第06讲 平方根 （3个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练 (北师大版）

第06讲 平方根 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【例1】（2024•秦安县校级三模）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2024•沛县校级一模）25的平方根是 　　． 【变式2】（2023秋•武侯区期末）若，则代数式的值的平方根为 　　． 【变式3】（2023秋•任丘市期末）一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值． （2）求的平方根． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【例2】（2024•东营区校级四模）的算术平方根是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•柴桑区校级三模）在等式“”中，括号内应填入 　　． 【变式2】（2024春•张店区校级月考）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数时，输出的数比的平方小1，若输入，则输出的数是 　　． 【变式3】（2023秋•昌平区期末）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　　，得 　　． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则　　． （3）若和 为相差4的两个整数，求的值． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【例3】（2024春•上杭县期中）已知实数、满足，则的值是　　 A．4 B．8 C． D．2 【变式1】（2024•城关区校级一模）若，则的值是 　　． 【变式2】（2023春•依兰县期末）已知三角形三边长为，，，如果，则是　　 A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【变式3】（2024•恩施市模拟）已知． （1）求，的值； （2）求的平方根． 经典题型汇编 题型一.求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各数：0.10101…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，，中，无理数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）下列数中：，，，（相邻两个3之间依次多一个1），无理数有 个． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索：如图，一架25米长的梯子斜靠在竖直的墙上，B到墙C的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么点B将向外移动多少米？ 题型二.算术平方根的实际应用 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 5．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，两个正方形的面积分别为64和49，则等于（     ）    A．13 B．15 C．17 D．19 6．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中． 题型三.求代数式的平方根 7．（20-21八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 9．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 题型四.平方根的应用 10．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 11．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则 ． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）16的平方根是（   ） A．16 B．4 C． D． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）正方形的面积是4，则正方形的边长是（    ） A．2 B． C． D．16 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 4．（20-21·湖北武汉·自主招生）的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）若是4的一个平方根，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（20-21八年级上·四川眉山·期中）若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）已知；则的值为 ． 12．（12-13八年级上·吉林长春·期中）计算：实数4的算术平方根是 ． 13．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数为 ． 15．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 16．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的个直角三角形拼成一个大正方形（如图），那么该大正方形的边长为 . 17．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 18．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若m，n为实数，且，则的值为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·陕西西安·期中）一个正数的两个平方根是与，求这个正数． 20．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 21．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为 ； （2）若，则的值为 ． 22．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 23．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）如图是某包装盒的展开图，面积为，周长为32cm．求这个包装盒的底面积． 24．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知x，y是实数，且与 互为相反数，求的值 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 26．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为和，其中，，三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平方根 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【例1】（2024•秦安县校级三模）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别为与， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【变式1】（2024•沛县校级一模）25的平方根是 　　． 【分析】运用开平方和平方的互逆运算关系进行求解． 【解答】解：， 的平方根是， 故答案为：． 【点评】此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用开平方和平方的互逆运算关系． 【变式2】（2023秋•武侯区期末）若，则代数式的值的平方根为 　　． 【分析】将原式变形后代入得值运算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：， ， 则原式的平方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根，结合已知条件求得原式的值是解题的关键． 【变式3】（2023秋•任丘市期末）一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值． （2）求的平方根． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可． 【解答】解：（1）一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ． （2）将，代入中，得 ． 的平方根为， 的平方根为． 【点评】本题考查平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【例2】（2024•东营区校级四模）的算术平方根是　　 A． B． C． D． 【分析】利用算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：， 的算术的平方根是． 故选：． 【点评】本题考查算术平方根的定义，正确记忆算术平方根的含义是解题关键． 【变式1】（2024•柴桑区校级三模）在等式“”中，括号内应填入 　　． 【分析】根据题意，可知括号内应填入的数为：，计算即可． 【解答】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【变式2】（2024春•张店区校级月考）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数时，输出的数比的平方小1，若输入，则输出的数是 　17　． 【分析】根据题意列出等式，设输入的数为，输出的数为，则，将代入即可． 【解答】解：设输入的数为，输出的数为，则， 将代入得：． 故答案为：17． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 【变式3】（2023秋•昌平区期末）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　平方　，得 　　． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则　　． （3）若和 为相差4的两个整数，求的值． 【分析】（1）利用等式的性质解答即可； （2）利用（1）的结论列式解答即可； （3）利用（1）的解答方法解答即可． 【解答】解：（1）和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得： ． 移项得：． 故答案为：平方；； （2）和 为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）和 为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得： ， ， ． 【点评】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【例3】（2024春•上杭县期中）已知实数、满足，则的值是　　 A．4 B．8 C． D．2 【分析】根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中即可解答． 【解答】解：，， 又， ，， 则，， ． 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质，解题的关键在于熟练掌握平方和二次根式的非负性． 【变式1】（2024•城关区校级一模）若，则的值是 　　． 【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【解答】解：，，，， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提． 【变式2】（2023春•依兰县期末）已知三角形三边长为，，，如果，则是　　 A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【分析】根据非负数的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【解答】解：， ，，， ，，， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 【变式3】（2024•恩施市模拟）已知． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）根据非负数的性质求出与； （2）再根据平方根的定义进行代入求值即可． 【解答】解：（1）， ，， 即，； （2）由（1）可知，， 则的平方根为． 【点评】本题考查非负数的性质和平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各数：0.10101…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，，中，无理数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解题的关键，注意无理数是指无限不循环小数．