专题2.2 平方根（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2 平方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 【知识点二】平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 【知识点三】开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用算术平方根的定义求算术平方根或解方程； 【例1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算； （2）求下列式子中的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 【题型2】利用算术平方根的非负性求解； 【例2】（23-24七年级下·宁夏固原·期中）计算：已知 满足 ，求 的值． （写清过程） 【变式1】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 【题型3】求算术平方根的整数部分与小数部分； 【例3】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【题型4】与算术平方根的有关规律探索 【例4】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． （1）推算出______；______． （2）请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ （3）求出的值． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·期中），，，…，则（    ） A．1013 B．1022 C．1012 D．1023 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则 ． 【题型5】平方根概念的理解 【例5】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【变式2】．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【题型6】由平方根的定义求值 【例6】（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根． 【变式1】（21-22八年级下·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·吉林·期末）已知和是一个正数的两个不同的平方根，则 ． 【题型7】由平方根的定义解方程 【例7】（23-24七年级下·天津北辰·期中）求的值． (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知，的值是 ． 【题型8】平方根与算术平方根的应用 【例8】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【变式1】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，市政府准备修建一座高m的过街天桥，已知天桥的坡面为，地面为，且，则坡面的长度为（    ）m． A．8 B． C．10 D． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【例2】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．    （2）应用勾股定理    ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． ②应用场景2：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【例2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． （1）图中正方形阴影部分的面积为 ； （2）请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是 ； (3)若， ，则= ； （4）若，，求的值 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 平方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 【知识点二】平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 【知识点三】开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用算术平方根的定义求算术平方根或解方程； 【例1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算； （2）求下列式子中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了算术平方根，平方根的计算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，然后计算加减；（2）根据平方根的性质求解即可． 解：（1） （2） ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解和掌握算术平方根的定义和计算是解题的关键．求出每个式子的值，再判断即可． 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 【答案】0 【分析】本题考查了勾股数问题、算术平方根．根据勾股数代入计算即可求解． 解：， 故答案为：0． 【题型2】利用算术平方根的非负性求解； 【例2】（23-24七年级下·宁夏固原·期中）计算：已知 满足 ，求 的值． （写清过程） 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，掌握非负数的性质是解本题的关键． 根据偶次幂与算术平方根的非负性，求得代入代数式，即可求解． 解：∵满足 ， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； 【变式1】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，负整指数幂，以及代数式求值，根据算术平方根的非负性，可得出，，然后代入代数式求值即可． 解：变形为：， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 【答案】0 【分析】本题考查了勾股数问题、算术平方根．根据勾股数代入计算即可求解． 解：， 故答案为：0． 【题型3】求算术平方根的整数部分与小数部分； 【例3】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点拨】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 解：∵， ∴，， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【题型4】与算术平方根的有关规律探索 【例4】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． （1）推算出______；______． （2）请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ （3）求出的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律； （1）（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． （1）解：依题意，，， 故答案为：，． （2）解：由题意得：，， 故答案为：，； （3） ． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·期中），，，…，则（    ） A．1013 B．1022 C．1012 D．1023 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根．解此类题目的关键在于观察已知等式，从等式中找到到规律，再根据规律解题． 认真观察式子，可以发现等式左边的被开方数是从1开始的连续奇数的和，右边是首末两个奇数的平均数（或奇数个数）的平方，利用此规律即可解答． 解：观察可得： ， ， …， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则 ． 【答案】17.32 【分析】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 解：若，，则， 故答案为：17.32 【题型5】平方根概念的理解 【例5】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可． （1）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， 若，则； （2）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， ，即， ， 是正实数，即， ． 【变式1】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，由一个数的平方根互为相反数得，求出即可求解；理解平方根的性质是解题的关键． 解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 【题型6】由平方根的定义求值 【例6】（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根． 【答案】这个正数是；的平方根是． 【分析】本题考查了平方根．由题意得，，可求，则这个正数是，再计算的平方根即可． 解：由题意得，， 解得，， ∴， ∴这个正数是， ∴，这个正数是； ∴， ∴的平方根是． 【变式1】（21-22八年级下·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可． 解：∵ ， ∴， ∴． 故选C． 【点拨】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解． 【变式2】（23-24七年级下·吉林·期末）已知和是一个正数的两个不同的平方根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平方根的含义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由平方根的性质列出关于m的方程，求解即可． 解：根据题意知， 解得； 故答案为：5． 【题型7】由平方根的定义解方程 【例7】（23-24七年级下·天津北辰·期中）求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求平方根的方法解方程即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 【变式2】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知，的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，先将式子变形为，再利用平方根解方程即可得出答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【题型8】平方根与算术平方根的应用 【例8】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． （1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 【变式1】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，市政府准备修建一座高m的过街天桥，已知天桥的坡面为，地面为，且，则坡面的长度为（    ）m． A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，设，勾股定理列出方程进行求解即可． 解：∵， ∴设， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（负值舍去）； ∴； 故选C． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的应用，设长方形过道的长为，宽为，根据题意求得，再设地砖的边长是,根据题意求得，经过验证符合题意，进而可得结论． 解：由题意，设长方形过道的长为，宽为， 根据题意，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴该长方形的长为，宽为， 设地砖的边长是, 根据题意，， 解得， 由（块），（块），符合题意， 故地砖的边长是， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 【例2】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 2、拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．    （2）应用勾股定理    ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． ②应用场景2：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)验证见解析 (2)①；②绳索的长为 【分析】（1）用含、的式子用两种方法表示正方形的面积，然后整理即可证明结论； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． （1）解：证明勾股定理：    由题意得，，， ∴， ∴． （2）解：①在中， , , 点表示的数是． 故答案为：． ②，， ． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得． 解得：． 答：绳索的长为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方以及数形结合思想是解题的关键． 【例2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． （1）图中正方形阴影部分的面积为 ； （2）请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是 ； (3)若， ，则= ； （4）若，，求的值 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得小正方形的边长，即可得出阴影部分面积； （2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（3）根据完全平方公式变形即可求解； （4）根据完全平方公式与平方差公式变形，设，得出，根据平方根的定义，解方程即可求解． （1）根据小正方形的边长， ∴图中正方形阴影部分的面积为， 故答案为：． （2）方法一：；方法二：； ∴两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是 （3）解：∵， ∴， ∴, 故答案为：． （4）解：∵，， ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积，求一个数的算术平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$