＝7＋a.则有 ①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6. 综上可知，实数a的取值范围为{a|－7≤a≤2}． 考点五　解实际应用问题 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题． [练9](2024·福州高一检测)某商场预计全年分批购入每台价值2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x(x∈N*)台，且每批均需付运费400元．且购入电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，其中比例系数为k.若每批购入400台则全年所付保管费和运输费之和为43 600元． (1)求正比例系数的值k； (2)若商场希望全年所付保管费和运输费之和最少，应分几批购入？并求此时的费用． (1)当x＝400时，×400＋2 000k·400＝43 600，解得k＝. (2)设每批都购入x(x∈N*)台，共批， 所以全年所付保管费和运输费之和为 400×＋×2 000x＝100≥200·＝24 000，当且仅当x＝， 即x＝120时取等号，故分30批购入时，全年所付保管费和运输费之和最少，此时的费用为24 000元． $$