精品解析：2024年浙江省杭州市西湖区中考二模数学试题

浙江省杭州市西湖区2024年中考二模数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数中，属于负数的是（ ） A. 2024 B. C. D. 1 2. 如图所示的四个几何体中，俯视图不是矩形的是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 3. 2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 7. 利用尺规作图，过直线 外一点作已知直线 的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 为抬高水平放置的长方体木箱 的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（ ） A. 只有，才一定有两交点 B. 只有，才一定有两交点 C. 只有，才一定有两交点 D. 只有，才一定有两交点 10. 如图，在平行四边形 中，，且，将其沿着直线折叠使得点 的对应点恰好落在对角线 上，且满足．问： 与平行四边形 的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_____________． 12. 在一个不透明的袋子里装有个白球和个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率为_________． 13. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 14. 如图，以正六边形的边为边向内作等边，连结 ，则_________． 15. 如图，在 中，，，， 为边 上一点，且，过点 作，交于点，连接 ，若，则的值为______． 16. 借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时， 存在最小值；②当时， 随 的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在 的图像上，则点也必定在 的图像上．其中正确结论的序号有_________． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程． 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ∴ 18. 如图，在 中，，点D是中点，分别过点A，D作， 的平行线交于点E，且交于点O，连结、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 已知二次函数在和时的函数值相等． （1）求二次函数图像的对称轴； （2）若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 20. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分） 甲 乙 ，， （1）表中______，______； （2）求乙得分的方差； （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 21. 始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔 的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔 的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 22. 概念阐述： 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S． （1）定量研究： 填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S． 图 ① ② ③ ④ b（个） 6 7 11 S（平方单位） 7.5 8.5 （2）描点：建立平面直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式． （3）结论应用： 结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由． 23. 问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网 与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网 的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 24. 如图，在 中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为 上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交 和于点E、F，取的中点M． （1）当时，求劣弧的度数； （2）当时，求的长； （3）连接， ． ①证明：． ②在点D的运动过程中， 是否存在最小值？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市西湖区2024年中考二模数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数中，属于负数的是（ ） A. 2024 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的定义； 根据负数的定义可得答案． 【详解】解：2024和1均为正整数，是正分数， 为负整数， 故选：B． 2. 如图所示的四个几何体中，俯视图不是矩形的是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了常见几何体的三视图，解决本题的关键是熟练掌握特殊几何体的三视图； 根据俯视图的定义和观察角度进行观察判断即可． 【详解】解：（圆锥）的俯视图为圆，不是矩形，符合题意， 故选：A． 3. 2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式是解决本题的关键． 按照科学记数法的形式进行表示，其中对单位亿进行化简，即亿为9位数，可快速判断原数为几位数进行表示． 【详解】解：亿． 故答案为：C． 4. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 5. 如图，在 中，，则点A到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意为求点A到直线 的距离，即求 中 边上的高，构造直角三角形，利用已知信息结合三角函数的定义解之即可．本题考查了解直角三角形−构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意，过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故选：A． 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据数轴及不等式的性质逐一分析判断得出对应选项的范围即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于A，，此时为负数，不符合题意； 对于B，，此时为负数，不符合题意； 对于C，，此时a−1为负数，不符合题意； 对于D，，此时为正数，符合题意． 故选：D． 7. 利用尺规作图，过直线外一点 作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图作一个角等于已知角；尺规作图作角的平分线；尺规作图垂直平分线，利用作一个角等于已知角判断A，利用等腰三角形与角平分线角度转换判断B，利用菱形的性质判断C，利用垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：A．根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，不符合题意； B．此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，不符合题意； C．如图所示， 由题意可得， ∴四边形是菱形 ∴，不符合题意； D．作出线段的垂直平分线，无法证明平行，符合题意． 故选：D． 8. 为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含特殊角中边的比例关系设未知数表示线段长度，利用勾股定理建立等量关系解之即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 设，则， 在中，，即， 在中，有，即， 解得：（负值舍去）， ， 木箱点距离地面高度为， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（ ） A. 只有，才一定有两交点 B. 只有，才一定有两交点 C. 只有，才一定有两交点 D. 只有，才一定有两交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 10. 如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线 折叠使得点 的对应点恰好落在对角线 上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，根据平行四边形的性质可得，，在中，设，则，根据勾股定理求出，得到，，，推出，由折叠可得，和均为等腰直角三角形，根据三角函数并结合，需求出的长，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， 在中，设， ， ， 又，即， 解得：（负值舍去）， ，，， 是等腰直角三角形， ，， 由折叠可知，， 和均为等腰直角三角形， 又 ， ，， ， ， 同理， ． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_____________． 【答案】2a 【解析】 【分析】按照合并同类项法则合并即可． 【详解】3a-a=2a， 故答案为：2a． 【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 12. 在一个不透明的袋子里装有个白球和 个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件概率的计算，根据概率公式计算即可． 【详解】解：摸到白球的概率为， 故答案为：． 13. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案． 【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为： ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程． 14. 如图，以正六边形的边为边向内作等边，连结，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的菱形，多边形的内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正六边形特殊角分析得出等边三角形，由特殊角分析得出菱形即分析得出目标角． 【详解】解：如图，构造等边，连接，， 六边形为正六边形， ，， 又为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 四边形是菱形， ． 故答案为：30． 15. 如图，在中，，，， 为边上一点，且，过点 作，交 于点，连接，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，过点作，可得，，由得，即得，又由可得，得到，，则，，同理可得，得到，即可得，得到，进而得到，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴，， 在中，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，， 同理可得，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数的图象及反比例函数的性质，根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断即可． 【详解】解：∵， x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 随着描点的数量不断增加，其草图如下， 令， 当时，即时，， 当且仅当，即，，故①正确，符合题意； 同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意； 由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意； 由描点可知，其图形关于对称，即当时，，， 则有，． 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程． 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ∴ 【答案】不对，正确过程： 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1得：． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，去括号法则及应用．按照解一元一次不等式的一般步骤及不等式的性质逐步判断计算过程找出错误并修正即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，点D是中点，分别过点A，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连结、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵ 点D是中点 ∴ ∴． ∴四边形是平行四边形． 在中，为边上的中线， ∴． ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形−边角关系． （1）结合已知直角三角形斜边中线及平行四边形的判定进而证出菱形； （2）利用菱形的面积计算公式，由已知中的三角函数值及一边求出，进而求出菱形的对角线，即其面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：中，为边上的中线，，， ∴． 由（1）得四边形是平行四边形． ∴, ∴． 19. 已知二次函数在和时的函数值相等． （1）求二次函数图像的对称轴； （2）若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用． （1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴； （2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b． 【小问1详解】 解：∵二次函数在和函数值相等， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：由（1）得， 又∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴ 解得， 20. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分） 甲 乙 ，， （1）表中______，______； （2）求乙得分的方差； （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） ①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲的成绩稳定，所以选乙参赛较好； ②从平均数和中位数相结合看，甲、乙的平均数相等，甲的中位数大于乙的中位数，所以选甲参赛较好．（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图与数据的分析，熟练掌握方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求出、的值； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案． 【小问1详解】 解：（1）甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， 出现了3次，出现的次数最多， ∴众数， ∵最中间两个数分别为和， 所以中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 乙得分的方差 ； 【小问3详解】 略 21. 始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点E，设，在中，求出，在中，得出，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， 由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴铁塔的高度约为． 22. 概念阐述： 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S． （1）定量研究： 填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S． 图 ① ② ③ ④ b（个） 6 7 11 S（平方单位） 7.5 8.5 （2）描点：建立平面直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式． （3）结论应用： 结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）9；6；6.5 （2） 如图所示： （其中b为大于等于3的整数） （3）存在， 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的几何应用，涉及待定系数法求一次函数解析式；几何图形的面积计算−割补法，理解题意，得到S与b符合一次函数是解答的关键． （1）按边界格点数逐一数数，对于多边形，规则图形则用面积公式、不规则图形则采用割补法求之即可； （2）观察表格数据可知，b每增加1，其S增加0.5，通过描点呈现规律，符合一次函数关系式，利用待定系数法代入两点求出其函数解析式并检验即可； （3）根据构造格点多边形的规律，从格点三角形进行尝试，此时按规律则，代入，考虑的组合情况进行尝试画出图形即可． 【小问1详解】 解：根据所给网格图中的图形， 对于图①，，当时，； 对于图②， 利用割补法将面积从上至下划分为三角形、长方形和梯形，即当时，； 对于图③， 边界上的格点数为，此时， 故答案为：9；6；6.5； 【小问2详解】 解：所得数据画在平面直角坐标系中，如图所示： 通过描点发现，S与b符合一次函数． 设， 将和代入，，解得， 所以（其中b为大于等于3的整数）； 【小问3详解】 解：存在，如图所示， 理由：根据题意，当，时，格点多边形存在最小面积为． 23. 问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】（1）扣球：，吊球： （2）① ② （3） 【解析】 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，再利用待定系数法可得吊球时的函数解析式； （2）①把代入可得的高度；②把代入，再进一步求解即可； （3）依题意，即接球点的临界坐标为 和 ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围． 【小问1详解】 解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：， ∴， 解得； ∴； 【小问2详解】 解：①当时，． ∴球网的高度为； ②当时，， ，（舍） 落地点到球网的距离：； 【小问3详解】 解：由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设， ∴， ∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大 设， ∴ 解得：， 则a的范围是 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的解法，二次函数的性质，理解题意是解本题的关键． 24. 如图，在中， ，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交 和 于点E、F，取的中点M． （1）当时，求劣弧的度数； （2）当时，求的长； （3）连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ①证明：连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②存在，最小值为6 【解析】 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； 【小问2详解】 解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：①略 ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $