精品解析：福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023～2024学年第二学期闽江口协作体（七校）期末联考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹济楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容；必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A B. 平面 C. 异面直线与所成的角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为_________. 13. 已知函数，则的单调递减区间为________. 14. 已知，，若，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足. （1）求大小 （2）若，，求的面积 16. 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）从测试成绩在和内学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上值域. 18. 如图，在三棱锥中，，的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年第二学期闽江口协作体（七校）期末联考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹济楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容；必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 2. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为集合，集合，集合， 所以，， ，， 故正确的只有D. 故选：D 3. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，而，得到， 解得，经验证符合题意， 所以，故A正确. 故选：A 4. 已知向量，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式得到，再利用二倍角的正弦公式结合齐次化求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以，故B正确. 故选：B 6. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建系，结合向量的数量积求解即可. 【详解】 结合题意知，， 设 因为 所以 所以 所以 故选：C. 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积. 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数判断A，C，利用复数与点的对应关系判断B，利用虚数的性质判断D即可. 【详解】因为，所以， ，所以的虚部为，故A错误， 而，故复数在复平面中对应的点在第三象限，故B正确， ， ，故C正确， 虚数无法比较大小，故D错误. 故选：BC 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果. 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件． 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A错误； 对于B，因为， 则，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确． 故选:BCD． 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2， 故,,，，， 所以，， 对于A，，，故， ，因为，共线， 所以，故， 故，而， 所以，故A正确， 对于B，而，化简得， 故，， 而，， 设面的法向量为，可得， 所以，令，解得， 故，则， 可得平面，故B正确， 对于C，，， 设异面直线与所成的角为，， 所以， 当时，， 而时，令， 因为，可得， 故，得到，故C错误， 对于D，已知面的法向量为， 设面的法向量，所以， 故，令，解得， 故，设二面角为， ，故，而， 而，解得，故D正确 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为，所以第百分位数为. 故答案为： 13. 已知函数，则的单调递减区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得单调递减区间为. 故答案为： 14. 已知，，若，则的最小值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】合理分析题意，利用同构得到，再利用导数确定的单调性，消元后把目标式变为一元函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，易得定义域为， 而，所以在上单调递增，故， 所以， ， 当且仅当时取等，此时解得. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用同构思想得到，然后化简目标式，由基本不等式得到所要求最值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足. （1）求的大小 （2）若，，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解角度即可. （2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式求解面积即可. 【小问1详解】 因为，且在中，， 所以，由正弦定理得， 所以，， 故，，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，解得(负根舍去)， 所以. 16. 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 【答案】（1），100 （2）71 （3） 【解析】 【分析】（1）利用各组的频率和为1，列方程可求出的值，根据频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得答案； （2）利用平均数定义结合频率分布直方图求解； （3）利用分层抽样的定义求出成绩在和内所抽取的人数，然后利用列举法求解概率. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 所以测试成绩在内学生的人数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为 ； 【小问3详解】 抽取的成绩在内的人数为，记为， 抽取的成绩在内的人数为，记为， 则从5人中随机抽取2人的情况有：，共10种， 其中恰有一人的成绩在内的有，共6种， 所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 令， 解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 所以， 所以，所以函数在区间上值域为. 18. 如图，在三棱锥中，，的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证明，又，即可证明平面，从而得到，即可得证； （2）依题意可得，再求出，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以，， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，即， 因为的外接圆的圆心在线段上，所以，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可. （2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可. 【小问1详解】 对于，由一次函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，故区间是的“Ω区间”， 对于，由反比例函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足， 也不满足，故区间不是的“Ω区间”， 【小问2详解】 若是函数的“Ω区间”， 而，不满足性质2，必然满足性质1， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且， 即，所以， 满足，符合题意， 当时，在上单调递减， 所以，而，符合题意， 当时，在上单调递减， ，所以，不符合题意， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$