精品解析：湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集概念求解. 【详解】根据题意，. 故选：C 2. 已知复数满足，则复数等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解，根据复数模的定义求解即可. 【详解】由题可知， 故. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 4. 已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算求得，由抛物线的准线方程，可得所求． 【详解】解：由函数过定点，可得， 解得：， 则抛物线， 即的准线方程是． 故选：D． 5. 已知等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案. 【详解】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 6. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分析可知原题意等价于与在内有交点，进而可得结果. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于与在内有交点， 且当时，；当时，； 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 关于函数，下列结论中错误的是（ ） A. 定义域为 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数表达式有意义的条件即可判断A；求导，令导函数等于0求解，讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断． 【详解】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列的前100项和为10000 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 10. 湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干得到，，，，利用全概率公式计算各选项. 【详解】由题干可知，，A正确，B错误； ，，所以， ， C、D正确； 故选：ACD 11. 已知函数下列说法正确的是（ ） A. 的单调减区间是 B. 是函数的一个极值点 C. 只有一个零点 D. 对任意的恒成立时，取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，从而判断A、B；求出函数的零点从而判断C，根据判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确； 又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确； 若对任意的恒成立，则， 即取值范围为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 【答案】54 【解析】 【分析】根据给定条件，按含有0、不含0但有相同数字、不含0无相同数字分类，结合排列组合列式计算即得. 【详解】构成“十全十美数”有3类办法， 有一位数字是0的“十全十美数”有个； 不含0但有相同数字的“十全十美数”有个； 不含0无相同数字的“十全十美数”有， 所以符合要求的的“十全十美数”有个. 故答案为：54 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求角； （2）D为边BC的中点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数恒等变形得，可得角； （2）根据题意，，两边平方结合基本不等式得，利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 根据题意，， 则，由于，则， 则，所以； 【小问2详解】 因为D为边BC的中点，所以， 则， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为. 16. 树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 （1）①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， （2）以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）①列联表见解析；②可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）①根据题干数据完善列联表；②计算出卡方，即可判断； （2）首先高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率，依题意可得， 根据二项分布的概率公式求出分布列，再由二项分布的期望公式求出期望. 【小问1详解】 ①依题意可得列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 80 40 120 女生 40 60 100 合计 120 100 220 ②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立， 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关， 该结论犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为， 则，所以的可能取值为、、、， 则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知函数，. （1），求的单调区间； （2）若方程有两个解，求的取值范围； 【答案】（1）答案见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，讨论两种情况单调性即可； （2）由方程有两个解，则有两个解，令，通过导数求函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题意，函数定义域为， ，， 当时，恒成立，即在单调递增； 当时，令，则；令，则； 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 方程有两个解，即有两个解， 令，则， 令，则，在单调递增； 令，则，在单调递减； 所以函数的最大值为， 如图所示，所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，．在椭圆上下顶点，面积的最大值.求出，再求出，进而得到方程. （2）证明  设，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理计算，求得点到直线的距离，通过面积公式化简计算即可. 【小问1详解】 根据题意，． 在椭圆上下顶点，面积的最大值. 此时. 所以，则求椭圆方程. 【小问2详解】 如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以． 综上，的面积为定值． 19. 立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器． （1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小； （2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值． （3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 【答案】（1） （2），正三棱柱形容器的容积V有最大值为，无最小值 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用正三棱锥的结构特征及体积公式求解即可； （2）由已知求出三棱柱的高及底面积，再由棱柱体积公式可得容积关于的函数，利用导数求得最值； （3）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可． 【小问1详解】 解：正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为． 如图所示：在正三棱锥中， 高， 【小问2详解】 解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得： 三棱柱的高，其底面积， 则三棱柱容器的容积， 即所求函数关系式为， ， 令，即， 解得：， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 在时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为： 【小问3详解】 解：如图， 分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形． 以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形， 可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱， 再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，下列结论中错误是（ ） A. 定义域为 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列的前100项和为10000 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 10. 湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数下列说法正确是（ ） A. 的单调减区间是 B. 是函数的一个极值点 C. 只有一个零点 D. 对任意的恒成立时，取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 13. 若一个三位数各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求角； （2）D为边BC中点，，求面积的最大值． 16. 树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 （1）①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， （2）以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 17. 已知函数，. （1），求的单调区间； （2）若方程有两个解，求的取值范围； 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 19. 立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器． （1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小； （2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值． （3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$