解此类问题时通常结合有理数的定义进行判断． 【详解】解： 0.101001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，是整数，属于有理数， 无理数有3个 故选：C． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）下列数中：，，，（相邻两个3之间依次多一个1），无理数有 个． 【答案】2 【分析】题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．无限不循环的小数是无理数． 【详解】解：， ，，，（相邻两个3之间依次多一个，无理数有，（相邻两个3之间依次多一个，共2个， 故答案为：2 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索：如图，一架25米长的梯子斜靠在竖直的墙上，B到墙C的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么点B将向外移动多少米？ 【答案】梯子底部B外移了8米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理进行解答．在中根据勾股定理求得，进而求得，在中，求得，根据即可求解． 【详解】解：在中，∵米，米， ∴（米）， 又∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底部B外移8米． 题型二.算术平方根的实际应用 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的含义，由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形桌布的面积为， ∴其边长为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，两个正方形的面积分别为64和49，则等于（     ）    A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理.根据正方形的性质求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别是64和49，    ∴，， 根据勾股定理得：． 故选：C. 6．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，算术平方根的性质．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 利用完全平方公式，平方差公式，计算单项式乘多项式，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型三.求代数式的平方根 7．（20-21八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方得出，再求得即可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 9．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 题型四.平方根的应用 10．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可； 【详解】∵与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根的知识，难度不大，注意掌握一个正数的平方根互为相反数这个知识点．根据一个正数的平方根互为相反数可得，解方程即可得出m的值． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）16的平方根是（   ） A．16 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；据此解答即可． 【详解】解：， 16的平方根是， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）正方形的面积是4，则正方形的边长是（    ） A．2 B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：正方形的面积是4，则正方形的边长是， 故选：A 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该木板边长为，根据题意可得，根据x为正数，得出x的值． 【详解】解：设该木板边长为， 根据题意可得， ∵， ∴， ∵x为正数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 4．（20-21·湖北武汉·自主招生）的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查的是求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解决此题的关键．根据平方根的定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）若是4的一个平方根，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根的性质，依据平方根的定义得到或，从而可求得的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是4的一个平方根， ∴或， 解得：或， 故选：B． 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的知识，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是关键. 【详解】解：∵M的两个平方根是与， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选D. 7．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质． 一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案． 【详解】解：和是同一个数的平方根， 有或， 解得或． 故选：． 8．（20-21八年级上·四川眉山·期中）若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 【答案】D 【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可； 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 10．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）已知；则的值为 ． 【答案】 【分析】本题平方根的性质，根据平方根的意义求解即可. 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．（12-13八年级上·吉林长春·期中）计算：实数4的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的求法计算即可得出答案． 【详解】解：实数4的算术平方根是， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负 数，解答此题的关键是求出的大小． 首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小即可求解， 【详解】解：因为， 所以， 解得， 所以， ， 所以的平方根为：． 故答案为∶ ． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是与 ∴ 解得 ∴， 则这个正数为 故答案为：9 15．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的特征，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】由题意得， 解得． 故答案为2． 16．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的个直角三角形拼成一个大正方形（如图），那么该大正方形的边长为 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，由题意得到大正方形的面积为，再根据正方形的面积计算方法，求出正方形面积的算术平方根即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 18．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若m，n为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·陕西西安·期中）一个正数的两个平方根是与，求这个正数． 【答案】49 【分析】本题考查平方根的概念和一元一次方程，根据概念和方程求出解．一个数的平方根互为相反数，它们的和为0．求出平方根后，它们的平方就是被开方数，就是要求的正数． 【详解】解：由题意得：， ， ，． 这个正数的平方根为． 所以这个正数的值为：． 即这个正数的值为49 20．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可； （2）将，的值代入中计算后求其平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和， ， 解得：， 则， 那么， 的算术平方根是4， ， 解得：； （2）解： ， 那么其平方根为． 【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 21．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 9 2 【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解； （2）根据平方根的定义得到，，最后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵正实数的平方根是a和， ， ， ， ； ∴． 故答案为：9； （2）∵正实数的平方根是a和a＋b， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2 22．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 【答案】到达地面需要 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际，根据所给的关系式，把代入中求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 把代入，得， ∵， ∴ ∴到达地面需要． 23．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）如图是某包装盒的展开图，面积为，周长为32cm．求这个包装盒的底面积． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程，涉及一元一次方程和利用平方根解方程，根据面积和周长列出方程，求解即可求得答案． 【详解】解：根据包装盒的展开图，可得： ， 整理得： 解得， 则包装盒的底面积 答：这个包装盒的底面积． 24．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知x，y是实数，且与 互为相反数，求的值 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，偶次方与算术平方根的非负性，代数式求值，算术平方根的求解，根据相反数的定义可得，从而得到，，解出x，y的值代入求解即可． 【详解】解：与 互为相反数， ， ，， 解得：，， ． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【答案】从处爬到处的最短路程是 【分析】本题考查了平面展开图—路径最短问题，解题的关键是数形结合．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：如图1展开，连接，则的长就是从处爬到处的最短路程， 在中， ，， 由勾股定理得：， 即从处爬到处的最短路程是． 26．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为和，其中，，三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何运算中的应用、代数式求值以及平方根等知识，理解题意，灵活运用完全平方公式是解题关键． （1）根据图形面积的不同表达方法，即可获得答案； （2）根据（1）中的结论，可有，然后代入求值，再开平方即可； （3）首先根据题意可得，进而可得阴影部分面积，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形面积， 故，，之间的一个等量关系为（答案不唯一）； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴阴影部分面积， ∵，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$