精品解析：湖北省武汉市黄陂区第七高级中学2024届高三模拟考试（二）数学试题

黄陂一中2024届高三模拟考试（二） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合中元素，进而求出集合的子集个数． 【详解】由题意得，， 则的子集个数为， 故选：C． 2. 复数满足（为虚数单位），则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解. 【详解】设,则 所以， 又， 所以，即， 所以对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复平面内的点到点的距离， 所以的最小值是. 故选：B. 3. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得6a4＝a4(q2－q)，解得q＝3，所求＝，将q＝3代入，可得结果. 【详解】设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列， 所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0. 所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质的应用，属于基础题. 4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】把5位老师按和分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按和分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为， 所以不同的安排方法有（种）. 故选：B 5. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ） A. 11 B. 15 C. 19 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解. 【详解】， 即，则，得. 故选：A 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可. 【详解】由于，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，由题设显然， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当空间站直角坐标系后，借助空间向量表示出的余弦值，结合基本不等式计算即可得解. 【详解】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以， 因为，所以为的中点， 设，在直角中，有，故， 所以， 则， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 因此的最小值为. 故选：A. 8. 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要．已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，三种不同规格的长方体．按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为的不同规格长方体的个数为（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出第1次、第2次和第3次截取的不同规格长方体，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面， 截取1次后共可以得到三种规模长方体为：，，，体积为660，一共3种； 按照上述方式对第1次所截得的3种长方体进行第2次截取，得到的体积为330的不同规格长方体有： ，，，，，，一共6种； 再对第2次所截得的6种长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165的不同规格长方体有： ，，，，，， ，，，，一共10种． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A，平均数，故A正确； 对于B，出现次数最多的数为10，故B正确； 对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误； 对于D，方差为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A. C的离心率为3 B. 当时， C. D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D. 【详解】由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为，，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选:BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. 若有唯一的极值点，则 C. 当时，的零点为 D. 最多有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，单调递增，可判定A正确；当时，得到函数只有一个极大值点，可判定B错误；当时，设的两个根分别为且，结合函数的图象，可判定C正确；由选项C可知，当时，函数有两个零点，再由时，结合函数的图象，可判定D正确. 【详解】函数， 对于A中，当时，单调递增，所以A正确； 对于B中，当时，，此时函数只有一个极大值点，所以B错误； 对于C中，当时，设的两个根据分别为且， 则，，所以， 当或时，， 此时函数的开口向下，且对称轴为， 当时，， 此时函数的开口向下，且对称轴为， 如图所示，所以C正确； 对于D中，由选项C可知，当时，函数有两个零点， 当时，，可得至多有两个零点； 当时，设方程的两个根据分别为且， 则，，所以， 当或时，， 此时图象开口向上，对称轴为； 当时，， 此时图象开口向上，对称轴为，，如图所示， 所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，即可得解. 【详解】由得：，即， 又因为，所以, 故答案为：. 13. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理得到，并化切为弦，结合正弦定理和余弦定理求出，从而得到，，从而利用余弦定理求出答案. 【详解】由得，， 由余弦定理得， 故， 所以， ， 故， 所以， 即， 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 由和得，故 故，故 故. 故答案为： 14. 已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：，整理可得， 所以的面积，故的内切圆半径， 所以，因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为． 【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论： (1)椭圆焦点三角形的周长； (2)椭圆焦点三角形的面积； (3)三角形外接圆的半径公式：； (4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，记是数列的前 项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前 项和为，求证：. 【答案】（1）或 （2）因为，所以，则， 则 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式及下标和性质得到和，从而得到或，再分别求出通项公式； （2）依题意可得，求出，则，利用分组求和法及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，此时； 当时，此时； 综上可得数列的通项公式为或； 【小问2详解】 略 16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） （3）0.3 【解析】 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【小问1详解】 解：设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 17. 如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点， （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图所示： 分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥. ∵，∴，∴， 取的中点，连接，， ∵，且，∴四边形为平行四边形. ∴，又平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥，取的中点，连接，，由四边形为平行四边形，得到，然后利用线面平行的判定定理证明； （2）先证明平面，再以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，易得平面的一个法向量为，然后由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，所以， 又梯形面积为， 设到平面距离为，则，得. 而，平面，平面， 所以平面， 所以点C到平面的距离与点D到平面的距离相等， 而，所以平面. 以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系， 易得为等边三角形，所以，，，， 设平面的法向量为， 则， 得，，不妨取， 又平面的一个法向量为. 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点 （2）证明如下： 设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）或 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 19. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. （1）当时，求直线的方程; （2）若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）方法1:设 因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， 即， 所以即为关于的方程的3个根， 则， 因为， 由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0. 方法2:设，则， 因为O，M，D，N四点共圆，所以当M，D在直线异侧时，， 即， 化简可得:； 当M，D在直线同侧时，， 即， 化简可得:； 综上可得的重心的纵坐标为0. （ii）. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，由韦达定理和已知关系即可求解. （2）（i）由O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得，由方程根的思想即可求解. 或O，M，C，N四点共圆，由或，也可求解. （2）（ii）记的面积分别为，分别联立方程先求出，所以，结合根与系数的关系进一步化简为，再结合导数进而求解. 【小问1详解】 解:设直线 联立，消去，得， 所以， ，则 ，则，又由题意， 直线的方程是; 【小问2详解】 （i）略 （ii）记的面积分别为，由已知得直线MN的斜率不为0，设直线，联立，消去，得，所以， 所以， 由（1）得，， 所以，即， 因为， 点到直线MN的距离， 所以， 所以 在第一象限，即， 依次连接O，M，D，N构成凸四边形OMDN，所以，即， 又因为，即，即， 所以，即，即， 所以， 设，则， 令，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄陂一中2024届高三模拟考试（二） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 复数满足（为虚数单位），则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 13 4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 5. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ） A. 11 B. 15 C. 19 D. 21 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要．已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，三种不同规格的长方体．按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为的不同规格长方体的个数为（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A. C的离心率为3 B. 当时， C. D. 为定值 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. 若有唯一的极值点，则 C. 当时，的零点为 D. 最多有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则______ 13. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______． 14. 已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，记是数列的前 项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前 项和为，求证：. 16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 17. 如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点， （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 19. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. （1）当时，求直线的方程; （2）若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $