13.1 第2课时 定理与证明 课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册 外一点 同位角相等 1.已经学过的基本事实 (1)______________确定一条直线； (2)两点之间，线段最短； (3)过一点有且______________一条直线与已知直线垂直； (4)过直线______________有且只有一条直线与这条直线平行； (5)两条直线被第三条直线所截，如果_____________________，那么这两条直线平行. 两点 只有 真假 定理 真命题 2.定理 数学中，有些命题可以从______________或______________出发，用______________的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题_________的依据，这样的真命题叫做________.定理都是______________. 基本事实 其他真命题 逻辑推理 证明 3.证明 根据____________________________________等，经过_________，来判断一个命题______________，这样的推理过程叫做_________. 条件、定义以及基本事实、定理 演绎推理 是否正确 4.证明的一般步骤 (1)根据题意，画出图形； (2)根据题设、结论，结合图形，写出______________； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明______________. 已知，求证 依据 知识点1 定理与基本事实 1 (1)下列语句中属于定理的是( ) A.在直线AB上任取一点E B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.两直线平行，同旁内角相等 D.三角形两边之和大于第三边 D (2)下列命题中，属于基本事实的是( ) ①同位角相等，两直线平行 ②在同一平面内都与第三条直线平行的两条直线平行 ③两直线平行，同旁内角互补 ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A.①④ B.①② C.①③ D.① A 【规律方法】定理、基本事实首先是正确的命题，但正确的命题不一定都是定理和基本事实. 1.下列命题中不是定理的是( ) A.三角形的内角和等于180° B.两直线平行，同旁内角互补 C.任意多边形的外角和都为360° D.两点之间，线段最短 D 2.用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，能解释其中道理的定理是____________________________________________. 内错角相等，两直线平行 知识点2 利用证明的方法证明命题 2 求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行. 解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC. 求证：EM∥FN. 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BEF=∠CFE(两直线平行，内错角相等). ∵EM平分∠BEF，FN平分∠EFC(已知)， ∴∠MEF=∠BEF， ∠NFE=∠CFE(角平分线的定义)， ∴∠MEF=∠NFE，∴EM∥FN(内错角相等，两直线平行). 【规律方法】根据题意画出图形，写出已知、求证是解答此题的关键.在写已知、求证内容时，要将文字语言转化为数学符号语言，转化时的写法并不唯一，要根据使用的方便性来写. 3.求证：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. 解：已知：如图，AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为M、N，MG平分∠BMN，NG平分∠DNM，求证：∠MGN=90°. 证明：∵MG平分∠BMN(已知)， ∴∠GMN=∠BMN(角平分线的定义)，同理，∠GNM=∠DNM. ∵AB∥CD(已知)， ∴∠BMN+∠DNM=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠GMN+∠GNM=90°. ∵∠GMN+GNM+∠MGN=180°(三角形内角和定理)， ∴∠MGN=90°(等式的性质)， ∴MG⊥NG(垂直的定义). 1.下列命题不是基本事实的是( ) A.两点之间，线段最短 B.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C 2.下列命题可作为定理的有( ) ①两直线平行，同位角的平分线平行； ②若∠1＞60°，则∠1是钝角； ③两数互为倒数，这两数积为1； ④垂线段最短. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 3.如果AB⊥EF，CD∥EF，那么AB⊥CD，这一推理的依据是( ) A.垂直的定义 B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.等量代换 D.垂直于两条平行线中的一条的直线垂直于另一条 D 4.如图，下列推理不正确的是( ) A.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD C 5.如图，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=___________. 540° 6.“如果a>b，那么a+c>b+c”，在这个命题中，所涉及的定理是____________________________________________________________________________. 不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变 7.在我们的生活中处处有数学的身影.如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理________________________________________. 三角形的内角和是180° 8.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题为______________. ①②→③ 9.求证：同平行于第三条直线的两条直线平行. 解：已知：如图，l1∥l2，l2∥l3. 求证：l1∥l3. 证明：如图，作截线l4分别与l1、l2、l3相交. ∵l1∥l2，∴∠1=∠2. 又∵l2∥l3，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∴l1∥l3. 10.如图，将△MNP三边分别向两边延长，在每两条延长线上任取两点连结起来，又得到了三个新的三角形.求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 证明：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F， ∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. ∵∠1+∠2+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 11.如图，AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1、∠2之间的数量关系？并加以证明. 解：∠3=∠1+∠2－180°. 证明如下：如图，连结BD. ∵∠3是△BDE的外角， ∴∠3=∠DBE+∠BDE. 又∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠3=(∠1－∠ABD)+(∠2－∠BDC)=∠1+∠2－(∠ABD+∠BDC)=∠1+∠2－180°. 12.已知a、b、c是不完全相等的任意实数，x=a－b+c，y=a－b－2c，z=－2a+2b+c，则关于x、y、z的值，下列说法正确的是( ) A.都大于0 B.都小于0 C.至少有一个大于0 D.至多有一个大于0 C 13.在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A. 甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”； 丙说：“红桃A肯定不在甲手上”. 三个同学中只有一个说对了，则红桃A在( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.无法判断 B 14.容器中有A、 B、 C三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗B粒子; 不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗,如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子； ③最后一颗粒子一定不是B粒子； ④以上都不正确. 其中正确的有______________(填序号). ①③ 15.小明在学习三角形知识时，发现一些有趣的结论：已知在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为点E，∠AME的平分线交直线AB于点F. 图① 图② 图③ (1)如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是__________；如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是__________；如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是___________. (2)请证明图①中的结论. (1)解：平行；垂直；垂直. (2)证明：∵ME⊥BC，∴∠A=∠CEM=90°， ∴∠CME=∠ABC， ∴∠ABC+∠AME=∠CME+∠AME=180°. ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD+∠AMF=90°， ∴∠AFM=∠ABD， ∴BD∥FM. $$