广东深圳北理莫斯科大学附属实验中学2026届高三年级高考仿真模拟冲刺考试二数学试题

绝密★启用前 深北莫附中2026届高三年级高考仿真模拟冲刺考试二 （数 学） 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 命题人：谢佳顺 审题人：陈洪水 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 若，则( ) A.1 B. C. D.2 3.已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 若向量两两夹角相等，且则（ ） A.1 B.7 C. 或 D.1或7 6.有7枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7.现从这7枚印章中随机抽取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（ ） A. 无最小值，无最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最大值 D. 有最小值，有最大值 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知某AI智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B. 从该批设备中任选1台，其运行温度不低于110℃的概率是0.7 C. 从该批设备中任选2台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 D. 从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 10. 函数（，）的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是( ) A.的最小正周期 B. C.在上单调递增 D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11 已知函数满足，则（ ） A. B. 对于任意有三个零点 C. 对于任意有两个极值点 D. 时，在上存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线的顶点到准线的距离为3，则________． 13. 设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是( ) 14. 已知第一象限内的点P，Q分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若O为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，E为的中点. （1）求证：平面 （2）求平面ACE与平面夹角的余弦值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 17. 如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点. 求面积的最大值. 18. 如图，在一次传球训练中，甲、乙、丙、丁四人按照逆时针依次站在一个正方形的四个顶点处．每次传球时，传球者将球传给其他三人中的一个．已知第次由甲将球传出，且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概率为，沿着正方形的对角线传给队友的概率为． （1）求第次传球者为乙的概率； （2）记前次传球中丙的传球次数为，求的概率分布列及方差； （3）求第次传球者为丁概率． 19. （17分）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 答案 1.【答案】B 2. A 3. 【答案】B 4. 【答案】C【详解】解：对于，，故A错误；对于，因为，所以    ，故B错误； 对于C，显然，所以，所以，故C正确； 对于，因为， 所以，故D错误．故选：C． 5. D 6.【答案】A 由题意知，从 7 枚非遗文创印章中随机抽出3枚的基本事件总数为.因为所有数字之和为28，所以要使3枚印章上的数字之和与其余 4 枚印章上的数字之和相等，则3枚印章上的数字之和应为14.罗列出 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 4 枚印章上的数字之和相等” 的基本事件情况：① “1，6，7”和其他；② “2，5，7”和其他；③ “3，4，7”和其他.四、“3，5，6”和其他。共4种情况，所以 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 4 枚印章上的数字之和相等”的概率为. 7. 【答案】D【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为，由题可知，，则，所以，则梯形的面积为，所以直棱柱的体积为，又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得.故选：D. 8. 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得，若，则，可计算当时，，结合，可得即为的最小值，同理，当，，当，，可知的最小值为，综上可得，有最小值.由可得，，根据等比数列性质，，必有满足对于所有，，因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值.综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.故选：D 9. 【答案】ABD【解析】因为，所以A正确；从该批设备中任选 1 台，其运行温度低于 110℃的概率为，所以B正确；由，，可得C正确；从该批设备中任选 2 台设备，这 2 台设备运行温度都高于 130℃的概率为，所以D错误. 10. 【答案】AB【解析】因为轴，所以图象的一条对称轴为直线，所以，所以，故A正确.易得，则，所以.因为的图象过点，所以，所以，，所以，，因为，所以，故B正确.易得C错误.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误. 11. 【答案】AB【详解】对于A，由，，可得，即，故A正确；对于B，由A选项可得，则，则， 当时，令，则，令，则或，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由，可得，而，所以，又当时，，当时，，所以函数在和都存在一个零点，所以对于任意，有三个零点，故B正确；对于C，当时，，则，由，得恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数无极值点，故C错误；对于D，由A知：，，得，所以，所以，易知：时，，时，，所以在单调递减，在单调递增，又，所以在上不存在最大值，D错误，故选：AB 12.【答案】【详解】因为抛物线的顶点到准线的距离为，故，故，故答案为：. 13.【解析】函数存在零点，，.随机变量X服从二项分布，. 14.【答案】【解】双曲线的渐近线与双曲线的渐近线关于直线对称，由及，得，所以两双曲线的离心率之积为. 15. 【小问1详解】证明：连接，因为，，， 所以， 又因为，所以， 所以，所以..................3分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面..................6分 【小问2详解】解：因为，，所以..................7分 如图，以D为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，平面内过点D且与垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系则，，，，，因为E为的中点，所以，所以，............8分 设平面的一个法向量为，所以， 即..................9分 令，则，，所以..................10分 同理，平面的一个法向量为.................11分 设平面与平面的夹角为，则..................13分 16. 【小问1详解】由，可得.................1分 由正弦定理得..................2分 因为， 所以..................3分 由于，则，所以...................4分 又，则，故...................5分 【小问2详解】①由题意，的面积，可得①..................6分 由余弦定理得，，且，所以..................7分 则，因为，所以②..................8分 因为，联立①和②解得，，..................10分 ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，..................11分 因为 ..................12分 ，..................14分 所以, 由题意，为锐角，则...................15分 17. 【解析】【小问1详解】由题意可知：，则..................2分 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为...................5分 【小问2详解】联立方程，消去可得..................6分 因为直线与曲线相切，则 整理可得..................8分 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离..................10分 可得..................11分 因为，则，可得..................13分 则面积..................14分 可知当，即时，取到最大值8...................15分 18.【小问1详解】甲丙乙的概率为：，甲丁乙的概率为：， 记事件“第次传球者为乙”，则..................3分 【小问2详解】由题设，的可能取值为，..................4分 ..................6分 ..................8分 所以的概率分布列为 ..................9分 【小问3详解】设第次传球者为甲的概率为，第次传球者为丁的概率为，则.................10分 因为乙和丁相对于甲，地位是相等的，所以第次传球者为乙的概率也为，第次传球者为丙的概率也为..................12分 因为..................14分 所以，因为， 所以是以为首项，为公比等比数列..................16分 所以，即..................17分 19. 【解析】（1）依题意，函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，…………………………………………………2分 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.………………………………4分 （2）（ⅰ）由（1）可知， 令，，则. 因为在上恒成立，所以函数在上单调递减， 当时，由（1）可知，函数在上单调递减， 所以函数不存在极值点，不符合题意；………………………………………………6分 当时，， 所以当时，，则， 所以函数在上单调递减. 因为，所以当时，， 所以函数不存在大于1的零点，不符合题意；………………………………………9分 当时，，因为，， 所以存在，满足， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极值点.…………………………………………………………………11分 因为， ，所以，此时，且， 即函数存在大于1的零点，此时实数m的取值范围为.…………………12分 （ⅱ）证明：依题意即 所以，即.………………………………………………………14分 因为在上恒成立，且，，即， 所以，即，……………………………………………16分 两边取对数得， 则，所以.…………………………………………………………17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $