精品解析：湖北省十堰市实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

八年级上学期数学第三次阶段性检测 一、单选题（3分×10=30分） 1. 在下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程解，那么实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( ) A. a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B. a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C. a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，在中，，，为三角形内一点，连接，，点为线段的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（ ） A. 5个 B. 2个 C. 4个 D. 3个 二、填空题（3分×6=18分） 11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米． 12. 若，则a，b，c大小关系是_______．（用<号连接） 13. 已知，则_________． 14. 如图，，点E是的中点，平分，，则______． 15. 如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 _____． 16. 如图，是等边三角形，将按如图的方式进行折叠，使点与边上的点重合，折痕分别与交于点下列四个结论： ①；②；③； ④若，是折痕上一动点，则的最小值是4． 其中正确的结论是_________（填写序号） 三、解答题 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 先化简：，再取一个合适的x值带入求值． 20. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，．仅用无刻度的直尺，完成作图． （1）直接写出的面积为______； （2）已知点M为的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标______； （3）作的高； （4）在线段上作点P，使得． 21. 【阅读理解】阅读下面解题过程：已知：，求的值． 解：由知，∴，即① ∴②，故的值为． （1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知，，，求的值． 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ； （2）如果图中的、满足，，求的值； （3）已知，求． 23. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 24. 如图1，在四边形中，，点在边上上，且． （1）求证：． （2）如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，，，，满足，点与点A关于轴对称． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交轴于点，连接，求证：； （3）如图，点为y轴上一动点，点在直线上，以为直角边向右侧作等腰，若连接E，，三点按逆时针顺序排列恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的的值为______ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期数学第三次阶段性检测 一、单选题（3分×10=30分） 1. 在下列图形中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意， B.是轴对称图形，故本选项符合题意， C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意， D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意. 故选B. 【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理． 【详解】解：A. ，原运算错误，本选项不合题意； B. ，原运算错误，本选项不合题意； C. ，符合运算法则，本选项符合题意； D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 3. 如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴点关于y轴对称， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键． 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，利用全等三角形判定定理对和进行分析，即可作出正确选择． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 已知是方程的解，那么实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 6. 对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( ) A. a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B. a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C. a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D. a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方差公式即可求解． 【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立， 将上式中的b用-b替换，整理得： ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故选：A． 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 9. 如图，在中，，，为三角形内一点，连接，，点为线段的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使得，首先证明，由全等三角形的性质可得，；在上取一点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，易得，设，，结合以及，可得，整理即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长至，使得， ∵点为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在上取一点，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题关键． 10. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（ ） A 5个 B. 2个 C. 4个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】只要证明、，即可判断①②正确，根据角平分线的定义利用即可判断③；过G作于点M，根据角平分线定理，结合，可得，又可得，即可判断④错误，证明可判断⑤正确． 【详解】①， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ．故①正确； ②平分，， ，， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 即：，故②正确； ③，平分， ， ， ， ，故③正确； ④如图所示，过G作于点M， 为等腰直角斜边BC的中点， ，即， 又平分，， ， 又， ， 又 ， ，， ，故④错误； ⑤，，， ， 又， ， 为等腰三角形，故⑤正确． 正确的为①②③⑤，共计4个， 故选：C． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第四个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键． 二、填空题（3分×6=18分） 11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米． 【答案】1.03×10-7 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.000000103=1.03×10-7． 故答案为：1.03×10-7 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 12. 若，则a，b，c的大小关系是_______．（用<号连接） 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再比较大小即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，绝对值的运算，有理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键． 13. 已知，则_________． 【答案】36 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】∵， ∴原式=， 故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 14. 如图，，点E是的中点，平分，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形等知识点．过点E作于点F，可证推出，；再证可得，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，则， ∵DE平分∠ADC， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 _____． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 16. 如图，是等边三角形，将按如图的方式进行折叠，使点与边上的点重合，折痕分别与交于点下列四个结论： ①；②；③； ④若，是折痕上一动点，则的最小值是4． 其中正确的结论是_________（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可判断①；根据等边三角形的性质和三角形内角和定理可判断②；根据等边三角形的性质可判断③；根据轴对称的性质可判断④，由此即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由折叠的性质可得：， ，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故②正确，符合题意； ，和的关系是变化的， 不一定等于，故③错误，不符合题意； ， ， ， 根据轴对称的性质及三角形三边关系可得的最小值即为的长， 的最小值为4，故④正确，符合题意； 综上所述，其中结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 三、解答题 17 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可 【详解】（1）解： ； （2） ． 18. 如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答． （2）由（1）得，且，即可求出的长． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴，且. ∴． 【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 19. 先化简：，再取一个合适的x值带入求值． 【答案】，当时， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后即可得到化简的结果，再令，再代入求解代数式的值即可． 【详解】解： ； 当时，原分式有意义， 上式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 20. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，．仅用无刻度的直尺，完成作图． （1）直接写出面积为______； （2）已知点M为的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标______； （3）作的高； （4）在线段上作点P，使得． 【答案】（1）7 （2）图见解析， （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，涉及了无刻度直尺作图、轴对称等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）利用“割补法”即可求解； （2）根据点M为的中点可求出点M的坐标，即可作出点N； （3）确定以点为顶点的“１×３”矩形的对角线的另一个端点，即可完成作图； （4）构造等腰直角三角形即可完成作图． 【小问1详解】 解：， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：如图所示，点N即为所求，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，高即为所求； 【小问4详解】 解：如图所示，点P即为所求． 21. 【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，∴，即① ∴②，故的值为． （1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1），；（2）的值为；（3）的值为 【解析】 【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形进行解答； （2）仿照例题计算即可； （3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答． 【详解】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：； 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ； （2）如果图中的、满足，，求的值； （3）已知，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）依据该图形的总面积为或可得结果； （2）由（1）题结果可得，将，可求得即的值； （3）设，，则，依据代入计算可求得即可求出． 【小问1详解】 解：该图形的总面积为：或 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）题结果可得， ∴当，时， ， ∴； 【小问3详解】 设，， ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 23. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 【答案】（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证. （2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解. 【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元 根据题意，得 解得： 经检验，是原方程的根 所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元 （2）设种粽子购进个，则购进种粽子个 根据题意，得 解得 所以，种粽子最多能购进1000个 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证. 24. 如图1，在四边形中，，点在边上上，且． （1）求证：． （2）如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）长为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，，可以得到、互余，、互余，因此得到． （2）根据题意分析，要使，需要满足，经分析、运动情况可以分为三种：当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， 【小问2详解】 解：由（1）知：， 在和中， ，， 现在只需要即可满足， 经分析，若要，、运动情况可以分为三种： 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ， 此时， 故答案为长为或或 【点睛】本题考查了三角形全等，直角三角形两锐角互余，路程、速度、时间的知识点，在分析中，利用已知速度的关系，合理分析满足时，，的三种运动情况是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，，，，满足，点与点A关于轴对称． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交轴于点，连接，求证：； （3）如图，点为y轴上一动点，点在直线上，以为直角边向右侧作等腰，若连接E，，三点按逆时针顺序排列恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的的值为______ ． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）1或2或3 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质列方程求出、的值即可； （2）作，交轴于点，先证明，再证明，即可证明，再结合即可证明； （3）作轴于点，证明 ，证明，，得出，得出，；分三种情况：①当时，②当时， ③当时，分别求出m的值即可． 【小问1详解】 解：， ，， ，， 解得，，， ，， ，关于轴对称， ； 【小问2详解】 证明：如图，作，交轴于点，则， 点A、关于轴对称， ∴轴是线段的垂直平分线， ， ∵与是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ，，且， ， ， ，又 ， ，又 ， ， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，作轴于点，则， ，， ∴， ，， ， ，； ①当时，如图2， ∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上， ∴此时点F与点B重合，点G与点C重合， ∴； ②当时，点F与点B重合，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C为B、G的中点， ∴， 解得：； ③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，m值为1或2或3， 故答案为：1或2或3． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，解第（3）题时应注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$